期末综合素质评价

一、选择题 (本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．

1．【2023·南阳实验中学校考】下列根式中为最简二次根式的是(　　)

A． B． C． D．

2．方程3x²＝0的根是(　　)

A．x₁＝x₂＝ B．x₁＝x₂＝0

C．x₁＝x₂＝3 D．x₁＝x₂＝

3．【2023·怀化】某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是(　　)

A．众数是9.6 B．中位数是9.5

C．平均数是9.4 D．方差是0.3

4．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝15，AB＝17，BD＝AD，则CD的值为(　　)

A．7.5 B．8.5 C． D．4

5．【母题：教材P₃₆习题T₄】已知关于x的一元二次方程kx²－(2k－3)x＋k－2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)

A．k> B．k<且k≠0 C．k>－且k≠0 D．k<－

6.为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪(如图所示)，测温仪离地面的距离AB＝2.2 m，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7 m的小明CD正对门缓慢走到离门1.2 m处时(即BC＝1.2 m)，测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于(　　)

A．0.5 m B．1.2 m C．1.3 m D．1.7 m

7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的高AH的长是(　　)

A．4 B．5 C． D．

8．【易错题】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

9．如图，在一次函数y＝－x＋6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴上方满足上述条件的点P是(　　)

A．(1，5)、(5，1)

B．(1，5)、(5，1)、(3＋，3－)、(3－，3＋)

C．(1，5)、(5，1)、(3－，3＋)

D．(1，5)、(2＋，2－)、(2－，2＋)

10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段OC上，点F是AB的中点，连接EF交DB于点M，连接EB，若∠AEB＝∠OME，则EF的长为(　　)

A．2 B． C． D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．分式有意义的条件是________________．

12．【2023·合肥瑶海区期中】改编若m，n是一元二次方程x²＋2x－1＝0的两个实根，则m²＋3m＋n的值是________．

13.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1＋∠2＝________.

14．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝3 cm，EF＝4 cm.

(1)HF＝________；

(2)矩形ABCD的周长为________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．计算：

(1) ；

(2)×＋(4－2)÷2.

16．【2023·六安金安区期中】解方程：

(1)x²＋4x－3＝0; (2)－＝1.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点．

求证：四边形AEDF是菱形．

18．【2023·合肥蜀山区期末】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.点P从点A出发，沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点间的距离是 4 cm?

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．

(1)平行四边形有________条面积等分线；

(2)如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S_△ABC<S_△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．

20．【2023·蚌埠禹会区期中】改编如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示，不用篱笆)，已知墙长为 28 m.

(1)当BC的长为多少米时，矩形花园的面积为300 m²；

(2)能否围成500 m²的矩形花园？若能，求出 BC的长；若不能，说明理由．

六、(本题满分12分)

21．【2023·重庆A卷】为了解A，B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间(分钟)，并对数据进行整理、描述和分析(运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80)，下面给出了部分信息：

A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：

60，64，67，69，71，71，72，72，72，82.

B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：

70，71，72，72，73.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中a＝________，b＝________，m＝________．

(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由．(写出一条理由即可)

(3)若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？

七、(本题满分12分)

22．【2023·安庆迎江区期中】改编某商城在“6·18”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．

(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老用户，商城对该商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个12.8元售出，求每次降价的百分率；

(2)市场调研表明：当该商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．

①在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想该商品每天的销售额为1 190元，则每个应降价多少元？

②若要使该商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？

八、(本题满分14分)

23．如图①，在正方形ABCD中，P是CD边上一个动点(P与C，D不重合)，以CP为边在正方形ABCD外作矩形PCEF，连接BP，DE，且BP＝DE.

(1)求证：矩形PCEF是正方形；

(2)在图①中，连接AP，当点P在什么位置时，AP＝DE？请证明；

(3)将图①中的正方形PCEF绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图②的情形，请你猜想图②中BP与DE的位置关系与数量关系，并证明你的结论．

答案

一、1．B　【点拨】A.∵＝3，∴不是最简二次根式，故A选项错误；B. 是最简二次根式，故B选项正确；C.∵＝，∴不是最简二次根式，故C选项错误；D.∵＝a，∴不是最简二次根式，故D选项错误．

2．B　【点拨】∵3x²＝0，∴x²＝0.∴x₁＝x₂＝0.

3．A　【点拨】A.9.6 出现次数最多，众数是9.6，故A正确；

B.个数按从小到大的顺序排列为9.2， 9.4，9.6，9.6，9.7，所以中位数是9.6，故B不正确；C. 平均数是× (9.2+9.4+9.6×2+9.7)=9.5，故C不正确，D.方差是×[(9.2-9.5)²+(9.4-9.5）²+2×(9.6-9.5)²+(9.7-9.5)²]= 0.032，故D不正确.故选A.

