第02讲二次根式的性质与乘除运算(核心考点讲与练)

一．二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

① ≥0；a≥0（双重非负性）．

②（ ）²＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

③ ＝|a|＝ （算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．

＝ • （a≥0，b≥0） ＝ （a≥0，b＞0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1．常见题型：与分式的化简求值相结合．

2．解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．

二．最简二次根式

最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．

三．二次根式的乘除法

（1）积的算术平方根性质： ＝ • （a≥0，b≥0）

（2）二次根式的乘法法则： • ＝ （a≥0，b≥0）

（3）商的算术平方根的性质： ＝ （a≥0，b＞0）

（4）二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）

规律方法总结：

在使用性质 • ＝ （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（ ）×（ ）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．

四．分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

例如：① ＝ ＝ ；② ＝ ＝ ．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．

一个二次根式的有理化因式不止一个．

例如： ﹣ 的有理化因式可以是 + ，也可以是a（ + ），这里的a可以是任意有理数．

一．二次根式的性质与化简（共11小题）

1．（拱墅区期末） ＝（　　）

A．﹣4 B．±4 C．4 D．2

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解： ＝4，

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

2．（海口期末）当x＜1时， ＝　1﹣x　．

【分析】利用二次根式的性质化简求出即可．

【解答】解：∵x＜1，

∴ ＝1﹣x．

故答案为：1﹣x．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．

3．（义乌市月考）下列各式计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的定义分别化简，进而判断得出答案．

【解答】解：A. ＝2，故此选项不合题意；

B. ＝﹣2，故此选项符合题意；

C. ＝4，故此选项不合题意；

D. ＝ ＝ ，故此选项不合题意；

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的定义，正确化简二次根式是解题关键．

4．（长春期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣ ．

【分析】直接利用二次根式的性质以及实数与数轴分别化简得出答案．

【解答】解：由数轴可得：1＜b＜2，则b﹣1＞0，a﹣b＜0，

故原式＝b﹣1+a﹣b

＝a﹣1．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．

5．（南湖区校级模拟）下列计算正确的是（　　）

A． B．x²+x²＝2x⁴

C．（x﹣y）²＝x²﹣y² D．（﹣2x²）³＝﹣8x⁶

【分析】根据 ＝|a|判断A选项；根据合并同类项判断B选项；根据完全平方公式判断C选项；根据积的乘方和幂的乘方判断D选项．

【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；

B选项，原式＝2x²，故该选项不符合题意；

C选项，原式＝x²﹣2xy+y²，故该选项不符合题意；

D选项，原式＝﹣8x⁶，故该选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，掌握 ＝|a|是解题的关键．

6．（拱墅区期中）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案．

【解答】解：A、原式＝0.3，故A不符合题意．

B、原式＝ ＝ ，故B不符合题意．

C、原式＝﹣3，故C符合题意．

D、原式＝﹣5，故D不符合题意．

故选：C．

【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题是基础题型．

7．（余杭区期中）下列计算正确的是（　　）

A． ＝± B． ＝ C．± ＝ D．± ＝±

【分析】A：算数平方根的结果不可能出现负值；

B：被开方数不能为负；

C：正数平方根结果有两个；

D：正确．

【解答】解：A：原式＝ ，∴不符合题意；

B：原式不成立，∴不符合题意；

C：原式＝± ，∴不符合题意；

D：原式＝± ，∴符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、平方根，掌握二次根式的基本性质，平方根与算数平方根的区别是解题关键．

