期末综合素质评价

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是( )

2．若长度分别为a，4，6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是( )

A．1 B．2 C．5 D．11

3．若一个三角形三个内角度数的比为123，则这个三角形是( )

A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

4．【2024·合肥包河区模拟】在平面直角坐标系中，将点M(a－3，2a＋1)向左平移3个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标是( )

A．(3，13) B．(3，7) C．(6，7) D．(6，13)

5．【母题：教材P39练习T3】已知正比例函数y＝(k²＋3)x的图象上两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且x₁＞x₂，则下列不等式中一定成立的是( )

A．y₁＋y₂＞0 B．y₁＋y₂＜0 C．y₁－y₂＞0 D．y₁－y₂＜0

6 ．【母题：教材P116复习题T1】如图，点F，B，E，C在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AC∥DF，CE＝FB，添加下列哪个条件后，仍不能判定出△ABC≌△DEF( )

A．AB＝DE B．AB∥DE

C．∠A＝∠D D．AC＝DF

7．下列命题中，一定是真命题的是( )

A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等

B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

D．有一个角是40°，且腰相等的两个等腰三角形全等

8．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S₁，S₂，S₃，则下列关系正确的是( )

A ．S₁＞S₂＋S₃

B．S₁＝S₂＋S₃

C．S₁＜S₂＋S₃

D．无法确定

9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点G，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是( )

A．12 B．6 C．7 D．8

10．甲、乙两车从A城出发匀速驶向B城，在整个行驶过程中，两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图，则下列结论错误的是( )

①A，B两城相距300 km；②甲车比乙车早出发1 h，却晚到1 h；③相遇时乙车行驶了2.5 h；④当甲、乙两车相距50 km时，t的值为或或或.

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是__________．

12．△ABC是等腰三角形，∠C＝80°，则∠A＝______________．

1 3．如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，E，F分别是CG，BG的中点，若△ABC的面积是24，则阴影部分的面积为________．

1 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7 cm，BC＝3 cm，CD为AB边上的高．

(1)若点E在BC的延长线上，点F在DC的延长线上，且∠ECF＝α，则∠A＝________(用含α的代数式表示)；

(2)若点E从点B出发，在直线BC上以每秒2 cm的速度运动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动____________时，CF＝AB.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．已知y－1与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3.

(1)试求y与x的函数关系式，并作出图象；

(2)观察图象，直接写出当x为何值时，－3≤y≤7.

16．【2024·合肥蜀山区月考】在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m＋1，

3m＋2)．

(1)若点P在第三象限，求m的取值范围；

(2)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，D是BC上的一点，连接AD.设＝k，当AD分别满足下列条件时，求k的值．

(1)AD为BC边上的中线；

(2)AD为∠BAC的平分线．

18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标；

(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标；

(3)观察△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE.若∠BDE＝72°，求∠AOB的度数．

20．因为一次函数y＝kx＋b与y＝－kx＋b(k≠0)的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx＋b与y＝－kx＋b(k≠0)互为“镜子”函数．

(1)请直接写出函数y＝3x－2的“镜子”函数：________________；

(2)如图，一对“镜子”函数y＝kx＋b与y＝－kx＋b(k≠0)的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的表达式．

六、(本题满分12分)

21．如图，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，

BE＝CF.

(1)求证：AD平分∠BAC.

(2)写出AB＋AC与AE之间的等量关系，并说明理由．

七、(本题满分12分)

22．在新区建设中，甲、乙两处工地急需一批挖掘机，甲地需27台，乙地需25台；A，B两公司获知情况后分别调动挖掘机28台和24台，并将其全部调往工地．若从A公司调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B公司调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元．设从A公司往甲地调运x台挖掘机，A，B公司将调动的挖掘机全部调往工地共耗资y万元．

(1)用含x的代数式填写下表：

	调往甲地(单位：台)	调往乙地(单位：台)
A公司	x	________
B公司	________	________

	调往甲地耗资(单位：万元)	调往乙地耗资(单位：万元)
A公司	0.4x	________
B公司	________	________

(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．

(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案？

八、(本题满分14分)

23．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.

(1)如图①，将AD，EB延长，延长线相交于点O.

①求证：BE＝AD；

②用含α的代数式表示∠AOB的度数；

(2)如图②，当α＝45°时，连接BD，AE，作 CM⊥AE于点M，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．

答案

一、1．D 　2．C　3．D　4．A　5．C　6．A　7．B　8．C　

9．C　

点方法：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的基本事实，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

10．D

点易错：要特别注意t是甲车行驶的时间及两车的运动状态，分类讨论时要不重不漏．

二、11．x≠0　

12．20°或50°或80°　

点易错：关注∠C是顶角还是底角，同时兼顾∠A，注意分类讨论。

13．6　

14．(1)α　(2)2 s或5 s　【点拨】(1)∵∠ACB＝90°，

∴∠A＋∠CBD＝90°.

∵CD为AB边上的高，

∴∠CDB＝90°.

∴∠BCD＋∠CBD＝90°.

∴∠A＝∠BCD.

又∵∠BCD＝∠ECF，∠ECF＝α，

∴∠A＝∠ECF＝α.

(2)∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，

∴∠CEF＝90°＝∠ACB.

在△CEF和△ACB中，

∴△CEF≌△ACB(AAS)．

∴CE＝AC＝7 cm.

