2.3 中心对称和中心对称图形

一、选择题(本大题共8小题)

1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2. 为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3.已知点P关于x轴的对称点P₁的坐标是(2，3)，那么点P关于原点的对称点P₂的坐标是( )

A.（-3，-2） B.（2，-3） C.（-2，-3） D.（-2，3）

4. 在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5. 用四块形如 的正方形瓷砖拼成如下四种图案，其中成中心对称图形的是( )

A.①② B.②③ C.②④ D.①④

6. 如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是( )

A.OC=OC′ B.OA=OA′ C.BC=B′C′ D.∠ABC=∠A′C′B′

7. 如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（　　）

A． B． C． D．

8. 如图，直线l与⊙O相交于点A、B，点A的坐标为(4，3)，则点B的坐标为( )

A.（-4，3） B.（-4，-3） C.（-3，4） D.（-3，-4）

二、填空题(本大题共6小题)

9. 平行四边形是_____图形，它的对称中心是_____．

10. 下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有　 　个．

11. 如图，点C是线段AB的中点，点B是线段CD的中点，线段AB的对称中心是点_____，点C关于点B成中心对称的对称点是点_____．

12. 在圆、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰三角形等图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 　．

13. 已知点P(x，-3)和点Q(4，y)关于原点对称，则x+y等于_____．

14. 如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点有_______个．

3. 计算题(本大题共4小题)

15. 如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
    (1)图中哪两个图形成中心对称？
    (2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．

16. 如图①，已知△ABC与△ADE关于点A成中心对称，∠B=50°，△ABC的面积为24，BC边上的高为5，若将△ADE向下折叠，如图②点D落在BC的G点处，点E落在CB的延长线的H点处，且BH=4，则∠BAG是多少度，△ABG的面积是多少．

17. 已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．

18. 如图，正方形ABCD于正方形A₁B₁C₁D₁关于某点中心对称，已知A，D₁，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．

（1）求对称中心的坐标．

（2）写出顶点B，C，B₁，C₁的坐标．

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题)

1. A

分析：结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．

故选A．

2.D

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；

B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；

D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．

故选：D．

3.D

分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．

解：∵点P关于x轴的对称点P₁的坐标是（2，3），
∴点P的坐标是（2，-3）．
∴点P关于原点的对称点P₂的坐标是（-2，3）．故选D．

4. B

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．

解：线段、矩形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，

平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，

等腰三角形是轴对称图形不是中心对称图形，

故选：B．

5. D

分析：结合用瓷砖拼成的图案，根据中心对称图形的概念求解．

解：根据中心对称图形的概念，可知第①④是中心对称图形．
故选D．

6. D

分析：根据中心对称的性质即可判断．

解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选D．

7. A

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选A．

8. B

分析：根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．

解：由图可以发现：点A与点B关于原点对称，
∵点A的坐标为（4，3），
∴点B的坐标为（-4，-3），
故选：B．

二、填空题(本大题共6小题)

9. 分析：画出图形后连接AC、BD，交于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，根据中心对称图形的定义判断即可．

解：连接BD、AC，AC和BD交于O，

∵平行四边形ABCD，

∴OA=OC，OD=OB，

即平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点O．

10.分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：①既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

②是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

③既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

④是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故既是轴对称图形又是中心对称图形的是①③共2个．

故答案为：2．

11. 分析：根据中心对称图形的对称中心的定义求解，即可得出答案．

解：根据题意得：

点C是线段AB的中点，点B是线段CD的中点，线段AB的对称中心是点C；

点C关于点B成中心对称的对称点是点D

12.分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．

解：矩形、菱形、正方形、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；

等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意

13.分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．根据点P和点Q关于原点对称就可以求出x，y的值，即可得出x+y．

解：∵点P（x，-3）和点Q（4，y）关于原点对称，
∴x=-4，y=3，
∴x+y=-4+3=-1

14.分析：分别以C，D，CD的中点为旋转中心进行旋转，都可以使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合．

解：以C为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，可得到正方形CDEF；

以D为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，可得到正方形CDEF；

以CD的中点为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，可得到正方形CDEF．

故选C．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 分析：（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．

解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8．  

16. 分析：根据中心对称的性质和折叠的性质计算即可，同时运用了三角形的面积公式．

解：依题意有AD=AB=AG，AE=AH=AC．
又∠B=50°，则∠BAG=180°-50°×2=80°；
作AD⊥BC于D，根据三角形的面积公式得到BC=9.6．

根据等腰三角形的三线合一，
可以证明CG=BH=4，则BG=5.6．
根据三角形的面积公式得△ABG的面积是14．

17. 分析：画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点，即B，O，E共线，并且OB=OE，C，O，F共线，并且OC=OF．

解：作法如下：

图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF．

18. 分析：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D₁D的中点，据此解答即可．

（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A₁B₁C₁D₁的边长是多少，然后根据A，D₁，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B₁，C₁的坐标各是多少即可．

解：（1）根据对称中心的性质，可得

对称中心的坐标是D₁D的中点，

∵D₁，D的坐标分别是（0，3），（0，2），

∴对称中心的坐标是（0，2.5）．

（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），

∴正方形ABCD与正方形A₁B₁C₁D₁的边长都是：4﹣2=2，

∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），

∵A₁D₁=2，D₁的坐标是（0，3），

∴A₁的坐标是（0，1），

∴B₁，C₁的坐标分别是（2，1），（2，3），

综上，可得

顶点B，C，B₁，C₁的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．