8．（麦积区期末）计算： ＝　 ﹣1　．

【分析】判断1和 的大小，根据二次根式的性质化简即可．

【解答】解：∵1＜ ，

∴1﹣ ＜0，

∴ ＝ ﹣1，

故答案为： ﹣1．

【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．

9．（鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．

；

；

；

；

…

根据上面的规律，解决问题：

（1） ＝　 　＝　21　；

（2）求 （用含n的代数式表示）．

【分析】（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；

（2）利用（1）发现的规律解答即可．

【解答】解：∵ 中，1+2＝3，

＝6中，1+2+3＝6，

＝10中，1+2+3+4＝10，

∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．

∵1+2+3+4+5+6＝21，

∴（1） ＝ ＝21．

故答案为： ，21；

（2）由（1）中发现的规律可得：

＝ ＝1+2+3+•••+n＝ ．

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键．

10．先阅读下面的解题过程，然后再解答：

形如 的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即 ， ，那么便有： ．

根据上述方法化简：

（1） ．

（2） ．

【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；

（2）直接利用完全平方公式化简求出答案．

【解答】解：（1） ＝ ＝ ；

（2） ＝ ＝2+ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．

11．（永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数m和n，使m²+n²＝a且mn＝ ，则a+2 可变为m²+n²+2mn，即变成（m+n）²，从而使得 ＝m+n，化简：

例如：∵5+2 ＝3+2+2 ＝（ ）²+（ ）²+2 ＝（ + ）²．

∴ ＝ ＝ + ．

请你仿照上例将下列各式化简：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）利用完全平方公式把4+2 化为（1+ ）²，然后利用二次根式的性质化简即可．

（2）利用完全平方公式把7﹣2 化为（ ﹣ ）²然后利用二次根式的性质化简即可．

【解答】解：（1）∵4+2 ＝1+3+2 ＝1²+ +2 ＝（1+ ）²，

∴ ＝ ＝1+ ；

（2） ＝ ＝ ＝ ﹣ ．

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．

二．最简二次根式（共5小题）

12．（西湖区校级期末）下列根式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．

【解答】解：A、 ＝ ＝3 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

B、 是最简二次根式，符合题意；

C、 ＝ ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

D、 ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．

13．（宁阳县期末）二次根式 、 、 、 、 中，最简二次根式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．

【解答】解：最简二次根式有 ， ，共2个，

故选：B．

【点评】本考查了最简二次根式的定义，注意：最简二次根式具备两个条件：①被开方数的每一个因式都是整式，每个因数都是整数，②被开方数不含有能开得尽方的因式或因数．

14．（建邺区校级期末）我们把形如 （a，b为有理数， 为最简二次根式）的数叫做 型无理数，如 +1是 型无理数，则 是（　　）

A． 型无理数 B． 型无理数 C． 型无理数 D． 型无理数

【分析】将代数式化简即可判断．

【解答】解：（ ﹣ ）²

＝3﹣2× × +6

＝9﹣2

＝9﹣2×3

＝9﹣6 ，

故选：A．

【点评】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．

15．（济南期末）将二次根式 化为最简二次根式　2 　．

【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式．

【解答】解： ，

故答案为：2 ．

【点评】本题考查了最简二次根式，利用了二次根式的乘法化简二次根式．

16．（法库县期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．

【解答】解：A、 ＝ ，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；

B、 ＝2 ，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；

C、 是最简二次根式，故本选项符合题意；

D、 ＝ ，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；

故选：C．

【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．

三．二次根式的乘除法（共11小题）

17．（宁波模拟）（ ）³的计算结果是（　　）

A．3 B．3 C．9 D．27

【分析】根据二次根式的乘方法则计算，得到答案．

【解答】解：（ ）³＝3 ，

故选：A．

【点评】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．

18．（萧山区月考）计算：（ ）²× ．

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式＝ ×2

＝ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

19．（江干区期末）下列计算中正确的是（　　）

A．（﹣ ）²＝﹣3 B． ＝0.1 C． ＝1 D．3 ＝

【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．

【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．

B、原式＝ ＝ ，故B不符合题意．

C、原式＝ ＝ ，故C不符合题意．

D、原式＝3× ＝ ，故D符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．

20．（杭州三模）﹣ × ＝（　　）

A．5 B．25 C．﹣5 D．﹣25

【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算求解．

【解答】解：﹣ ＝﹣5，

故选：C．

【点评】本题考查二次根式的乘法计算，掌握计算法则准确计算是解题关键．

21．（永嘉县校级期中）若 ，则x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x＞2 C．1≤x＜2 D．x≥1且x≠2

