2.4线段的垂直平分线同步检测

一、选择题

1.如图，△ABC，AB=AC，AD为△ABC的角平分线，过AB的中点E作AB的垂线交AC于点F，连接BF，若AB=5，CD=2，则△BFC的周长为（　　）

A. 7          B. 9       C. 12         D. 14

2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（  ）

A. 30°       B. 40°       C. 50°         D. 60°

3.如图，在△ABC中，△ADE的周长为8，DH为AB的中垂线，EF垂直平分AC，则BC的长为（    ）

A. 4        B. 6        C. 8        D. 16

4.如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，且AC=8，BC=6，则△BDC的周长为（　　）

A. 20        B. 22          C. 10          D. 14

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（　　）

A. 3              B. 2              C. 3            D. 2

6.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（　　）
   

A. 10°       B. 15°       C. 40°         D. 50°

7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AC交AB于点E，若BC=6，则DE的长为（   ）

A. 6         B. 5           C. 4           D. 3

8.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（   ）

A. 13        B. 15          C. 17           D. 19

9.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（　　）

A. 20°           B. 30°           C. 35°              D. 40°

10.如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（   ）

A. 12cm              B. 10cm           C. 7cm                   D. 5cm

二、填空题

11.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点．其中正确的命题序号是________．

12.如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC=________．

13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，边AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠BCE等于________ °．

14.证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．
求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P
证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴________ =________（________）．
同理可得，PB=________．
∴________ =________（等量代换）．
∴________（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________）
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且________．

15.线段的垂直平分线是________的点的集合．

16.一条线段的垂直平分线必定经过这条线段的________点，一条线段只有________条垂直平分线．

17.在等腰三角形ABC中，AB=AC=8cm，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于D，若△BCD的周长为10cm，则底边BC的长为________cm． 

18.在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，BC=2+2 ，则AC=________．

三、解答题

19.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若EF=4，BF：FD=5：3，S_△BCF=10，求点D到AB的距离．

20. 如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC． 求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
    

20. 如图，△ABC中，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，DE=6，BD=6 ，AE⊥BC于E，求EC的长．

20. 已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．
    求证：∠BAF=∠ACF．
    

23.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．

参考答案

一、选择题

1.B 2.B 3.C 4. D 5. B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.B

二、填空题

11.①②③ 12.15 13.60

14.PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；PA；PC；点P在AC的垂直平分线上；垂直平分线上；PA=PB=PC

15.到线段两个端点距离相等的 16.中；一 17.2 18.2

三、解答题

19.解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DG=DH，
∵EF⊥BC，
∴EF∥DH，
∴△BEF∽△BHD，
∴ ，
∵EF=4，BF：FD=5：3，
∴DH= ．
∴DG=DH= ，
∴点D到AB的距离= ．

20.证明：∵AD是高，∴AD⊥BC， 又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE，
又∵AB+BD=DC，
∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上

21.解：连接AD， ∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴BD=AD，
∵DE=6，BD=6 ，
∴AD=6 ，
∴∠ADE=45°，
∴∠B=22.5°，∵∠C=60°，
∴∠BAC=97.5°，
∵∠ADE=∠B+∠DAB=45°，AE⊥BC，
∴DE=AE=6，
∵∠C=60°，
∴∠CAE=90°﹣60°=30°，
∴AC=2CE，
在Rt△ACE中，AC²=AE²+CE² ，
即4CE²=6²+CE² ，
∴CE²=12，
解得EC=2 ．

22.证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵FE是AD的垂直平分线，
∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），
∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，
∴∠BAF=∠ACF．

23.解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm， ∴AD=CD，AC=2AE=2×3=6cm，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．