期末综合素质评价(二)

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[新考向身边的数学]下列几个城市的地铁标志中，是轴对称图形的是(　　)

A 　　 B 　　 C 　 　D

2．[2023·沈阳]不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是(　　)

A B C D

3．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为(2，1)，则点P关于y轴对称的点的坐标为(　　)

A．(－2，－1) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(2，1)

4．[2024·湖州月考]已知等腰三角形的周长为16cm，底边长为ycm，腰长为xcm，y与x的函数关系式为y＝16－2x，那么自变量x的取值范围是(　　)

A．x＞0 B．0＜x＜4 C．0＜x＜8 D．4＜x＜8

5．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数为(　　)

(第5题)

A．15° B．30° C．45° D．60°

6．如图，对于某个一次函数y＝kx＋b(k≠0)，根据两名同学的对话得出的结论，其中错误的是(　　)

(第6题)

A．k＞0 B．kb＜0 C．k＋b＞0 D．k＝－ b

7．如图，已知△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为(　　)

(第7题)

A．α＝β B．α＝2β

C．α＋β＝90° D．α＋2β＝180°

8．关于x的不等式组 的整数解只有4个，则m的取值范围是(　　)

A．－5≤m＜－4 B．－5＜m≤－4

C．－4≤m＜－3 D．－4＜m≤－3

9．[2024·衢州锦绣育才教育集团期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点E，F，连结EF交AB于点D，交AC于点H．连结CD，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AC于点G，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长为(　　)

(第9题)

A． cm B． cm C．3cm D． cm

10．[母题·教材P165例2 2024·绍兴期末]清明期间，甲、乙两人同时攀登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y(m)与登山时间x(min)之间的函数图象如图所示，且乙提速后，乙的速度是甲的3倍，则下列说法错误的是(　　)

(第10题)

A．乙提速后每分钟攀登30m

B．乙攀登到300m时共用时11min

C．从甲、乙相距100m到乙追上甲时，乙用时6．5min

D．从甲、乙相距100m到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330m

二、填空题(每题4分，共24分)

11．[2023·温州]不等式组 的解集是　　　　．

12．[2023·衢州]在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(2，2)，则点C的坐标为　　　　．

(第12题)

13．[情境题生活应用]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，于是小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是　　　　______cm．

(第13题)

14．[新视角·条件开放题2024·嘉兴期中]如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，下列4个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF，请你从中选择3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，构成一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为　　　　，作为结论的条件序号为　　　　．

(第14题)

15．[2024·杭州月考]一次函数y₁＝ax＋b与y₂＝cx＋d的图象如图所示，有下列说法：①对于函数y₁＝ax＋b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax＋d不经过第二象限；③不等式ax－d≥cx－b的解集是x≥4；④a－c＝ (d－b)．其中正确的是　　　　．

(第15题)

16．[情境题·生活应用2024·温州月考]如图①是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，图②是它的示意图，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架．AB＝29cm，AD＝13cm，BC＝20cm，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中PB＝13cm，CQ＝20cm．当伸缩杆PQ打开最大时，如图③，∠ADC＝180°，此时PQ＝ cm，则可变定长钢架CD的长度为　　　　cm．

(第16题)

三、解答题(共66分)

17．(6分)解不等式 － ≥4，并将其解集在数轴上表示出来．

18．(6分)已知平面直角坐标系中有一点M(m－1，2m＋3)．

(1)若点M在y轴上，求点M的坐标和点M到x轴的距离；

(2)若点N的坐标为(－3，2)，且MN∥y轴，求线段MN的长．

19．(6分)[2024·嘉兴一模]图①②均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．

(1)在图①的格点中取一点C，使△ABC为直角三角形；

(2)在图②的格点中取一点E，使S_△ABE＝ S_△ABD．

20．(8分)[情境题·工程应用2024·宁波期末]某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．

(1)求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少千克．

(2)每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人的质量分别为82kg和78kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？

21．(8分)甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．

(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数表达式；

(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．

22．(10分) [新视角·动手操作题2023·金华]如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的长方形OABC分割成10×4的小正方形网格．在该长方形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法①：在CB上取点P₁，使CP₁＝4．