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：由题意可知： ，

∴x＞2，

故选：B．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题题型．

22．（耒阳市期末）计算：4 ×2 ÷ ．

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式＝8 ÷

＝8×3

＝24．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．

23．（慈溪市期中）计算：

（1）

（2）

【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值；

（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值．

【解答】解：（1）原式＝8 ＝8×3＝24；

（2）原式＝2× × ＝ ．

【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24．（长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：

在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：

①要使二次根式 有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；

②化简： ，则需计算1+ + ，而1+ + ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，

所以 ＝ ＝ ＝1+ ＝1+ ﹣ ．

（1）根据二次根式的性质，要使 ＝ 成立，求a的取值范围；

（2）利用①中的提示，请解答：如果b＝ + +1，求a+b的值；

（3）利用②中的结论，计算： + + +…+ ．

【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；

（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；

（3）利用②中的结论求解即可．

【解答】解：（1）由题意得， ，

∴﹣2≤a＜3；

（2）由题意得， ，

∴a＝2，

∴b＝ + +1＝0+0+1＝1，

∴a+b＝2+1＝3；

（3）原式＝（1+ ﹣ ）+（1+ ﹣ ）+⋯+（1+ ﹣ ）

＝1×2020+1﹣

＝2020 ．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．

25．（抚顺县期中）小东在学习了 后，认为 也成立，因此他认为一个化简过程： ＝ ＝ 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．

【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可．

【解答】解：错误，原因是被开方数应该为非负数．

＝ ＝ ＝ ＝2．

【点评】本题主要考查二次根式的除法法则运用的条件，注意被开方数应该为非负数．

26．（柯桥区校级月考）你能找出规律吗？

（1）计算： × ＝　6　， ＝　6　． × ＝　20　， ＝　20　．

（2）请按找到的规律计算：① × ；② × ．

【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案；

（2）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案．

【解答】解：（1） × ＝6， ＝6. × ＝4×5＝20， ＝20．

故答案为：6，6，20，20；

（2）① × ＝10；

② × ＝ ＝ ＝4．

【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

27．（巢湖市月考）已知x为奇数，且 ，求 的值．

【分析】本题要先根据已知的等式，求出x的取值范围，已知x为奇数，可求出x的值．然后将x的值代入所求的式子中进行求解即可．

【解答】解：∵ ，

∴ ，解得6≤x＜9；

又∵x为奇数，

∴x＝7，

∴

＝ +

＝ +

＝8+2 ．

【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，根据二次根式成立的条件得出x的取值范围，进而求出x的值是解答本题的关键．