①当点E在射线BC上运动时，BE＝CE＋BC＝7＋3＝10(cm)，

∴点E运动了10÷2＝5(s)；

②当点E在射线CB上运动时，BE＝CE－BC＝7－3＝

4(cm)．

∴点E运动了4÷2＝2(s)．

综上所述，当点E运动2 s或5 s时，CF＝AB.

三、15．【解】(1)设y－1＝k(x－3)．

∵当x＝4时，y＝3，∴k＝2.

∴y与x的函数关系式为y＝2x－5.

当x＝0时，y＝－5；当x＝4时，y＝3.

∴该函数图象经过点(0，－5)，(4，3)，其图象如图所示．

(2)当1≤x≤6时，－3≤y≤7.

16．【解】(1)∵点P在第三象限，

∴解得m<－.

(2)∵点P到两坐标轴的距离相等，

∴|2m＋1|＝|3m＋2|.

∴2m＋1＝3m＋2或2m＋1＋3m＋2＝0，

解得m＝－1或m＝－.

∴点P的坐标为(－1，－1)或.

四、17．【解】(1)∵AD为BC边上的中线，

∴BD＝CD.∴＝＝1.

又∵＝k，∴k＝1.

(2)如图，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.

∵ AD为∠BAC的平分线，

∴DM＝DN.

∵S_△ABD＝AB·DM，S_△ACD＝AC·DN，

∴＝＝.

又∵AB＝4，AC＝3，

∴＝.∴k＝.

18．【解】(1)△A₁B₁C₁如图所示，A₁(0，4)，B₁(2，2)，C₁(1，1)．

(2)△A₂B₂C₂如图所示，A₂(6，4)，B₂(4，2)，C₂(5，1)．

(3)△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于直线x＝3轴对称，所作对称轴如下图．

五、19．【解】设∠AOB＝x.

∵CO＝CD，

∴∠AOB＝∠CDO＝x.

∵∠ECD是△COD的一个外角，

∴∠ECD＝∠AOB＋∠CDO＝2x.

又∵DE＝DC，

∴∠ECD＝∠DEC＝2x.

∵∠EDB是△EOD的一个外角，

∴∠EDB＝∠AOB＋∠DEC.

又∵∠BDE＝72°，

∴x＋2x＝72°，解得x＝24°.

∴∠AOB＝24°.

20．【解】(1)y＝－3x－2

(2)∵△ABC是等腰直角三角形，AO⊥BC，

∴易得AO＝BO＝CO.

设AO＝BO＝CO＝x.

根据题意可得x×2x＝16，

解得x＝4(负值已舍去)，

∴B(－4，0)，C(4，0)，A(0，4)．

将点B，A的坐标分别代入y＝kx＋b，得

解得

故其函数表达式为y＝x＋4，

∴这对“镜子”函数的表达式分别为y＝x＋4，

y＝－x＋4.

六、21．(1)【证明】∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E＝∠DFC＝90°.

∴△BDE与△CDF均为直角三角形．

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．

∴DE＝DF.

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC.

(2)【解】AB＋AC＝2AE.

理由：由(1)知AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠CAD.

又∵∠AFD＝180°－∠DFC＝90°＝∠E，AD＝AD，

∴△AED≌△AFD.

∴AE＝AF.

∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE，

即AB＋AC＝2AE.

七、22．【解】(1)27－x；28－x；x－3；0.5(27－x)；0.3(28－x)；0.2(x－3)　

(2)由题意得y＝0.4x＋0.3(28－x)＋0.5(27－x)＋0.2(x－3)，即y＝－0.2x＋21.3(3≤x≤27)．

(3)依题意，得－0.2x＋21.3≤16.2，

解得x≥25.5.

又∵3≤x≤27，且x为整数，

∴x＝26或27.

∴要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：

方案一：从A公司往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B公司往甲地调运1台，往乙地调运23台．

方案二：从A公司往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B公司往甲地调运0台，往乙地调运24台．

点方法：此题主要考查了一次函数的应用，根据已知表示出从B公司调(27－x)台到甲地后还剩24－(27－x)＝x－3(台)调往乙地是解题关键．

八、23．(1)①【证明】∵CA＝CB，CD＝CE，

∠CAB＝∠CED＝α，

∴∠CBA＝∠CDE＝∠CAB＝∠CED＝α.

∴∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α.

∴∠ACB＝∠DCE.

∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，

即∠ACD＝∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)．

∴BE＝AD.

②【解】由①知△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE＝α＋∠BAO.

∵∠ABE＝∠AOB＋∠BAO.

∴∠CBE＋α＝∠AOB＋∠BAO.

∴∠BAO＋α＋α＝∠AOB＋∠BAO.

∴∠AOB＝2α.

(2)【证明】如图，过点B作BP⊥MN交MN的延长线于点P，过点D作DQ⊥MN于点Q，

则∠BPN＝∠DQN＝90°.

∵∠BCP＋∠BCA＝∠CAM＋∠AMC，且易得∠BCA＝∠AMC＝90°，

∴∠BCP＝∠CAM.

在△CBP和△ACM中，

∴△CBP≌△ACM(AAS)．

∴MC＝BP.

同理可得CM＝DQ，∴DQ＝BP.

在△BPN和△DQN中，

∴△BPN≌△DQN(AAS)．

∴BN＝ND.

∴N是BD的中点.