期末学情评估

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．要使有意义，则x的取值范围是(　　)

A．x>－2 B．x≠1

C．x≥－2且x≠1 D．x>－2且x≠1

2．数“20 242 205”中，数字“2”出现的频率是(　　)

A．62.5%　 B．50%　 C．25%　 D．12.5%

3．一个正多边形的内角和是1 440°，则它的每个外角的度数是(　　)

A．30° B．36° C．45° D．60°

4．下列计算中正确的是(　　)

A.＝－2 B.＝2

C．3 －＝3 D.＋＝

5．关于x的一元二次方程x²－4mx＋3m²＝0(m>0)的一根比另一根大2，则m的值为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

6．下列说法中不正确的是(　　)

A．三个内角度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形

B．三边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形

C．三个内角度数之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形

D．三边长之比为1∶2∶的三角形是直角三角形

7．如图是八年级(1)班同学在一次体检中每分钟心跳次数的频数直方图(次数均为整数)．已知该班只有5位同学的心跳为每分钟75次，通过观察直方图，指出下列说法中错误的是(　　)

A．数据75落在第2小组(59.5～69.5为第1组)

B．第4小组的频率为0.1

C．数据75一定是中位数

D．心跳每分钟75次的人数占该班体检人数的

(第7题)　 (第8题)

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD等于(　　)

A．2 B．3 C．4 D．2

9．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰：半广以乘正从”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即利用三角形的三条边长来求三角形的面积，用式子可表示为S＝(其中a，b，c为三角形的三条边长，S为三角形的面积)．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为(　　)

A. B. C. D.

(第9题)　 (第10题)

10．正方形ABCD，正方形CEFG按如图所示的方式摆放，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M，有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB²＋CE²＝AF²；⑤S_{正方形ABCD}＋S_{正方形CEFG}＝2S_△APF.其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．计算：×＝________．

12．关于x的一元二次方程(m－5)x²＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是____________________________________________________．

13．如图，在▱ABCD中，P是AB的中点，PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，CP，则图中与△APC面积相等的三角形有________个．

(第13题)　　 (第14题)

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别在AC，AB上，沿DE将△ABC折叠，点A与点C重合，延长DE到点F，使得EF＝2DE，连接BF.

(1)四边形CBFE的形状是________；

(2)若AC＝4 ，则四边形CBFE的面积为________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15．计算：－－(＋1)².

16．解下列方程：

(1)x²－2x－4＝0(用配方法)；

(2)x(x＋1)＝2＋2x.

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17．已知关于x的一元二次方程x²＋ax－5＝0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根．

18.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝9，AC＝12，BD＝6 ，则▱ABCD是不是菱形？为什么？

(第18题)

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19．先化简，再求值：÷，其中a＝＋1.

20．如图，把一个等腰直角三角形零件(△ABC，其中∠ACB＝90°)放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠D＝∠E＝90°，测得AD＝5 cm，BE＝7 cm，求该三角形零件的面积．

(第20题)

六、(本题满分12分)

21．某校要从王同学和李同学中挑选一人参加县知识竞赛，在五次选拔测试中他们的成绩(单位：分)如下表．

	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次
王同学	60	75	100	90	75
李同学	70	90	100	80	80

根据上表解答下列问题：

(1)完成下表：

	平均成绩(分)	中位数(分)	众数(分)	方差
王同学	80	75	75	190
李同学

(2)在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀，则王同学、李同学在这五次测试中的优秀率各是多少？

(3)历届比赛表明，成绩达到80分以上(含80分)就很可能获奖，成绩达到90分以上(含90分)就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？请说明理由．

七、(本题满分12分)

22．铁棍山药上有像铁锈一样的痕迹，故得名铁棍山药．某网店购进铁棍山药若干箱．物价部门规定其销售价格不高于80元/箱，经市场调查发现：销售价格定为80元/箱时，每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱．

(1)已知某天售出铁棍山药70箱，则当天的销售价格为________元/箱．

(2)该网店现有员工2名．支付员工的工资为每人每天100元，每天平均支付运费及其他费用250元，当某天的销售价格为45元/箱时，收支恰好平衡．求铁棍山药的进价．

八、(本题满分14分)

23．对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

(2)性质探究：如图②，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.猜想：AB²＋CD²与AD²＋BC²有什么关系？并证明你的猜想．

(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

(第23题)

答案

一、1.C　2.B　3.B　4.B　5.A　6.A　7.C

8．C　点拨：在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线，所以CE＝AB＝AE＝5.又因为AD＝2，所以DE＝3.因为CD为AB边上的高，所以在Rt△CDE中，由勾股定理可求得CD＝4，故选C.