四．分母有理化（共9小题）

1．（会宁县期末）下列各数中与 相乘结果为有理数的是（　　）

A． B． C．2 D．

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】解：A、（2﹣ ）× ＝2 ﹣2，不合题意；

B、 × ＝2，符合题意；

C、2× ＝2 ，不合题意；

D、 × ＝ ，不合题意；

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

2．（饶平县校级期中）已知：a＝ ，b＝ ，则a与b的关系是（　　）

A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a²＝b²

【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a²、b²，求出每个式子的值，即可得出选项．

【解答】解：分母有理化，可得a＝2+ ，b＝2﹣ ，

∴a﹣b＝（2+ ）﹣（2﹣ ）＝2 ，故A选项错误；

a+b＝（2+ ）+（2﹣ ）＝4，故B选项错误；

ab＝（2+ ）×（2﹣ ）＝4﹣3＝1，故C选项正确；

∵a²＝（2+ ）²＝4+4 +3＝7+4 ，b²＝（2﹣ ）²＝4﹣4 +3＝7﹣4 ，

∴a²≠b²，故D选项错误；

故选：C．

【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．

3．（长兴县期中）二次根式 ， ， 的大小关系是（　　）

A． B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜

【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．

【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：

∵ ＝ ， ＝ ＝ ， ；

∴ ＜ ＜ ．

故选：C．

【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．

4．（永嘉县校级期末）实数 的整数部分a＝　2　，小数部分b＝　 　．

【分析】将已知式子分母有理化后，先估算出 的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．

【解答】解： ＝ ＝ ，

∵4＜7＜9，∴2＜ ＜3，

∴ ＜ ＜3，即实数 的整数部分a＝2，

则小数部分为 ﹣2＝ ．

故答案为：2； ．

【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．

5．（武进区校级自主招生）已知：对于正整数n，有 ，若某个正整数k满足

，则k＝　8　．

【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成 的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．

【解答】解：∵ ，

∴ + ，

即1﹣ ，

∴ ，

解得k＝8．

故答案为：8．

【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．

6．（饶平县校级期末） 与 的关系是　相等　．

【分析】把 分母有理化，即分子、分母都乘以 ，化简再比较与 的关系．

【解答】解：∵ ＝ ，

∴ 的关系是相等．

【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．

7．（思明区校级月考）计算：3^﹣1+|1﹣ |﹣ ．

【分析】按照实数的运算法则、负整数指数幂计算方法、二次根式乘除法则计算即可；

【解答】解：（1）原式＝ + ﹣

＝ +2﹣2

＝ ．

8．（永嘉县校级期末）【知识链接】

（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．

例如： 的有理化因式是 ；1﹣ 的有理化因式是1+ ．

（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：

＝ ＝ ﹣1， ＝ ＝ ﹣ ．

【知识理解】

（1）填空：2 的有理化因式是　 　；

（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：

① ＝　 ﹣ 　；② ＝　3 ﹣ 　．

【启发运用】

（3）计算： + + +…+ ．

【分析】（1）由2 × ＝2x，即可找出2 的有理化因式；

（2）①分式中分子、分母同时×（ ﹣ ），即可得出结论；②分式中分子、分母同时×（3 ﹣ ），即可得出结论；

（3）利用分母有理化将原式变形为 ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ，合并同类项即可得出结论．

【解答】解：（1）∵2 × ＝2x，

∴2 的有理化因式是 ．

故答案为： ．

（2）① ＝ ＝ ﹣ ；

② ＝ ＝3 ﹣ ．

故答案为：① ﹣ ；②3 ﹣ ．

（3）原式＝ + + +…+ ，

＝ ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ，

＝ ﹣1．

【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由2 × ＝2x，找出2 的有理化因式；（2）根据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为 ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ．

9．（寻乌县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：

（1）请用不同的方法化简 ；

（2）化简： ．

【分析】（1）分式的分子和分母都乘以 ﹣ ，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．

（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．

【解答】解：（1）

．

（2）原式＝

＝ ．

【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．

题组A 基础过关练

一．选择题（共11小题）

1．（海阳市一模）式子 成立的条件是（　　）

A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1

【分析】利用二次根式的除法法则及负数没有平方根求出x的范围即可．

【解答】解：根据题意得： ，

解得：0＜x≤1，

故选：C．

【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．（乐亭县期末）已知a＝ ，b＝2﹣ ，则a与b的大小关系是（　　）

A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不确定

【分析】把a＝ 的分母有理化即可．

【解答】解：∵a＝ ＝ ＝2﹣ ，

∴a＝b．

故选：B．

【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．

3．（长兴县期中）二次根式 ， ， 的大小关系是（　　）

A． B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜

【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．

【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：

∵ ＝ ， ＝ ＝ ， ；

∴ ＜ ＜ ．

故选：C．

【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．

4．（浦江县期末）（ ）²＝（　　）

A．5 B． C．10 D．

【分析】根据二次根式的性质计算即可．

【解答】解：（ ）²＝5，

故选：A．

【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的性质：（ ）²＝a（a≥0）是解题的关键．

5．（上海）下列实数中，有理数是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．

【解答】解：A. ＝ ,不是有理数，不合题意；

B. ＝ ,不是有理数，不合题意；

C. ＝ ,是有理数，符合题意；

D. ＝ ,不是有理数，不合题意；

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

6．（上城区期末）下列各式中，为最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．

【解答】解：A、 ＝ ＝2 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

B、 ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

C、 ＝a ，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；

D、 是最简二次根式，符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．

7．（黑山县一模）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．

【解答】解：A． ＝2 ，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B． ＝6，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C． ，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D． 是最简二次根式，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．

