2.4 三角形的中位线

一、选择题(本大题共8小题)

1. 如图，DE是△ABC的中位线，则△ABC与△ADE的周长的比是 ( )

A．1:2 B．2:1 C．1:3 D．3:1

第1题图 第2题图 第3题图

2. 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．1+

3. 如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（　　）

A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE

4. 一个三角形的周长是36 cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是 ( )

A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．36 cm

5. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

第5题图 第6题图

6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4

第7题图 第8题图 第9题图

8. 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　）

A．5 B．7 C．9 D．11

二、填空题(本大题共6小题)

9. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　 　．

10. 如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20 m，则池塘的宽度 AB为　　　　　　m．　　

第10题图 第11题图 第12题图

11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=    cm．

12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=　 　．

13. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 ．

第13题图 第14题图

14. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于　 　cm．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．

（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．

16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）求证：∠DHF=∠DEF．

17. 如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．

（ 1）求证：AE=AF；

（2）求证：BE=（ AB+AC）．

18. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题)

1. B

分析：根据三角形中位线定理解答即可。

解：已知DE是△ABC的中位线，所以D，E分别是AB和AC的中点，根据中位线定理可知△ADE的每一条边都是△ABC的对应边的一半，那么周长也应该是△ABC的一半。故选B．

2. A

分析：由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=A B．

解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴AB=2BC=2．

又∵点D、E分别是AC、BC的中点，

∴DE是△ACB的中位线，

∴DE=A B=1．

故选：A．

3.B

分析：首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．

解：∵DE是△ABC的中位线，

∴E为AC中点，

∴AE=EC，

∵CF∥BD，

∴∠ADE=∠F，

在△ADE和△CFE中，

∵，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴DE=FE．

故选B．

4. 解: 如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴DE= BC，DF= AC，EF= AB，

∵原三角形的周长为36，

则新三角形的周长为 =18．

故答案为：18．

5. B

分析：根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=A C，由此即可解决问题．

解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC== = 10，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DF∥BM，DE=B C=3，

∴∠EFC=∠FCM，

∵∠FCE=∠FCM，

∴∠EFC=∠ECF，

∴EC=EF=A C=5，

∴DF=DE+EF=3+5=8．

故选B．

6. D

分析：在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=B C．

解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，

∴BC=6．

又∵DE垂直平分AC交AB于点E，

∴DE是△ACB的中位线，

∴DE=B C=3．

故选：D．

7.D

分析：先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．

解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，

∴AB=2DF=8，

∵AD=DB，AE=EC，

∴DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABF=30°，

∴AF=A B=4，

∴BF== = 4．

故选D．

8. B

分析：先根据三角形中位线性质得DF=B C=2，DF∥BC，EF=A B=， EF∥AB，则可判断四边形DBEF为平行四边形，然后计算平行四边形的周长即可．

解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，

∴ DF=B C=2，DF∥BC，EF=A B= ，EF∥AB，

∴四边形DBEF为平行四边形，

∴ 四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+ ）=7．

故选B．

二、填空题(本大题共6小题)

9. 分析：根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案．

解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，

∴ DE= BC=4．故答案为：4．

10. 分析：根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．

解：∵点M、N是OA、OB的中点，

∴MN是△ABO的中位线，

∴AB=AMN．

又∵MN=20m，

∴AB=40m．

故答案是：40．

11. 分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．

解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，

∴CD= AB，

又∵EF是△ABC的中位线，

∴AB=2CD=2×5=10cm，

∴EF= ×10=5cm．故答案为：5

12. 分析：连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=C B，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=A B=3，等量代换即可．

解：连接CM，

∵M、N分别是AB、AC的中点，

∴NM=C B，MN∥BC，又CD=B D，

∴MN=CD，又MN∥BC，

∴ 四边形DCMN是平行四边形，

∴DN=CM，

∵∠ACB=90°，M是AB的中点，

∴CM=A B=3，

∴DN=3，

故答案为：3．

13. 分析：延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．

解：延长线段BN交AC于E．

∵AN平分∠BAC，

∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，

∴△ABN≌△AEN，

∴AE=AB=6，BN=NE，

又∵M是△ABC的边BC的中点，

∴CE=2MN=2×1.5=3，

∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25。

14.分析：首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．

解：∵BD=AD，BE=EC，

∴DE=A C=4cm，DE∥AC，

∵CF=FA，CE=BE，

∴EF=A B=3cm，EF∥AB，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．

故答案为14．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 分析：（1）作线段AC的垂直平分线即可．

（2）根据三角形中位线定理即可解决．

解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．

（2）∵AD=DB，AE=EC，

∴DE∥BC，DE=B C，

∵DE=4，

∴BC=8．

16.分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；

（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．

证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

∴DE、EF都是△ABC的中位线，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，

∴∠DEF=∠BAC，

∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，

∴DH=AD，FH=AF，

∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，

∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，

∠DHA+∠FHA=∠DHF，

∴∠DHF=∠BAC，

∴∠DHF=∠DEF．

17.分析：（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．

（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题．

证明：（1）∵DA平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD∥EM，

∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF．

（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．

∵EF∥CG，

∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，

∵∠AEF=∠AFE，

∴∠G=∠ACG，

∴AG=AC，

∵BM=CM．EM∥CG，

∴BE=EG，

∴BE=B G=（ BA+AG）=（ AB+AC）．

18. 分析：（1）根据三角形中位线定理得MN=A D，根据直角三角形斜边中线定理得BM=A C，由此即可证明．

（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN²=BM²+MN²即可解决问题．

解：（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴ MN∥AD，MN=A D，

在RT△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=A C，

∵AC=AD，

∴MN=BM．

（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）可知，BM=A C=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN²=BM²+MN²，

由（1）可知MN=BM=A C=1，

∴BN=