9．B　10.D

二、11.3

12．4　点拨：因为关于x的一元二次方程(m－5)x²＋2x＋2＝0有实数根，所以Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，所以m的最大整数值是4.

13．3

14．(1)菱形　(2)8

三、15.解：－－(＋1)²

＝2－－(3＋2 ＋1)

＝2－－3－2 －1

＝－2－3 .

16．解：(1)移项，得x²－2x＝4，

配方，得x²－2x＋1＝4＋1，

即(x－1)²＝5，

开平方，得x－1＝±，

所以x₁＝1＋，x₂＝1－.

(2)移项，得x(x＋1)－(2＋2x)＝0，

即x(x＋1)－2(x＋1)＝0.

提公因式，得(x＋1)(x－2)＝0，

所以x＋1＝0或x－2＝0，

解得x₁＝－1，x₂＝2.

四、17.(1)证明：因为Δ＝a²－4×1×(－5)＝a²＋20＞0，

所以方程总有两个不相等的实数根．

(2)解：设另一个根为x₁，

因为x²＋ax－5＝0有一个根是1，

所以x₁×1＝－5，

解得x₁＝－5，

故方程的另一个根为－5.

18．解：▱ABCD是菱形，理由如下：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝6 ，

∴AO＝AC＝6，BO＝BD＝3 .

∵AB²＝9²＝81，AO²＝36，BO²＝(3 )²＝45，

∴AB²＝AO²＋BO²，

∴△ABO是直角三角形，且∠AOB＝90°，

∴AC⊥BD，

∴▱ABCD是菱形．

五、19.解：原式＝×

＝

＝

＝.

当a＝＋1时，

原式＝＝＝.

20．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

∴AC＝BC，∠ACD＋∠BCE＝90°.

∵∠D＝90°，

∴∠ACD＋∠DAC＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE.

在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB，

∴DC＝EB＝7 cm，

∴AC＝＝＝(cm)，

∴BC＝AC＝ cm，

∴该三角形零件的面积为××＝37(cm²)．

六、21.解：(1)84；80；80；104

(2)在这五次测试中，成绩比较稳定的是李同学．

王同学的优秀率为×100%＝40%，

李同学的优秀率为×100%＝80%.

(3)选李同学参加比赛比较合适．

理由：李同学的优秀率比王同学高，成绩比较稳定，获奖机会大(理由合理即可)．

七、22.解：(1)55

(2)设铁棍山药的进价是x元/箱，根据题意得

(45－x)[(80－45)×2＋20]＝2×100＋250，

解得x＝40.

答：铁棍山药的进价是40元/箱．

八、23.解：(1)四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：

如图①，连接AC，BD，

∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上．

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，

∴四边形ABCD是垂美四边形．

(第23题)

(2)AB²＋CD²＝AD²＋BC².证明如下：

∵四边形ABCD是垂美四边形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.

由勾股定理，得AD²＋BC²＝OA²＋OD²＋OB²＋OC²，

AB²＋CD²＝OA²＋OB²＋OC²＋OD²，

∴AB²＋CD²＝AD²＋BC².

(3)如图②，设CE交AB于点M，交BG于点N，连接BE，CG.

∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，AC＝4，AB＝5，

∴∠CAG＝∠BAE＝90°，AG＝AC＝4，AE＝AB＝5，

∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，

即∠GAB＝∠CAE.

在△GAB和△CAE中，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG＝∠AEC.

又∵易知∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMN，

∴∠ABG＋∠BMN＝90°，

∴∠BNM＝90°，

即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形．

在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝5，

∴BC²＝AB²－AC²＝9.

在Rt△ACG中，CG²＝AC²＋AG²＝32，

在Rt△ABE中，BE²＝AB²＋AE²＝50，

由(2)可得CB²＋GE²＝CG²＋BE²，

即9＋GE²＝32＋50，

解得GE＝(负值舍去)．

即GE的长为.