结论：∠P₁OA＝45°，点P₁表示45°．

作法②：以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P₂．

结论：∠P₂OA＝30°，点P₂表示30°．

作法③：分别以O，P₂为圆心，大于OP₂长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，连结EF，与BC相交于点P₃．

作法④：以P₂为圆心，OP₂的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD，交AB于点P₄．

(1)分别求点P₃，P₄表示的度数；

(2)用尺规在该长方形的边上作点P₅，使该点表示37．5°(保留作图痕迹，不写作法)．

23．(10分)如图①，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连结AE．

(1)求证：△DBC≌△EAC；

(2)求证：AE∥BC；

(3)如图②，当动点D运动到边BA的延长线上时，作等边三角形EDC，连结AE，请问AE∥BC是否仍成立，若成立，请说明理由．

24．(12分) [新视角·新定义题2024·金华期末]定义：我们把形如y＝－kx－b(k≠0)的函数称为一次函数y＝kx＋b的“相反函数”．比如：函数y＝－2x－3是一次函数y＝2x＋3的“相反函数”．

(1)如图，一次函数l₁的图象交x轴、y轴于点(4，0)，(0，3)，请在图中画出该一次函数的“相反函数” l₂的图象；

(2)写出一次函数y＝kx＋b与其“相反函数” y＝－kx－b(k≠0)之间的性质(至少两条)；

(3)在(1)中，如果函数l₁，l₂的图象交点为C，l₁，l₂与y轴分别交于点A，B．求△ABC的角平分线与对边的交点坐标．

答案

一、1．B　2．C　3．C　4．D　5．A　6．C　7．B

8．A　【点拨】

由②得x＜3，∴不等式组的解集为m＋3＜x＜3．

由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，－1，∴－2≤m＋3＜－1．

∴－5≤m＜－4．

9．B　【点拨】连结BH，

根据作图步骤可知EF垂直平分AB，

∴BH＝AH，AD＝BD．

又∵△ABC为直角三角形，

∴CD＝ AB＝5cm．∴CG＝CD＝5cm．

根据勾股定理得AC＝ ＝ ＝8(cm)，∴AG＝AC－CG＝8－5＝3(cm)．

设AH＝BH＝xcm，则CH＝(8－x)cm．

根据勾股定理得BC²＋CH²＝BH²，

即6²＋(8－x)²＝x²，解得x＝ ，

∴GH＝AH－AG＝ －3＝ (cm)．

10．D　【点拨】甲的速度为(300－100)÷20＝10(m/min)，10×3＝30(m/min)，

即乙提速后每分钟攀登30m，故A正确；

乙攀登到300m时共用时2＋(300－30)÷30＝11(min)，故B正确；

设y_甲＝k₁x＋b₁，

由函数图象得 解得

∴y_甲＝10x＋100．

设AB所在直线的表达式为y_乙＝k₂x＋b₂，

易知B(11，300)，

∴ 解得

∴y_乙＝30x－30．

当y_甲＝y_乙时，10x＋100＝30x－30，解得x＝6．5，

即从甲、乙相距100m到乙追上甲时，乙用时6．5min，故C正确；

从甲、乙相距100m到乙追上甲时，

甲、乙两人共攀登了6．5×10＋30＋30×(6．5－2)＝65＋30＋135＝230(m)，故D错误．

二、11．－1≤x＜3　12．(1，3)　13．20

14．①②④；③(答案不唯一)　15．①③④

16．8　【点拨】∵BC＝20cm，PB＝13cm，

∴PC＝BC－PB＝7cm．

又∵CQ＝20cm，PQ＝ cm，

∴CQ²＋CP²＝449＝PQ²．∴∠PCQ＝90°．

∴∠ACB＝90°．

∵∠ADC＝180°，

∴△ACB是直角三角形．由勾股定理得

AC＝ ＝ ＝21(cm)，

∴CD＝AC－AD＝21－13＝8(cm)．

三、17．【解】去分母，得2(y＋1)－3(3y－5)≥24，

去括号，得2y＋2－9y＋15≥24，

移项、合并同类项，得－7y≥7，

系数化成1，得y≤－1．

将其解集表示在数轴上，如图所示．

18．【解】(1)由题意得m－1＝0，解得m＝1，

∴M(0，5)．∴点M到x轴的距离为5．

(2)∵点N(－3，2)，且直线MN∥y轴，

∴m－1＝－3，解得m＝－2．