8．（永嘉县校级期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．

【解答】解：A、 ＝ ＝2 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；

B、 ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；

C、 ＝ |a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；

D、 ，是最简二次根式；

故选：D．

【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

9．（江干区模拟） ＝（　　）

A． B． C．3 D．5

【分析】直接利用二次根式的乘法法则： • ＝ （a≥0，b≥0），即可得出答案．

【解答】解： × ＝ ＝ ．

故选：A．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的乘法法则是解题关键．

10．（长兴县月考）根据二次根式的性质，若 ＝ • ，则a的取值范围是（　　）

A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5

【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式乘除法法则解答即可．

【解答】解：由题意得，a≥0，5﹣a≥0，

解得，0≤a≤5，

故选：C．

【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则、二次根式有意义的条件是解题的关键．

11．（萧山区开学）下列各式中正确的是（　　）

A． ＝±6 B． ＝﹣2 C． ＝ D．（﹣ ）²＝﹣7

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．

【解答】解：A、 ＝6，故此选项错误；

B、 ＝2，故此选项错误；

C、 ＝ ，正确；

D、（﹣ ）²＝7，故此选项错误．

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

二．填空题（共14小题）

12．（通州区期末）化简： ＝　π﹣3　．

【分析】二次根式的性质： ＝a（a≥0），根据性质可以对上式化简．

【解答】解： ＝ ＝π﹣3．

故答案是：π﹣3．

【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．

13．（余杭区校级月考）化简 的结果是　 　．

【分析】利用 的化简方法进行化简即可．

【解答】解：原式＝

＝

＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了二次根式的化简方法，正确运用 进行化简是解答问题的关键．

14．（江干区一模）在 ， ， ，﹣ ， 中，是最简二次根式的是　 　．

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【解答】解： 是最简二次根式，

故答案为： ．

【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

15．（潍坊期中）将 化成最简二次根式的是　10 　．

【分析】先将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式，然后开方即可．

【解答】解： ＝ ＝ × ＝10 ．

故答案为：10 ．

【点评】本题考查了二次根式的化简及最简二次根式的知识，解题的关键是将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式．

16．（长兴县月考）计算： × ÷ ＝　12　．

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝12．

故答案为：12．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键．

17．（爱辉区期末）计算 × （a≥0）的结果是　4a　．

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解： × （a≥0）

＝4a．

故答案为：4a．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．

18．（虹口区期末）计算： × ÷ ＝　3 　．

【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．

【解答】解： × ÷

＝15÷

＝

＝3 ．

故答案为：3 ．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．

19．（饶平县校级期末） 与 的关系是　相等　．

【分析】把 分母有理化，即分子、分母都乘以 ，化简再比较与 的关系．

【解答】解：∵ ＝ ，

∴ 的关系是相等．

【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．

20．（天台县一模）已知a＝ ，b＝ ，那么ab＝　 　．

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】解：∵a＝ ，b＝ ，

∴ab＝ ＝ ＝ ．

故答案为： ．

【点评】此题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

21．（铁西区期末） 的值为零，则x的值为　2　．

【分析】根据分式的值为0的条件进行解答即可．

【解答】解：由于 的值为零，

所以 ＝0且x+2≠0，

所以x＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查二次根式的化简，分式值为0的条件，掌握分式值为0的条件是正确解答的关键．