4．B　【点拨】∵AC＝8，BC＝15，AB＝17，∴AC²＋BC²＝8²＋15²＝289.AB²＝17²＝289.∴AC²＋BC²＝AB².∴△ABC 是直角三角形且∠BCA＝90°.

∵BD＝AD，∴CD＝AB＝8.5，故选B.

5．B　【点拨】由题可得：

解得k＜且k≠0.

6．C　【点拨】如图，过点D作DE⊥AB于点E.由题意得AB＝2.2 m， CD＝1.7 m，BC=1.2m，易得BE＝CD=1.7m，DE=BC＝1.2 m，∴AE＝AB－BE＝2.2－1.7＝0.5(m)．在Rt△ADE中，由勾股定理得AD＝＝＝1.3(m)．

7．C　【点拨】∵四边形ABCD是菱形，且AC＝6，DB＝8，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AC⊥BO.∴BC＝＝＝5.∵S_菱形ABCD＝AC·BD＝BC·AH，∴AH＝.

8．D　【点拨】如图，连接DE并延长交AB于点H.

∵AB∥CD，∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE.∵点E是AC的中点，∴CE＝AE.∴△DCE≌△HAE.∴DE＝HE，DC＝AH.∵点F是BD的中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF＝BH.∵BH＝AB－AH＝AB－DC＝2，∴EF＝1.

　　

9．C　【点拨】设点P的坐标为(m，－m＋6)，易得m＜6，由已知得：|m|·|－m＋6|＝5，即m²－6m＋5＝0或m²－6m－5＝0，解得m₁＝1，m₂＝5，m₃＝3＋（舍去），m₄＝3－.

∴点P的坐标为(1，5)，(5，1)，(3－，3＋)．

10．B　【点拨】如图，

过点E作EH⊥BF于点H，则∠AHE＝90°.在边长为4的正方形ABCD中，AC⊥BD，AB＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠BOC＝90°.∴∠OEM＋∠OME＝∠AEB＋∠OBE＝90°.∵∠AEB＝∠OME，∴∠OEM＝∠OBE.∵∠BFE＝∠BAO＋∠OEM，∠EBF＝∠OBA＋∠OBE.∴∠BFE＝∠EBF.∴EF＝BE.∵EH⊥BF，∴FH＝BH.∵点F为AB的中点，∴AF＝BF＝2.∴FH＝1.∴AH＝3.

∵∠OAB＝45°，∴∠AEH＝45°.∴∠OAB＝∠AEH.∴EH＝AH＝3.∴EF＝＝.

二、11．x≥2且x≠3　【点拨】由分母不为0可知x－3≠0.∴x≠3.由二次根式有意义的条件可知x－2≥0，∴x≥2.

∴分式有意义的条件是x≥2且x≠3.

12．－1　【点拨】∵m，n是一元二次方程x²＋2x－1＝0的实根，∴m²＋2m－1＝0，m＋n＝－2.∴m²＋2m＝1.∴m² ＋3m＋n＝m²＋2m＋m＋n＝1－2＝－1.

13．45°　【点拨】如图所示，连接AC，由勾股定理可得： AB²＝1²＋2²＝5＝BC²，AC²＝1²＋3²＝10，∴AB²＋BC²＝AC².∴∠ABC＝90°.∴∠ABC＝∠CED＝90°.又∵而∠ADB＝∠CDE，∴∠1＝∠3.∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝45°.

14．(1)5 cm　(2)19.6 cm

【点拨】（1）如图所示，由折叠得，∠AEH＝∠HEM，∠BEF＝∠FEM，∵∠AEH＋∠HEM＋∠BEF＋∠FEM＝180°，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝×180°＝90°.∵EH＝3 cm，EF＝4 cm，∴HF＝＝＝5(cm)．

（2）由翻折得EA= EM，EB = EM，∠EMH = ∠A=90°，

∴AB=AE + EB =2EM.

∵S_△HEF= EM·HF = EH·EF.

∴EM＝＝＝(cm)．∴AB＝2×＝(cm)．由折叠知，AH＝HM，BF＝MF，DH＝HN，CF＝NF，∴AH＋DH＋BF＋CF＝HM＋MF＋HN＋NF.∴AD＋BC＝2HF＝2×5＝10.∵AD＝BC，∴AD＝5.∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2＝19.6(cm).

三、15．【解】(1)原式＝－＝4－－ ＋＝ .

