绝密★启用前
200648-2024年重庆市中考数学试题B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列各数中最小的数是（ ）
A．
B．0 C．1 D．2
2．下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．反比例函数
的图象一定经过的点是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，
，若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若两个相似三角形的相似比为
，
则这两个三角形面积的比是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．估计
的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
7．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
8．如图
，
是
的弦 ，
交
于点 ，
点
是
上一点，连接 ，
．若 ，
则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在边长为4的正方形
中，点
是
上一点，点
是
延长线上一点，连结
，
，
平分
交
于点
.若
，则
的长度为（ ）
（第24题图）
A.
2B.
C.
D.
10．已知整式
，
其中
为自然数 ，
为正整数，且
．下列说法：
①满足条件的整式
中有5个单项式；
②不存在任何一个
，
使得满足条件的整式
有且只有3个；
③满足条件的整式
共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．计算：
．
12．甲、乙两人分别从
，，
三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ．
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 .
14．重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为
，根据题意，可列方程为 .
15．如图，在
中，
，
，
平分
交
于点
．若
，则
的长度为 ．
16．若关于
的一元一次不等式组
的解集为
，且关于
的分式方程
的解均为负整数，则所有满足条件的整数
的值之和是 .
17．如图，
是
的直径，
是
的切线，点
为切点.连接
交
于点
，点
是
上一点，连接
，
，过点
作
交
的延长线于点
.若
，
，
，则
的长度是 ；
的长度是 .
18．一个各数位均不为0的四位自然数
，若满足
，则称这个四位数为“友谊数”.例如：四位数
，
，
是“友谊数”.若
是一个“友谊数”，且
，则这个数为 ；若
是一个“友谊数”，设
，且
是整数，则满足条件的
的最大值是 .
三、解答题
19．计算：
(1)
；
(2)
．
20．数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用
表示，共分三组：A．
，
． ，
．
），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是80，83，88，88．
七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 |
平均数 |
中位数 |
众数 |
七年级 |
86 |
87 |
|
八年级 |
86 |
|
90 |
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：
，
，
；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”
的总共有多少人？
21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空.
(1)如图，在矩形
中，点
是对角线
的中点．用尺规过点
作
的垂线，分别交
，
于点
，
，连接
，
．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：矩形
，点
，
分别在
，
上，
经过对角线
的中点
，且
．求证：四边形
是菱形．
证明：∵四边形
是矩形，
∴
．
∴①，
．
∵点
是
的中点，
∴②．
∴
（）
．
∴③．
又∵
，
∴四边形
是平行四边形．
∵
，
∴四边形
是菱形．
进一步思考，如果四边形
是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．
22．某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15 000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
（1） 求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）
已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的
，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
23．如图，在
中 ，，
，
点
为
上一点，过点
作
交
于点
．设
的长度为 ，
点 ，
的距离为 ，
的周长与
的周长之比为
．
(1)请直接写出
，
分别关于
的函数表达式，并注明自变量
的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数
，
的图象；请分别写出函数 ，
的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出
时
的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过
）
24．如图，
，
，
，
分别是某公园四个景点，
在
的正东方向，
在
的正北方向，且在
的北偏西
方向，
在
的北偏东
方向，且在
的北偏西
方向，
千米.（参考数据：
，
， 、
）
（1）
求
的长度（结果精确到0.1千米）；
（2）
甲、乙两人从景点
出发去景点
，甲选择的路线为
，乙选择的路线为
.请计算说明谁选择的路线较近？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
，
两点，交
轴于点
，抛物线的对称轴是直线
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点
是直线
下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点
作
轴交抛物线于点
，作
于点
，求
的最大值及此时点
的坐标；
(3)将抛物线沿射线
方向平移
个单位，在
取得最大值的条件下，点
为点
平移后的对应点，连接
交
轴于点
，点
为平移后的抛物线上一点，若
，请直接写出所有符合条件的点
的坐标．
26．在
中，
，
，过点
作
．
(1)如图1，若点
在点
的左侧，连接
，过点
作
交
于点
．若点
是
的中点，求证：
；
(2)如图2，若点
在点
的右侧，连接
，点
是
的中点，连接
并延长交
于点
，连接
．过点
作
交
于点
，
平分
交
于点
，求证：
；
(3)若点
在点
的右侧，连接
，点
是
的中点，且
．点
是直线
上一动点，连接
，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
，点
是直线
上一动点，连接
，
．在点
的运动过程中，当
取得最小值时，在平面内将
沿直线
翻折得到
，连接
．在点
的运动过程中，直接写出
的最大值．
参考答案
一、单选题
1. A
是负数，其他三个数均是非负数，故
是最小的数.
