【323185】（安徽专版）2024八年级数学下册 第18章 勾股定理学情评估（新版）沪科版

第18章学情评估

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝10，AO＝6，则OB的长为(　　)

A．5 B．6 C．8 D．10

2．下列四组数据，不能构成直角三角形的是(　　)

A．1，， B．6，8，10

C．5，12，13 D.，2，

3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是(　　)

A．8 B．16 C．20 D．25

(第3题)　 (第4题)　 (第6题)

4．如图，P是平面直角坐标系内一点，则点P到原点的距离是(　　)

A．3 B. C. D.

5．若△ABC的三边a，b，c满足c²－(a＋b)·(a－b)＝0，则△ABC是(　　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，若∠B＝90°，则∠BCD的度数为(　　)

A．100° B．120° C．135° D．145°

7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”大意为：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里(1里＝500米)，问这块沙田的面积为多少？则这块沙田的面积为(　　)

A．7.5平方千米 B．15平方千米

C．75平方千米 D．750平方千米

8．在△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，则AB边上的高是(　　)

A. B. C. D.

9．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3，BC＝5，则AE的长是(　　)

A．1.5 B．2.4 C．3.4 D．1.6

(第9题)　　 (第10题)

10．如图，正方形ABCD的边长为3 ，E，F是对角线AC上的三等分点，P是边AB上一动点，则PE＋PF的最小值是(　　)

A．5 B. C．3 D．2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．已知△ABC的三边长分别为，，2，则△ABC的面积为________．

12．如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射后，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________．

(第12题)　 (第13题)　 (第14题)

13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛藤生长在木头下端A点，缠绕木头7周，葛梢与木头上端B点刚好齐平(如图)，问葛藤有多长？则葛藤的长是__________尺．(注：1丈等于10尺，葛藤缠绕木头以最短的路径向上长，误差忽略不计)

14．如图，在四边形ABCD中，AC和BD是其对角线，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，∠ABC＝135°.

(1)BD的长为________；

(2)若BC＝，则BDAC＝________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长．

(第15题)

16．如图，有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合下列要求的图形(所画图形的顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合)：

(1)在图①中画一个一条直角边长为4，面积为6的直角三角形；

(2)在图②中画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；

(3)在图③中画一个面积为5的等腰直角三角形；

(4)在图④中画一个一边长为2 ，面积为6的等腰三角形．

(第16题)

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°的方向以每小时15海里的速度前进，两艘渔船同时出发，2小时后，甲渔船到达M岛，乙渔船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离．

(第17题)

18.如图，旗绳AC自由下垂时，比旗杆AB长2米，如果将旗绳斜着拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离BC＝6米，求旗杆AB的高度．

(第18题)

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19．如图，将竖直放置的长方形框ABCD推倒至长方形A′B′C′D′的位置，长方形ABCD的长和宽分别为a，b，AC的长为c.

(1)请用只含a，b的代数式表示S_△ABC，S_{△C′A′D′}和S_{直角梯形A′D′BA}；用只含c的代数式表示S_△ACA′；

(2)请利用(1)的结论证明勾股定理．

(第19题)

20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4 ，CD＝8.

(1)求∠ADC的度数；

(2)求四边形ABCD的面积．

(第20题)

六、(本题满分12分)

21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．

(第21题)

七、(本题满分12分)

22．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，c为最长边长，当a²＋b²＝c²时，△ABC是直角三角形；当a²＋b²≠c²时，利用a²＋b²和c²的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．

(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为__________三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为__________三角形；

(2)猜想：当a²＋b²________c²时，△ABC为锐角三角形；当a²＋b²________c²时，△ABC为钝角三角形；

(3)若a＝2，b＝4，那么当c分别满足什么条件时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？

八、(本题满分14分)

23．定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

(1)在你学过的四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.

①求证：△BCE是等边三角形；

②求证：DC²＋BC²＝AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

(第23题)

答案

一、1.C　2.D　3.C　4.A　5.A　6.C

7．A　8.A　9.D

10．D　思路点睛：作点E关于边AB所在直线的对称点E′，连接FE′交AB于点P，连接AE′，此时PE＋PF有最小值，最小值为E′F的长．

二、11.　12.　13.29

14．(1)2 　(2)2

三、15.解：在Rt△ACD中，

CD＝＝＝5.

BC＝14，BD＝BC－CD＝14－5＝9.

16．解：(1)如图①所示．

(2)如图②所示．

(3)如图③所示．

(4)如图④所示．

(第16题)

四、17.解：由题意可知，∠MBP＝180°－60°－30°＝90°，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，

所以MP＝＝34(海里)．

答：P岛与M岛之间的距离为34海里．

18．解：设旗杆的高度为x米，根据题意，得

(x＋2)²＝x²＋6²，解得x＝8.

答：旗杆AB的高度为8米．

五、19.(1)解：S_△ABC＝ab，S_{△C′A′D′}＝ab，S_{直角梯形A′D′BA}＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)²，S_△ACA′＝c².

(2)证明：由题意可知S_△ACA′＝S_{直角梯形A′D′BA}－S_△ABC－S_{△C′A′D′}＝(a＋b)²－ab－ab＝(a²＋b²)．

又因为S_△ACA′＝c²，

所以a²＋b²＝c².

20．解：(1)如图，连接BD.

(第20题)

∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．

∴∠ADB＝60°，DB＝AB＝4.∵4²＋8²＝(4 )²，

∴DB²＋CD²＝BC².∴∠BDC＝90°.

∴∠ADC＝60°＋90°＝150°.

(2)如图，过点B作BE⊥AD，垂足为点E.

∵∠A＝60°，∴∠ABE＝30°.

∴AE＝AB＝2.∴BE＝＝2 .

∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABD＋S_△BDC＝×4×2 ＋×4×8＝4 ＋16.

六、21.解：如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，连接PE，

∴易得△PCE为等腰直角三角形，BE＝PA＝3，

∴∠CPE＝45°，PE²＝2PC²＝8，BE²＝9.

又∵PB²＝1，∴PE²＋PB²＝BE²，

∴∠BPE＝90°，∴∠BPC＝45°＋90°＝135°.

(第21题)

七、22.解：(1)锐角；钝角

(2)＞；＜

(3)∵c为最长边长，2＋4＝6，

∴4≤c＜6.a²＋b²＝2²＋4²＝20.

当a²＋b²＞c²时，c²＜20，易得4≤c＜2 ，

∴当4≤c＜2 时，△ABC是锐角三角形；

当a²＋b²＝c²时，c²＝20，

∴c＝2 ，

∴当c＝2 时，△ABC是直角三角形；

当a²＋b²＜c²时，c²＞20，易得2 <c<6，

∴当2 ＜c＜6时，△ABC是钝角三角形．

八、23.(1)解：正方形，长方形．(答案不唯一)

(2)证明：①由题意得△ABC≌△DBE，∴BC＝BE.

∵∠CBE＝60°，

∴△BCE是等边三角形．

②∵△ABC≌△DBE，

∴AC＝ED.

又∵△BCE是等边三角形，

∴BC＝CE，∠BCE＝60°.

∵∠DCB＝30°，

∴∠DCE＝90°.

在Rt△DCE中，DC²＋CE²＝DE²，

∴DC²＋BC²＝AC².

∴四边形ABCD是勾股四边形．