期中学情评估

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．要使有意义，则x的取值范围为(　　)

A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－1

2．下列计算结果正确的是(　　)

A.＋＝ B．3 －＝3

C.×＝10 D.÷＝3

3．下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是(　　)

A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6

4．若关于x的一元二次方程(a－1)x²－2x＋a²－1＝0的一个根为x＝0，则a＝(　　)

A．0 B．±1 C．1 D．－1

5．我们给“△”一个实际意义，规定a△b＝·－，则2△3的值为(　　)

A. B. C. D.

6．如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC为(　　)

(第6题)

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

7．某款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5 000个，7月25日和7月26日的总销量是30 000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为(　　)

A．5 000(1＋x)²＝30 000

B．5 000(1－x)²＝30 000

C．5 000＋5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)²＝30 000

D．5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)²＝30 000

8．若a、b是一元二次方程x²＋3x－6＝0的两个不相等的根，则a²－3b的值是(　　)

A．3 B．－15 C．－3 D．15

9．等腰三角形的一边长为2，它的另外两条边的长是关于x的一元二次方程x²－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是(　　)

A．8 B．9 C．8或9 D．12

10．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A 在△ECD的斜边DE上，若AE＝，AD＝，则两个三角形重叠部分的面积为(　　)

　(第10题)

A. B．3－ C.－1 D．3－

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．如果最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则a＝________．

12．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为________．

(第12题) 　 (第14题)

13．关于x的一元二次方程kx²－4x＋2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________．

14．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别记为S₁、S₂、S₃.

(1)若S₁＝25，S₃＝1，则S₂＝________；

(2)若S₁＋S₂＋S₃＝24，则S₂＝________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15．解方程：

(1)2x²－4x－1＝0；

(2)(x＋1)²＝6x＋6.

16．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．

　(第16题)

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17．已知x＝，y＝，求下列各式的值：

(1)x²－xy＋y²；

(2)＋＋2.

18．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的高度．

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19．先观察下列等式，再回答问题：

①＝1＋－＝1；

②＝1＋－＝1 ；

③＝1＋－＝1；

……

(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想的结果；

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式；

(3)计算：＋＋＋…＋.

20．如图，△ABC的各顶点都在正方形网格的格点上，若小正方形的边长均为1.

(1)判断△ABC是什么形状，并说明理由；

(2)求△ABC的周长和面积．

(第20题)

六、(本题满分12分)

21．某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．

(1)如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是________元；

(2)如果该校共购买图书100本，用去购书款4 750元．则该校购买古典诗词类图书多少本？

七、(本题满分12分)

22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位．

(1)当t＝2时，CD＝________；

(2)求当t为何值时，△CBD是直角三角形(D不能与A，C重合)；

(3)求当t为何值时，△CBD是等腰三角形(D不能与A，C重合)．

(第22题)

八、(本题满分14分)

23．定义：我们把关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0与cx²＋bx＋a＝0(ac≠0，a≠c)称为一对“和谐方程”．如2x²－5x＋3＝0的“和谐方程”是3x²－5x＋2＝0.

(1)写出一元二次方程x²＋2x－15＝0的“和谐方程”：_________________________________________________________；

(2)已知一元二次方程x²＋2x－15＝0的两根为x₁＝3，x₂＝－5，它的“和谐方程”的两根为x₃＝－，x₄＝ ______________．根据以上结论，猜想ax²＋bx＋c＝0的两根x₁，x₂与其“和谐方程”cx²＋bx＋a＝0的两根x₃，x₄之间存在的一种特殊关系为____________，证明你的猜想；

(3)已知关于x的方程2 024x²＋bx－1＝0的两根是x₁＝－1，x₂＝.请利用(2)中的结论，求出关于x的方程(x－1)²－bx＋b＝2 024的两根．

答案

一、1.B　2.D　3.A　4.D　5.B　6.A　7.D

8．D　点拨：因为a、b是一元二次方程x²＋3x－6＝0的两个不相等的根，所以a²＋3a－6＝0，即a²＝－3a＋6，a＋b＝－3，则a²－3b＝－3a＋6－3b＝－3(a＋b)＋6＝－3×(－3)＋6＝9＋6＝15.

9．B　10.D

二、11.5　12.64　

13．k<2且k≠0

14．(1)13　(2)8

三、15.解：(1)因为a＝2，b＝－4，c＝－1，

所以Δ＝b²－4ac＝16－4×2×(－1)＝24，

所以x＝＝，

所以x₁＝，x₂＝.

