2.4 三角形的中位线

1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是(　 　)

A．18米 B．24米 C．28米 D．30米

第1题图 第2题图 第3题图

2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(　 　)

A．50°　 B．60° 　C．70°　 D．80°

3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　 　)

A.1 B．2 C. D．1＋

4．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为____．

第4题图 第5题图

5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是____cm.

6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．

(1)若DE＝10 cm，则AB＝____cm；

(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？

证明你的猜想．

7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．

如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.

(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；

(2)请证明你的结论．

8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是(　 　)

A．15° B．20° C．25° D．30°

第8题图 第9题图

9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是(　 　)

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关

10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若DE＝2，则EB＝____．

第10题图 第11题图

11．如图，△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2017个三角形的周长为________．

12.如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.

(1)求证：BN＝DN；

(2)求△ABC的周长．

14．如图，在▱ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于点G，CE，DF相交于点H.求证：GH∥BC且GH＝BC.

15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点G.求证：GF＝GC.

方法技能：

1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．

2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．

3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．

易错提示：

对三角形中位线的意义理解不透彻而出错

答案：

1. C

2. C

3. A

4. 5

5. 8

6. (1) 20

(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝AB，AF＝AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分

7. (1) 平行四边形

(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝AC，GH∥AC且GH＝AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形

8. D

9. C

10. 2

11.

12. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD，EH∥BD，同理可证FG＝BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形

13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN　(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41

14. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝BC

15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝AB.在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝DC＝AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC