第16章学情评估
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1．下列各式：(1－x)，，，.其中分式共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列式子中，从左到右变形不正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝－1 D.－＝
3．若分式的值为0，则a的值为( )
A．±1 B．0 C．－1 D．1
4．下列计算正确的是( )
A．26÷2－2＝24 B．(x－4)0＝0 C．(－5)－1＝5 D．(x－1)2·x3＝x
5．将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小到原来的
6．卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.000 2 m．将数据0.000 2用科学记数法表示为( )
A．0.2×10－3 B．0.2×10－4 C．2×10－3 D．2×10－4
7．若式子(a－1)0＋有意义，则a的取值范围是( )
A．a≠1且a≠－1 B．a≠1或a≠－1
C．a＝1或a＝－1 D．a≠0且a≠－1
8．有一个关于农妇卖鸡蛋的故事：两个农妇共带100个鸡蛋上集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同．第一个农妇对第二个农妇说：“如果咱们两人的鸡蛋交换，我可以卖15钱．”第二个农妇道：“可是如果我们俩的鸡蛋交换，我就只能卖6钱．”这两个农妇各带了多少个鸡蛋？设第一个农妇带了x个鸡蛋，则可列方程为( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
9．若关于x的分式方程＋＝无解，则m的值为( )
A．－6 B．－10 C．0或－6 D．－6或－10
10．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝，例如：1⊗3＝＝－.则方程x⊗(－2)＝－1的解是( )
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11．计算：a＋b＋＝________．
12．轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，轮船在逆流中航行s km所需要的时间为________h.
13．如果a2＋2a－1＝0，那么·的值是________．
14．若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是___________．
15．使等式(2x＋3)x＋2 024＝1成立的x的值为________．
16．数学的美无处不在．数学家们研究发现，在弦的粗细相同的前提下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度．如三根弦的长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出乐声do、mi、so.研究15，12，10这三个数的倒数发现：－＝－，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组两两各不相等的数：4，6，x，若要使这三个数能组成调和数，则x的值为________．
三、解答题(本题共9小题，共86分)
17．(8分)计算：2－2－2－0＋2 024.
18．(8分)解方程：＋3＝.
19．(8分)先化简，再求值：÷，其中a＝19.
20．(8分)设A＝÷.
(1)化简A；
(2)当a＝3时，记此时A的值为f(3)；当a＝4时，记此时A的值为f(4)……解关于x的不等式－≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)，并将解集在数轴上表示出来．
21．(8分)在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若＝，求证：三角形ABC是直角三角形．
22．(10分)王老师带领同学们对异分母分式加减和解分式方程进行了对比学习，请仔细阅读下面两名同学的解题过程，并完成相应的任务．
小亮同学： ＋ ＝＋…第一步 ＝…第二步 ＝.…第三步 |
小茵同学： －＝1， x2－x＋12＝x(x－3)，…第一步 x2－x＋12＝x2－3x，…第二步 2x＝－12，…第三步 x＝－6.…第四步
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任务一：①小亮同学第一步的运算是________(从下列四个选项中选出正确的一项)；其依据是________________________________________________；
A．通分 B．约分 C．去分母 D．因式分解
②小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是______________________．
任务二：小茵同学的解题步骤不完整，请你补充缺少的步骤．
23．(10分)为进一步推进美丽乡村建设，安溪县准备修建一条公路．开工后每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务，设该工程队原计划每天修建公路x km.
(1)设这条公路长为a km，请用含a，x的代数式填表；
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平均每天修建公路的长度(km) |
完成全部工程所需的天数(天) |
原计划 |
x |
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实际 |
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(2)若这条要修建的公路长度为50 km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
24．(12分)甲、乙两人同时从A地沿同一路线走到B地．甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙有一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．设甲、乙两人从A地到B地所走的路程都为单位“1”，且a≠b.
(1)试用含a，b的式子分别表示甲、乙两人从A地到B地所用的时间t1和t2；
(2)请问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由．
25．(14分)阅读材料，并解答相应的问题．
欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式：
＋＋＝
(1)请你对欧拉分式中，当n＝2时的情况进行证明；
(2)请你利用欧拉分式解决下列问题：
计算＋＋的值．
答案
一、1.A 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D 7.A
8．B 思路点拨：根据两个农妇卖鸡蛋的钱数相等，单价和数量不同可列分式方程．
9．D 10.B
二、11. 12. 13.1 14.－1
15．－1，－2或－2 024 16.12，或3
三、17.解：原式＝－－1＋1＝0.
18．解：去分母，得2x－5＋3(x－2)＝3x－3，解得x＝4.
检验：将x＝4代入x－2，得x－2≠0.
所以x＝4为原方程的解．
19．解：原式＝÷＝·＝·＝.
当a＝19时，原式＝＝.
20．解：(1)A＝÷＝·＝＝.
(2)由(1)可知A＝.根据题意，得
f(3)＝＝－，f(4)＝＝－……
f(11)＝＝－，所以f(3)＋f(4)＋…＋f(11)＝－＋－＋…＋－＝－＝.
所以不等式－≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)可化为－≤，解得x≤4.
所以原不等式的解集是x≤4，解集在数轴上表示如图．
(第20题)
21．证明：∵＝，
∴(a－b＋c)(a＋b＋c)＝2ac，
∴[(a＋c)＋b][(a＋c)－b]＝2ac，
∴(a＋c)2－b2＝2ac，
∴a2＋2ac＋c2－b2＝2ac，
∴a2＋c2－b2＝0，
∴a2＋c2＝b2，
∴三角形ABC是直角三角形．
22．解：任务一：①A；分式的基本性质
②等式的基本性质
任务二：检验：把x＝－6代入x(x－3)，
得－6×(－6－3)≠0，所以x＝－6是原方程的解．
23．解：(1)(1＋20%)x；
(2)由题意，得－＝20，解得x＝.
经检验，x＝是原分式方程的解．(1＋20%)x＝0.5.
答：该工程队实际平均每天修建公路0.5 km.
24．解：(1)由题意得t1＝＋＝，
t2a＋t2b＝1，∴t2＝.
(2)乙先到达B地．理由：
－＝＝.
∵a≠b，a，b为正数，
∴(a－b)2>0，ab(a＋b)>0，
∴>0，∴>，即t1>t2，
∴乙先到达B地．
25．(1)证明：当n＝2时，
原式＝＋＋
＝－＋
＝
＝＝1.
(2)解：原式＝＋＋＝＋＋－－－＝0－1＝－1.