故此题答案为A．
2. A
解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故此题答案为A．
3. B
解：解：当
时
，，
图象不经过
，
故A不符合要求；
当
时
，，
图象一定经过
，
故B符合要求；
当
时
，，
图象不经过
，
故C不符合要求；
当
时
，，
图象不经过
，
故D不符合要求.
故此题答案为B．
4. C
解：如图，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
故此题答案为C．
5. D
解：∵两个相似三角形的相似比为
，
∴这两个三角形面积的比是
，
故此题答案为D．
6. C
∵ ，
而
，
∴ ，
故选C.
7. C
解：第①个图案中有
个菱形，
第②个图案中有
个菱形，
第③个图案中有
个菱形，
第④个图案中有
个菱形，
∴第
个图案中有
个菱形，
∴第⑧个图案中菱形的个数为
，
故此题答案为C．
8. B
解：∵
，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
，
∴ ，
故此题答案为B．
9. D
四边形
是正方形，
，
.在
和
中，
≌
，
平分
，
.在
和
中，
≌
，
四边形
是边长为4的正方形，
，
，
.设
，则
，
.在
中，根据勾股定理，得
，即
，解得
.故选D.
10. D
解：∵
为自然数
，
为正整数，且
，
∴ ，
当
时，则
，
∴ ，
，
满足条件的整式有
，
当
时，则
，
∴ ，
，
，
，
满足条件的整式有
，
，
，
，
当
时，则
，
∴ ，
，
，
，
，
，
满足条件的整式有
，
，
，
，
，
；
当
时，则
，
∴ ，
，
，
，
满足条件的整式有
，
，
，
；
当
时
，，
满足条件的整式有
；
∴满足条件的单项式有
，
，
，
，
，
故①符合题意；
不存在任何一个
，
使得满足条件的整式
有且只有3个，故②符合题意；
满足条件的整式
共有
个．故③符合题意，
故此题答案为D．
二、填空题
11. 3
解：原式=2+1=3.
12.
解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种，
故他们选择同一个景点的概率是
．
13. 8
解：
多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是
，
即该正多边形的边数是8
14.
利用预计今年第三季度低空飞行航线安全运行的架次数
今年第一季度低空飞行航线安全运行的架次数
（
第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率）
，即可列出关于
的一元二次方程为
.故答案为
.
15. 2
解：∵在
中，
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴
16. 12
①②
解不等式①，得
，解不等式②，得
，由题意得
，解得
.解方程
，得
，且
为负整数,则有以下几种情况:当
时，
；当
时，
（不合题意，舍去）；当
时，
.综上,符合条件的
的值有
，，
，
所有满足条件的整数
的值之和是12.
17.
；
是
的直径，
，
，
，
切
于
，
，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
.故答案为
，
.
18. 3 456； 6 273
是一个“友谊数”，
.又
，
，
，
，
，
这个数为
是一个“友谊数”，
，
，
.
是整数，
是整数，即
是整数，
是13的倍数
,
,
,
都是正整数，且
，
,
.当
时，
，此时不满足
是13的倍数，不符合题意；当
时，
，此时不满足
是13的倍数，不符合题意；当
时，
，此时可以满足
是13的倍数，即此时
，则此时
，
要使
最大，一定要满足
最大，
满足题意的
的最大值为6
273.故答案为
,
.
