2.5 矩形

2.5.1 矩形的性质

要点感知1 有一个角是__________角的平行四边形叫作矩形.

预习练习1-1 四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：_______________，可使它成为矩形.

要点感知2 矩形的四个角都是__________，对边相等，对角线__________，对角线__________.

预习练习2-1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )

A.30° B.60° C.90° D.120°

要点感知3 矩形是中心对称图形，__________是它的对称中心.矩形是轴对称图形，__________都是矩形的对称轴.

预习练习3-1 矩形是轴对称图形，矩形的对称轴有__________条.

知识点1 矩形的定义

1.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件可以是__________.

2.如图，在2×3的矩形方格图中，矩形个数有__________个.

3.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)，使AB=CD，EF=GH；

(2)摆放成如图2所示的四边形，则这时窗框的形状是__________，根据数学道理是：____________________；

(3)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格，这时窗框是__________形，根据的数学道理是：____________________.

知识点2 矩形的性质

4.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

第4题图 第5题图 第6题图

5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是( )

A.4 B.6 C.8 D.10

6.如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是( )

A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD

C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC

7.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为__________.

第7题图 第8题图 第9题图

8.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC,BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是__________.

9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长=__________cm.

10.已知:如图，在矩形ABCD中,E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF.求证：AF=CE.

11.已知矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为( )

A.△CDE与△ABF的周长都等于10 cm，但面积不一定相等

B.△CDE与△ABF全等，且周长都为10 cm

C.△CDE与△ABF全等，且周长都为5 cm

D.△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定

12.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( )

A.6 B.12 C.2 D.4

第12题图 第13题图

13.如图，矩形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，连接DE和BF，分别取DE,BF的中点M,N，连接AM,CN,MN，若AB=2 ，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为__________.

14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长.

15.如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6.

(1)求证：△EDF≌△CBF；

(2)求∠EBC.

16.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.

(1)求证：BD＝BE；

(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积.

参考答案

要点感知1 直

预习练习1-1 答案不唯一，如∠ABC＝90°

要点感知2 直角 互相平分 相等

预习练习2-1 B

要点感知3 对角线的交点 过每一组对边中点的直线

预习练习3-1 2

1.答案不唯一，如∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°

2.18

3.（2）平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）矩有一个角是直角的平行四边形是矩形

4.C 5.C 6.A 7.10 8.4个 9.9

10.证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠D=∠B=90°，

∵BE=DF，

∴△ADF≌△CBE.

∴AF=CE.

11.B 12.D 13.2

14.∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD.

∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.

∴△AOB是等边三角形.

∴AO=AB=4.

∴AC=2AO=8.

15.(1)证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，

在△DEF和△BCF中，∠DFE=∠BFC，∠E=∠C，DE=BC，

∴△DEF≌△BCF(AAS).

(2)在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6.∴∠ABD=30°.

由折叠的性质可得：∠DBE=∠ABD=30°，

∴∠EBC=90°-30°-30°=30°.

16.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，AB∥CD.

又∵BE∥AC，

∴四边形ABEC是平行四边形.

∴BE＝AC.

∴BD＝BE.

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝OC＝BO＝OD＝4，即BD＝8.

∵∠DBC＝30°，

∴∠ABO＝90°-30°＝60°.

∴△ABO是等边三角形，即AB＝OB＝4，

于是AB＝DC＝CE＝4.

在Rt△DBC中，DC=4，BD=8，BC＝ =4 .

∵AB∥DE，AD与BE不平行，

∴四边形ABED是梯形，且BC为梯形的高.

∴四边形ABED的面积＝ ·(AB+DE)·BC＝ ·(4+4+4)·4 ＝24 .