(2)原方程可变形为(x＋1)²－6(x＋1)＝0，

分解因式，得(x＋1)(x＋1－6)＝0，

所以x＋1＝0或x＋1－6＝0.

所以x₁＝－1，x₂＝5.

16．解：如图，连接AC.

(第16题)

∵AD⊥DC，

∴AC＝＝＝5(米)，

∴AC²＋BC²＝5²＋12²＝13²＝AB²，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴这块地的面积为S_△ABC－S_△ACD＝×5×12－×3×4＝24(平方米)．

四、17.解：因为x＝，y＝，

所以x＋y＝，xy＝.

(1)x²－xy＋y²＝(x＋y)²－3xy＝()²－3×＝.

(2)＋＋2＝＝＝＝6.

18．解：设旗杆的高度是x m，则绳子的长度是(x＋1)m.

根据题意得x²＋5²＝(x＋1)²，

解得x＝12.

答：旗杆的高度是12 m.

五、19.解：(1)＝1＋－＝1.

(2)＝1＋－＝1＋.

(3)原式＝1＋1＋1＋…＋1＝1×99＋1－＋－＋－＋…＋－＝99＋1－＝99.

20．解：(1)△ABC是直角三角形．理由：

∵AB²＝2²＋1²＝5，AC²＝3²＋4²＝25，BC²＝2²＋4²＝20，

∴AB²＋BC²＝5＋20＝25＝AC²，

∴△ABC是直角三角形．

(2)由(1)可得AB＝，AC＝5，BC＝2 ，

∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝＋5＋2 ＝3 ＋5，

△ABC的面积＝×AB×BC＝××2 ＝5.

六、21.解：(1)57

(2)设该校购买古典诗词类图书x本，

①若x≤40，

由题意得60x＋40(100－x)＝4 750，

解得x＝37.5，不是整数，舍去；

②若x>40，

由题意得x＋40(100－x)＝4 750，

解得x₁＝30，x₂＝50，

因为x>40，所以x＝50.

答：该校购买古典诗词类图书50本．

七、22.解：(1)2

(2)根据题意，得∠C≠90°且当∠CBD＝90°时，点D与点A重合，不符合题意，

∴若△CBD是直角三角形，

则∠CDB＝90°.此时BD⊥AC，

即BD为AC边上的高．在Rt△ABC中，

由勾股定理，得AC＝＝＝10，

S_△ABC＝AC·BD＝AB·BC，

即×10·BD＝×8×6，

解得BD＝4.8，

∴CD＝＝＝3.6，

∵3.6÷1＝3.6(秒)，

∴t＝3.6.

(3)①当CD＝BC时，CD＝6.6÷1＝6(秒)．

②当BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于点F.

(第22题)

由(2)易得CF＝3.6，

∴CD＝2CF＝2×3.6＝7.2.

7．2÷1＝7.2(秒)．

③当CD＝BD时，∠C＝∠CBD.

∵∠ABC＝90°，

∴∠C＋∠A＝90°，∠CBD＋∠DBA＝90°，

∴∠DBA＝∠A，

∴BD＝AD，

∴BD＝AD＝CD.

∵AC＝10，∴CD＝5.

5÷1＝5(秒)．

综上所述，当t＝6或7.2或5时，△CBD是等腰三角形．

八、23.解：(1)－15x²＋2x＋1＝0

(2)；互为倒数

证明：因为一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的两根为x₁＝，x₂＝，cx²＋bx＋a＝0的两根为x₃＝，x₄＝，

所以x₁·x₄＝·＝＝＝1，x₂·x₃＝·＝＝＝1，即原方程的两根与其“和谐方程”的两根互为倒数．

(3)因为方程2 024x²＋bx－1＝0的两根是x₁＝－1，x₂＝，所以该方程的“和谐方程”－x²＋bx＋2 024＝0，

即x²－bx－2 024＝0的两根为x₃＝－1，x₄＝2 024.

又因为(x－1)²－bx＋b＝2 024可化为(x－1)²－b(x－1)－2 024＝0，

则x－1＝－1或x－1＝2 024，

所以关于x的方程(x－1)²－bx＋b＝2 024的两根为x₅＝0，x₆＝2 025.