(2)原式＝＋(4 ÷2 －2 ÷2 )＝7 ＋2－＝6 ＋2.

16．【解】(1)x²＋4x－3＝0.

移项，得x²＋4x＝3.

方程两边都加4，得x²＋4x＋4＝3＋4.

配方，得(x＋2)²＝7.

∴x＋2＝±，解得x₁＝－2＋，x₂＝－2－.

(2)－＝1,

去分母，得(x－1)²－x(2x－1)＝x(x－1),

整理，得－2x²＋1＝0，解得x₁＝x₂＝.

经检验，x＝是原方程的解．

四、17．【证明】连接AD.

∵AB＝AC，点D为BC的中点，

∴AD⊥BC.

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵点E，F分别为AB，AC的中点，

∴DE＝AE＝BE＝AB，DF＝AF＝CF＝AC.

∴DE＝AE＝DF＝AF.

∴四边形AEDF是菱形．

18．【解】设经过t s后，P，Q两点间的距离是4 cm.

根据题意，得(2t)²＋(6－t)²＝(4 )²，

整理，得(5t－2)(t－2)＝0，

解得t₁＝，t₂＝2.

当t＝2时，2t＝4＜8，符合题意，

答：经过 s或2 s后，P，Q两点间的距离是4 cm.

五、19．【解】(1)无数

(2)如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE.

∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等．∴S_△AEC＝S_△ABC.

∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD＝S_△ACD＋S_△AEC＝S_△AED.∵S_△ACD＞S_△ABC，∴面积等分线必与CD相交，取DE的中点F，连接AF，则直线AF即为要画的四边形ABCD的面积等分线．

20．【解】(1)设矩形花园BC的长为x s，则其宽为(60－x＋2) s，依题意列方程得

(60－x＋2)x＝300，

整理得x²－62x＋600＝0，解得x₁＝12，x₂＝50.

∵28＜50，∴x²＝50(不合题意，舍去)．∴x＝12.

答：当矩形的长BC为12 s时，矩形花园的面积为300 s².

(2)不能围成500 s²的矩形花园．理由如下：若能围成500 s²的矩形花园，则由(1)可得

(60－x＋2)x＝500，整理得x²－62x＋1 000＝0，

Δ＝622－4 000＝－156＜0，

则该方程无解，即不能围成500 s²的矩形花园．

六、21．【解】(1)72；70.5；10

(2) B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行最长时间的方差比A款智能玩具飞机运行最长时间的方差小，运行时间比较稳定.（答案不唯一）

(3) 200架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上得有200×=120（架），

120架B款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的有120×=72（架）.

则估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有120+72-192（架）.

七、22．【解】(1)设每次降价的百分率为x，

依题意得20(1－x)²＝12.8，

(1－x)²＝0.64，

解得x₁＝0.2＝20%，x₂＝1.8(不合题意，舍去)．

答：每次降价的百分率是20%.

(2)①假设降价a元，依题意得：

(20－a)(40＋10a)＝1 190.

整理得a²－16a＋39＝0，

解得a＝3或a＝13.

∵20－13＝7＜12，故a＝13(舍去)，∴a＝3.

答：每个应降价3元．

②设降价b元后，利润为W元，则

W＝(20－12－b)(40＋10b)

＝(8－b)(40＋10b)

＝－10b2＋40b＋320

＝－10(b－2)2＋360.

∵－10＜0，

∴当b＝2时，利润有最大值，最大利润为360元．

八、23．(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCP＝∠DCE＝90°.

又∵BP＝DE，∴Rt△BCP≌Rt△DCE(HL)．

∴CP＝CE.

∵四边形PCEF是矩形，∴矩形PCEF是正方形．

(2)【解】当点P是CD的中点时，AP＝DE.

证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADP＝∠BCP＝90°.

又∵P是CD的中点，∴CP＝DP.∴△ADP≌△BCP(SAS)．

由(1)知，Rt△BCP≌Rt△DCE.∴△ADP≌△DCE.∴AP＝DE.

(3)【解】BP＝DE，BP⊥DE.

证明如下：∵四边形ABCD，四边形PCEF都是正方形，∴BC＝DC，CP＝CE，∠BCD＝∠PCE＝90°.∴∠BCD＋∠DCP＝∠PCE＋∠DCP，即∠BCP＝∠DCE.

∴△BCP≌△DCE(SAS)．∴BP＝DE，

∠PBC＝∠EDC.

∵∠PBC＋∠BGC＝90°，∠BGC＝∠DGO，

∴∠EDC＋∠DGO＝90°，即∠DOG＝90°.

∴BP⊥DE.