22．（西湖区校级期中）对于多项式y＝ ，当x＝　1　时，y有最小值为　2　．

【分析】直接利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质得出y的最小值．

【解答】解：∵y＝

＝ ，

∴当x＝1时，y最小为： ＝2．

故答案为：1，2．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确进行配方法是解题关键．

23．（江干区模拟）计算： ＝　2　．

【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．

【解答】解： ＝ ＝ ＝2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）是解题关键．

24．（永嘉县校级期中）（ ）²＝　7　； ＝　3　； × 　5 　；2 ＝　 　．

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（ ）²＝7，

＝ ＝3，

× ＝ ＝5 ，

2 ＝2× ＝ ，

故答案为：7，3，5 ， ．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

25．（郫都区期末）分母有理化： ＝　2﹣ 　．

【分析】给分子分母同乘以（2﹣ ），分母即可化为平方差形式去掉根式，再进行计算即可得出答案．

【解答】解：

＝

＝

＝2 ．

故答案为：2﹣ ．

【点评】本题主要考查了分母有理化及二次根式的乘除，合理运用分母有理化法则进行计算是解决本题的关键．

三．解答题（共1小题）

26． ．

【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．

【解答】解：原式＝

＝

＝ ．

【点评】本题考查了二次根式的乘除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

题组B 能力提升练

一．选择题（共2小题）

1．（鄞州区校级期末）已知﹣1＜a＜0，化简 + 的结果为（　　）

A．2a B．2a+ C． D．﹣

【分析】直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．

【解答】解：∵﹣1＜a＜0，

∴ +

＝ +

＝ +

＝a﹣ ﹣（a+ ）

＝﹣ ．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

2．（鄂州模拟）把 根号外的因式移入根号内得（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．

【解答】解：∵ 成立，

∴﹣ ＞0，即m＜0，

∴原式＝﹣ ＝﹣ ．

故选：D．

【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．

二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．

二．填空题（共5小题）

3．（柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简： + + ＝　2n﹣2m﹣1　．

【分析】根据 ＝|a|化简即可．

【解答】解：根据数轴得：n＞0，m＜n，m＜﹣1，

∴m﹣n＜0，m+1＜0，

∴原式＝n+n﹣m﹣（m+1）

＝n+n﹣m﹣m﹣1

＝2n﹣2m﹣1．

故答案为：2n﹣2m﹣1．

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，根据数轴判断出绝对值里面的数的正负是解题的关键．

4．（商河县校级期末）当a＝3时，则 ＝　2 　．

【分析】将a＝3，代入求得即可．

【解答】解：∵a＝3，

∴ ．

故答案为：2 ．

【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义是解题的关键．

5．（永嘉县校级期末）已知： ，那么a²+b²的值是　2　．

【分析】把已知条件两边平方，再解关于（a²+b²）的一元二次方程，然后利用非负数的性质确定a²+b²的值．

【解答】解：∵ ，

∴（a²+b²+2）（a²+b²）＝8，

∴（a²+b²）²+2（a²+b²）﹣8＝0，

∴（a²+b²+4）（a²+b²﹣2）＝0，

∴a²+b²+4＝0或a²+b²﹣2＝0，

即a²+b²＝﹣4或a²+b²＝2，

而a²+b²≥0，

∴a²+b²的值为2．

故答案为2．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．

6．（恩施市期末）数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ＝　﹣2　．

【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定a+1，b﹣1，a﹣b的符号，再根据二次根式的性质进行开方运算，再合并同类项．

【解答】解：由数轴可知，a＜﹣1，b＞1，

∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，

∴原式＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）

＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a

＝﹣2．

【点评】解答此题要熟知绝对值的性质： ＝|a|＝

7．（梧州一模）计算：（ ）²＝　3　．

【分析】原式利用平方根的性质判断即可．

【解答】解：原式＝3，

故答案为：3

【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．

三．解答题（共7小题）

8．（庆元县校级月考）若实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ﹣|b﹣c|．

​

【分析】直接利用数轴进而得出a+c＜0，b﹣c＞0，再化简得出答案．

【解答】解：由图可得：a+c＜0，b﹣c＞0，

则原式＝﹣a﹣c﹣（b﹣c）

＝﹣a﹣b．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．

9．（杭州模拟）阅读材料，解答问题．

例：若代数式 的值是常数2，则a的取值范围　2≤a≤4　．

分析：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，而|a|表示数a在数轴上的点到原点的距离，|a﹣2|表示数a在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．