∴M(－3，－1)．∴MN＝2－(－1)＝3．

19．【解】(1)如图①，点C即为所求作的点(答案不唯一)．

(2)如图②，点E即为所求作的点(答案不唯一)．

20．【解】(1)设1个甲部件的质量是xkg，1个乙部件的质量是ykg，根据题意，得

解得

答：1个甲部件的质量是160kg，1个乙部件的质量是120kg．

(2)设货运电梯一次可装运m套设备，

根据题意，得82＋78＋(160＋2×120)m≤3000，解得m≤7．1．

又∵m为正整数，∴m的最大值为7．

答：货运电梯一次最多可装运7套设备．

21．【解】设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b．

分别将(15，0)，(40，300)两点的坐标代入，得 解得

∴y＝12x－180(15≤x≤40)．

(2)设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数表达式为y＝k₁x＋b₁(25≤x≤60)，

分别将(25，160)，(60，300)两点的坐标代入，得 解得

∴y＝4x＋60(25≤x≤60)．

联立 解得

∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米．

22．【解】(1)易知BC∥OA，

∴∠OP₂C＝∠P₂OA＝30°．

由作图可知，EF是OP₂的垂直平分线，

∴OP₃＝P₃P₂．∴∠P₃OP₂＝∠P₃P₂O＝30°．

∴∠P₃OA＝∠P₃OP₂＋∠P₂OA＝60°．

∴点P₃表示60°．

由作图可知P₂D＝P₂O，∴∠P₂OD＝∠P₂DO．

∵CB∥OA，∴∠P₂DO＝∠DOA．

∴∠P₄OA＝∠P₂OD＝ ∠P₂OA＝15°．

∴点P₄表示15°．

(2)如图，点P₅即为所求(方法不唯一)．

【点拨】如图，作∠P₃OP₄的平分线交BC于点P₅，点P₅即为所求作的点．

23．(1)【证明】∵△ABC和△EDC为等边三角形，

∴CB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD．

∴∠BCD＝∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∴△DBC≌△EAC(SAS)．

(2)【证明】易知∠B＝60°．

∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°．

又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB．

∴AE∥BC．

(3)【解】AE∥BC成立．

理由：∵△ABC，△EDC为等边三角形，

∴BC＝AC，DC＝CE，∠B＝∠BCA＝∠DCE＝60°．

∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE．

在△DBC和△EAC中，

∴△DBC≌△EAC(SAS)．∴∠EAC＝∠B＝60°．

又∵∠ACB＝60°，

∴∠EAC＝∠ACB．∴AE∥BC．

24．【解】(1)设一次函数l₁的表达式为y＝kx＋b，

∴ ∴

∴一次函数l₁的表达式为y＝－ x＋3．

∴该一次函数的“相反函数” l₂为y＝ x－3．

其图象如图．

(2)结合(1)中的图象，可以发现一次函数y＝kx＋b与其“相反函数” y＝－kx－b(k≠0)之间的性质有：①两个函数的图象关于x轴对称；

②两个函数的图象都过点 ．(答案不唯一)

(3)如图．

∵A(0，3)，C(4，0)，∴AO＝3，CO＝4．

∴AC＝ ＝5．

由题意得△ABC是等腰三角形，

∴CO平分∠ACB．

∴∠ACB的平分线与对边的交点坐标为(0，0)．

当AF平分∠BAC，交x轴于点D时，作DE⊥AC于点E．

又∵DO⊥AO，∴OD＝ED．

又∵AD＝AD，

∴Rt△AOD≌Rt△AED(HL)．∴AE＝AO＝3．

∴CE＝AC－AE＝5－3＝2．

设OD＝DE＝x，则CD＝4－x．

∵在Rt△DEC中，DC²＝DE²＋EC²，

∴(4－x)²＝x²＋2²．∴x＝ ．∴D ．

∴易得直线AD的表达式为y＝－2x＋3．

又∵直线BC的表达式为y＝ x－3，

∴易得F ．∴∠BAC的平分线与对边的交点坐标为 ．

根据对称性，得∠ABC的平分线与对边的交点坐标为 ．

综上，△ABC的角平分线与对边的交点坐标为(0，0)或 或 ．