第17章学情评估

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)

A．x²＋＝0 B．x²－x－2＝0 C．3x²－2xy＝0 D．4－y²＝0

2．用公式法解方程2t²＝6t＋3时，a，b，c的值分别为(　　)

A．2，6，3 B．2，－6，－3 C．－2，6，－3 D．2，6，－3

3．方程2x²－8＝0的根是(　　)

A．x＝2或x＝－2 B．x＝4 C．x＝2 D．x＝－2

4．用配方法解一元二次方程x²－4x＋1＝0时，下列变形正确的是(　　)

A．(x－2)²＝1 B．(x－2)²＝5 C．(x＋2)²＝3 D．(x－2)²＝3

5．一元二次方程x²＋4＝2x根的情况是(　　)

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．只有一个实数根

6．解方程4(3x＋2)²＝3x＋2，最简便的解法是(　　)

A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法

7．已知x＝1是一元二次方程(m－2)x²＋4x－m²＝0的一个根，则m的值为(　　)

A．1 B．－1或2 C．－1 D．0

8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出小分支的个数？设每个支干长出小分支的个数为x，则可列方程为(　　)

A．1＋2x＝111 B．x²＋x＋1＝111

C．1＋x²＝111 D．(1＋x)²＝111

9．如果一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)满足4a－2b＋c＝0，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知ax²＋bx＋c＝0是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　　)

A．b＝c B．a＝b C．a＝2b D．a＝c

10．对于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：①当b＝a＋c时，方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)一定有实数根；②若a，c异号，则方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)一定有实数根；③若b²－5ac＞0，则方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)一定有两个不相等的实数根；④若方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则方程cx²＋bx＋a＝0(a≠0)也一定有两个不相等的实数根．其中正确的是(　　)

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②④

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．已知(m－1)x^|m|＋1－2x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．

12．若关于x的一元二次方程kx²＋2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．

13．若a，b是一元二次方程x²＋x－6＝0的两个根，则a²＋2a＋b＝________．

14．已知关于x的一元二次方程x²＋2x－m²－m＝0(m>0)．

(1)该方程根的情况是________________；

(2)当m＝1，2，3，…，2 024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α₁、β₁，α₂、β₂，α₃、β₃，…，α_{2 024}、β_{2 024}，则＋＋＋＋＋＋…＋＋的值为________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15．将一元二次方程(x－1)(2x－3)＝x(3x－1)化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．

16．解下列方程：

(1)x²－7x－18＝0；

(2)3x(x＋3)＝2(x＋3)．

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17．先化简，再求值：÷，其中x满足x²－2x－8＝0.

18．如图，某小区有一块长为18 m，宽为6 m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，它们的面积之和为60 m²，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行道，则人行道的宽为多少米？

(第18题)

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19．已知关于x的一元二次方程x²－2mx＝－m²＋2x有两个实数根x₁，x₂.

(1)求m的取值范围；

(2)若x₁，x₂满足|x₁|＝x₂，求m的值．

20．已知关于x的一元二次方程x²＋(m＋1)x＋m＝0.

(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；

(2)若a为方程的一个根，且满足0<a<3，求整数m的值．

六、(本题满分12分)

21．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．

(1)求该公司销售A产品每次的增长率；

(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套．若该公司5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？

七、(本题满分12分)

22．阅读材料，并回答问题：

为解方程(x²－1)²－5(x²－1)＋4＝0，我们可以将(x²－1)看成一个整体，然后设x²－1＝y，那么原方程可化为y²－5y＋4＝0①，解得y₁＝1，y₂＝4.当y＝1时，x²－1＝1，所以x²＝2，所以x₁＝，x₂＝－.当y＝4时，x²－1＝4，所以x²＝5，所以x₃＝，x₄＝－.故原方程的解为x₁＝，x₂＝－，x₃＝，x₄＝－.

上述在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．

(1)已知方程＝x²－2x－3，若设x²－2x＝a，试将原方程化成一般式；

(2)请利用以上方法解方程：(x²＋2x)²－(x²＋2x)－6＝0.

八、(本题满分14分)

23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.

(1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动；

①如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm^2?

②线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由；

(2)若点P沿线段AB从A点出发以1 cm/s的速度向点B运动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2 cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，经过几秒，△PBQ的面积为1 cm^2?

(第23题)

答案

一、1.B　2.B　3.A　4.D　5.C　6.B

7．C　8.B　9.A　10.B

二、11.－1　12.k≤1且k≠0

13．5　点拨：∵a，b是一元二次方程x²＋x－6＝0的两个根，∴a＋b＝－1，a²＋a－6＝0，∴a²＋a＝6，∴a²＋2a＋b＝(a²＋a)＋(a＋b)＝6－1＝5.