解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|

在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a的范围应是2≤a≤4．

（1）此例题的解答过程了用了哪些数学思想？请列举．

（2）化简 ．

【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论；

（2）分a＜3，3≤a≤7及a＞7三种情况进行讨论即可．

【解答】解：（1）数形结合思想，分类讨论思想．

（2）原式＝|3﹣a|+|a﹣7|

①当a＜3时，原式＝3﹣a+7﹣a＝10﹣2a；

②当3≤a≤7时，原式＝4；

③当a＞7时，原式＝a﹣3+a﹣7＝2a﹣10．

【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论．

10．（沙河市期末）观察下列各式及验证过程：

式①：

验证：

式②：

验证：

（1）针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子；

（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．

【分析】（1）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案；

（2）根据二次根式的性质，可得答案．

【解答】解：（1）4× ＝ ；

（2）n ＝ ，

验证：n ＝ ＝ ＝ ＝ ．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，发现规律：n ＝ 是解题关键．

11．（海盐县校级期中）（1）计算下列各式：

① ；

② ；

③ ；

④ ；

（2）通过上面的计算，你一定有所体会吧？请计算： ．

【分析】（1）根据二次根式的性质以及乘法运算法则求出即可；

（2）利用二次根式的乘法运算法则得出即可．

【解答】解：（1）① ＝2×3＝6；

② ＝ ×4＝ ；

③ ＝6；

④ ＝ ×4＝ ；

（2） ＝ ＝ ＝ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．

12．（温州期中）（1）计算下列各式：

① ；

② ；

（2）通过上面的计算，你一定有所体会吧？请计算： ．

【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，然后再进行计算；

（2）可逆用二次根式的乘法法则： • ＝ ，再将所求的二次根式进行化简即可．

【解答】解：（1）①原式＝2×3＝6，（2分）

②原式＝ ×4＝ ；（2分）

（2）原式＝ ＝ ＝ ．（2分）

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，有时先将二次根式化简比较简单（如（1）题），有时运用乘法法则进行计算比较简便（如（2）题），要针对不同题型灵活对待．

13．（仙居县期末）已知x＝2﹣ ，y＝2+ ，求：x²+xy+y²的值．

【分析】将x²+xy+y²变形为x²+2xy+y²﹣xy，得到原式＝（x+y）²﹣xy，再把x＝2﹣ ，y＝2+ 代入计算即可求解．

【解答】解：∵x＝2﹣ ，y＝2+ ，

∴x²+xy+y²

＝x²+2xy+y²﹣xy

＝（x+y）²﹣xy

＝（2﹣ +2+ ）²﹣（2﹣ ）（2+ ）

＝16﹣4+3

＝15．

【点评】考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解答问题的关键．

14．（江门期中）观察下列等式：① ＝ ﹣1；② ＝ ﹣ ；③ ＝ ﹣ ；…，

（1）请用字母表示你所发现的律：即 ＝　 ﹣ 　．（n为正整数）

（2）化简计算：（ + + +…+ ）．

【分析】（1）根据题意可以观察出： ＝ ﹣ ；

（2）由（1）中的结论可得 ＝ ， ＝ ，… ＝ ，然后其中的有些数可以互相抵消，最后可得 ﹣1，再化简即可．

【解答】解：（1）由题意得： ＝ ﹣ ；

（2）原式＝ ﹣1+ + +…+ ﹣

＝ ﹣1

＝2 ﹣1．

【点评】此题主要考查了分母有理化以及找数字的规律，关键是正确找到式子的计算规律．