三、解答题
19.
(1)
;(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
20. (1)88；87；40(2)八年级学生数学文化知识较好，理由见解析(3)310人
（1）解：八年级C组的人数为
人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数
；
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数
；
由题意得
，
∴
；
故答案为88；87；40；
（2）解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高，
∴八年级学生数学文化知识较好；
（3）解：
人，
∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人．
21.
(1)见解析
(2)①
；②
；③
；④四边形
是菱形
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形
是矩形，
∴
．
∴
，
．
∵点
是
的中点，
∴
．
∴ ≌
．
∴
．
又∵
，
∴四边形
是平行四边形．
∵
，
∴四边形
是菱形．
猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；
证明：∵四边形
是平行四边形，
∴
．
∴
，
．
∵点
是
的中点，
∴
．
∴ ≌
．
∴
．
又∵
，
∴四边形
是平行四边形．
∵
，
∴四边形
是菱形．
故答案为①
；②
；③
；④四边形
是菱形．
22.
（1）
【解】设A种外墙漆每千克的价格是
元，B种外墙漆每千克的价格是
元.根据题意得
解得
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元.（2）
设甲每小时粉刷外墙的面积是
平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是
平方米.根据题意得
，解得
，经检验，
是所列方程的解，且符合题意.答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
23.
(1) ，
;
(2)函数图象见解析
，
随
增大而增大 ，
随
增大而减小;
(3)
（1）解：∵
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
.
（2）解：如图所示，即为所求.
由函数图象可知
，
随
增大而增大
，
随
增大而减小.
（3）解：由函数图象可知，当
时
的取值范围
．
24.
（1）
【解】过
作
于
，如图.根据已知得
，
，
，
千米，
千米.
在
的北偏西
方向，
，
是等腰直角三角形，
（千米），
的长度约为2.5千米.
（2）
过
作
于
，如图.由（1）知
千米，
千米，
千米.在
中，
千米，
千米.
在
的北偏西
方向，
，
千米，
千米，
（千米）；
（千米）
,
,
甲选择的路线较近.
25.
(1)
(2)
最大值为
；
(3)
或
（1）解：∵抛物线
与
轴交于
，
两点，交
轴于点
，抛物线的对称轴是直线
，
∴
，
解得
，
∴
；
（2）解：如图，延长
交
轴于
，过
作
轴于
，
∵当
时，
解得
，
，
∴
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
轴，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
设
为
，
∴
，解得
，
∴直线
为
，
设
，
∴
，
∴
，
∵抛物线
的对称轴为直线
，
∴
，
∴
，
当
时，
取得最大值，最大值为
；
此时
；
（3）解：∵抛物线沿射线
方向平移
个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为
，
，
如图，当
在
轴的左侧时，过
作
轴于
，
∵
，
同理可得直线
为
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
∴
，
解得
或
（舍去），
∴
；
如图，当
在
轴的右侧时，过
作
轴的垂线，过
作
过
的垂线于
，
同理可得
，
设
，则
，
同理可得
，
∴
或
（舍去），
∴
．
26.
(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
（1）证明：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴ ≌
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴
；
（2）证明：如图所示，过点G作
于H，连接
，
∵
，
∴ ，
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴ ≌
，
∴
，
，
∵ ，
，
∴
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
；
∵ ，
，
∴
，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
设
，则
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴ ≌
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）解：如图所示，过点D作
交
延长线与H，连接
，
∵ ，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∵点
是
的中点，且
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
由旋转的性质可得
，
，
∴
，
∴ ≌
，
∴
，
∴点Q在直线
上运动，
设直线
交
于K，则
，，
，
∴
，
由垂线段最短可知，当
时，
有最小值，
∴
，
设
，则
，
∴
，
∴
，
∴
；
在
中，
，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理得
；
∵ ≌
，
∴
，
∴
；
由折叠的性质可得
，
∵
，
∴
，
∴当点Q在线段
上时，
此时有最大值，最大值为
，
∴
的最大值为
．