14．(1)有两个不相等的实数根　(2)

点拨：因为x²＋2x－m²－m＝x²＋2x－m(m＋1)＝0，所以由根与系数的关系，得 α₁＋β₁＝－2，α₁β₁＝－1×2；α₂＋β₂＝－2，α₂β₂＝－2×3；α₃＋β₃＝－2，α₃β₃＝－3×4；…；α_{2 024}＋β_{2 024}＝－2，α_{2 024}β_{2 024}＝－2 024×2 025，所以原式＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2×(1－＋－＋－＋…＋－)＝2×(1－)＝.

三、15.解：方程化为一般形式为x²＋4x－3＝0.

二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是－3.

16．解：(1)因为a＝1，b＝－7，c＝－18，

所以b²－4ac＝(－7)²－4×1×(－18)＝121>0.

所以x＝＝.

所以x₁＝9，x₂＝－2.

(2)移项，得3x(x＋3)－2(x＋3)＝0.

提公因式，得(x＋3)(3x－2)＝0.

即x＋3＝0或3x－2＝0.

解得x₁＝－3，x₂＝.

四、17.解：原式＝÷

＝÷

＝·＝.

解x²－2x－8＝0，得x＝4或x＝－2，

由题意得x≠±2且x≠0，

所以x＝4，

所以原式＝.

18．解：设人行道的宽为x m(0<x<3)．

根据题意，得(18－3x)(6－2x)＝60.

整理，得(x－1)(x－8)＝0.

解得x₁＝1，x₂＝8(不合题意，舍去)．

答：人行道的宽为1 m.

五、19.解：方程可化为x²－(2m＋2)x＋m²＝0，

所以Δ＝－4×1×m²＝8m＋4.

(1)因为方程有两个实数根x₁，x₂，

所以Δ＝8m＋4≥0，即m≥－.

(2)因为|x₁|＝x₂，

所以x₁＝x₂或x₁＋x₂＝0.

当x₁＝x₂时，Δ＝8m＋4＝0，

解得m＝－.

当x₁＋x₂＝0时，x₁＋x₂＝2m＋2＝0，

解得m＝－1.

又因为m≥－，

所以m＝－1不符合题意，舍去．

所以m的值为－.

20．(1)证明：因为Δ＝(m＋1)²－4×1×m＝m²＋2m＋1－4m＝m²－2m＋1＝(m－1)²≥0，

所以无论m为何值，方程总有两个实数根．

(2)解：因为x²＋(m＋1)x＋m＝0，

所以(x＋1)(x＋m)＝0，

所以x＋1＝0或x＋m＝0，

即x₁＝－1，x₂＝－m，

因为a为方程的一个根，且0<a<3，

所以0<－m<3，所以－3<m<0，

所以整数m的值为－2或－1.

六、21.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，

依题意，得20(1＋x)²＝45.

解得x₁＝0.5＝50%，x₂＝－2.5(不合题意，舍去)．

答：该公司销售A产品每次的增长率为50%.

(2)设每套A产品降价y万元，则每月可售出套．

依题意，得(2－y)(30＋)＝70.

整理，得4y²－5y＋1＝0.解得y₁＝，y₂＝1.

因为要尽量减少库存，所以取y＝1.

答：每套A产品需降价1万元．

七、22.解：(1)把x²－2x＝a代入＝x²－2x－3，

得＝a－3.

所以1＝a²－3a，

即a²－3a－1＝0(a≠0)．

(2)设x²＋2x＝y，则原方程化为y²－y－6＝0.

整理，得(y－3)(y＋2)＝0.

解得y₁＝3，y₂＝－2.

当y＝3时，x²＋2x＝3.

解得x₁＝1，x₂＝－3.

当y＝－2时，x²＋2x＝－2，

即x²＋2x＋2＝0.

因为Δ＝2²－4×1×2＝－4<0，

所以该方程无解．

综上所述，原方程的解为x₁＝1，x₂＝－3.

八、23.解：(1)①设经过x s，△PBQ的面积等于8 cm².

依题意，得(6－x)·2x＝8.

解得x₁＝2，x₂＝4.

故经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm².

②不能，理由如下：假设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分．

因为△ABC的面积＝×6×8＝24(cm²)，

所以△PBQ的面积为12 cm²，即(6－y)·2y＝12，

整理得y²－6y＋12＝0.

因为Δ＝(－6)²－4×1×12＝－12<0，

所以此方程无实数根，

所以假设不成立，即线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．

(2)①当点Q在线段CB上时，设经过m s，△PBQ的面积为1 cm².

依题意，得(6－m)(8－2m)＝1，

整理得m²－10m＋23＝0.

解得m₁＝5＋(舍去)，m₂＝5－.

②当点Q在CB的延长线上时，设经过n s，△PBQ的面积为1 cm².

依题意，得(6－n)(2n－8)＝1，

整理得n²－10n＋25＝0.解得n₁＝n₂＝5.

综上所述，经过(5－)s或5 s，△PBQ的面积为1 cm².