绝密★启用前
200846-2024年四川省达州市中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．有理数2024的相反数是（ ）
A．2024 B．
C．
D．
2．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热 B．爱 C．中 D．国
5．小明在处理一组数据“
，，，，
”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在
～
之间，则“
”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
6．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中
，
，
则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的
倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工
个零件．可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为
，
，其中点
，
，
都在格点上，则
的值为（ ）
A.
2B.
C.
D. 3
9．抛物线
与
轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图
，
是等腰直角三角形 ，，
，
点 ，
分别在 ，
边上运动，连结 ，
交于点 ，
且始终满足 ，
则下列结论：①
；②
；③
面积的最大值是
；④
的最小值是
．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．分解因式：
﹣
．
12．“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是 ．
13．若关于
的方程
无解，则
的值为 ．
14．如图，在
中 ，，
分别是内角
、外角
的三等分线，且 ，
，
在
中 ，，
分别是内角 ，
外角
的三等分线．且 ，
，
…，以此规律作下去．若
．则
度．
15．如图，在
中 ，
．点
在线段
上 ，
．若 ，
，
则
的面积是 ．
三、解答题
16．（1）计算：
π
；
（2）解不等式组
.
17．先化简：
，再从
， ，，，
之中选择一个合适的数作为
的值代入求值．
18．2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题．旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表.
等级
|
|
|
|
|
分数段
|
|
|
|
|
频数
|
|
|
|
|
请根据表中提供的信息．解答下列问题：
(1)此次调查共抽取了 名选手
，
，
；
(2)扇形统计图中
，
等级所对应的扇形圆心角度数是 度；
(3)赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．
19．如图，线段
，
相交于点
．且 ，
于点
．
(1)尺规作图：过点
作
的垂线，垂足为点 ，
连接 ，
；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
(2)若
，
请判断四边形
的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
20．“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动,起源于汉代,融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图
，
是彩婷的中轴,甲同学站在
处．借助测角仪观察，发现中轴
上的点
的仰角是 ，
他与彩婷中轴的距离
米．乙同学在观测点
处借助无人机技术进行测量，测得
平行于水平线 ，
中轴
上的点
的仰角 ，
点
之间的距离是
米，已知彩婷的中轴
米，甲同学的眼睛到地面的距离
米，请根据以上数据，求中轴上
的长度．（结果精确到
米，参考数据 ，
）
21．如图，一次函数
（ ，
为常数且
）的图象与反比例函数
（
为常数且
）的图象交于点 ，
．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点
是
轴正半轴上的一点，且 ，
求点
的坐标．
22． 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3 500元．
（1） 求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元.
（2） 已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1 000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案?并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元.
23．如图
，
是
的直径．四边形
内接于
．连接 ，
且 ，
以
为边作
交
的延长线于点
．
(1)求证：
是
的切线；
(2)过点
作
交
于点
．若 ，
求
的值．
24．如图1，抛物线
与
轴交于点
和点 ，
与
轴交于点
．点
是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接
，
，
直线
交抛物线的对称轴于点 ，
若点
是直线
上方抛物线上一点，且 ，
求点
的坐标；
(3)若点
是抛物线对称轴上位于点
上方的一动点，是否存在以点 ，
，
为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
25．在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的
倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下,如图1．
（）
四边形
是菱形，
，
，
．
．
又
，
，
+ ．
化简整理得
．
【类比探究】
（2）如图2．若四边形
是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
【拓展应用】
（3）如图3，四边形
为平行四边形，对角线 ，
相交于点 ，
点
为
的中点，点
为
的中点，连接 ，
若 ，
，
，
直接写出
的长度．
参考答案
一、单选题
1. B
解：有理数2024的相反数是
，
故此题答案为B．
2. B
解：2亿
，
故此题答案为B．
3. C
解：A、
与
不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、
，
原式计算错误，不符合题意；
C、
，
原式计算正确，符合题意；
D、
，
原式计算错误，不符合题意.
故此题答案为C．
4. B
解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，则与“我”字相对的字是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”，
故此题答案为B．
5. C
一组数据“
，，，，
”，其中“
”在
～
之间，五个数据的和随“
”的变化而变化，所以平均数是变化的，故选项A错误．当“
”为35时，众数为12和35，即众数会受影响，故选项B错误．无论“
”为何值，中位数都是28，故选项C正确．由方差的定义可知方差是变化的，故选项D错误．故选C．
6. B
解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
,
∵ ，
，
∴
,
故此题答案为B．
7. D
解：设乙每小时加工
个零件，则甲每小时加工
个零件，
由题意得
，
故此题答案为D．
8. B
如图，延长
交格点于
，连结
.由题意可得,
，
，
，
，故选B．
9. A
解：依题意，设抛物线
与
轴交于两点，横坐标分别为
依题意
，
∵ ，
抛物线开口向下，
∴当
时
，，
即
∴ ，
故A选项正确，符合题意；
若对称轴为
，
即
，
而
，
不能得出对称轴为直线
，
故B选项不正确，不符合题意；
∵抛物线与坐标轴有2个交点，
∴方程
有两个不等实数解，即
，
又
∴ ，
故C选项错误，不符合题意；
无法判断
的符号，故D选项错误，不符合题意.
故此题答案为A．
10. D
解：如图所示，过点
作
于点
，
∵ ，
，
∴
∴
又∵
∴ ，
∴ ，
故①正确；
∵
∴
∴ ，
故②正确，
如图所示，
在
的左侧，以
为斜边作等腰直角三角形
，
以
为半径作
∴
∵
∴
∴
在
的
上运动，
∴ ，
∴当
时
，
面积的最大，
连接
交
于点
，
则
，
∴
，
故③正确；
如图所示，当
在
上时
，
最小，过点
作
交
的延长线于点
，
∴
是等腰直角三角形，
∴ ，
在
中
，，
∴ ，
∴
的最小值是
．
故此题答案为D．
二、填空题
11.
（）
（）（）
．
12.
解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为
，，，
，根据题意，画出如下的树状图.
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．
两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种，
所以P（两本是《三国演义》和《西游记》）
．
13. 4
解：
去分母得
，
解得
，
∵关于
的方程
无解，
∴原方程有增根，
∴ ，
即
，
∴
．
14.
解：如图，
∵ ，
，
∴设
，
则
，
，
则
，
由三角形的外角定理得
，
，
∴ ，
如图，
同理可求
，
∴ ，
∴ ，
即
．
15.
解：过
作
于
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
.
设
，
则
，
.
，
，
解得
（舍去）或
，
经检验
是原分式方程的解，
．
三、解答题
16.
（）
； （）
解：
（）π
.
（）①②
,
解不等式①得
,
解不等式②得
,
∴不等式组的解集为
.
17.
，当
时，原式
．
解：
，
∵分式要有意义，
∴
，
∴
且
且
，
∴当
时，原式
．
18.
(1) ，
，
;
(2)
; (3)
（1）解：依题意此次调查共抽取了
名选手，
,
∴
．
（2）扇形统计图中
，
等级所对应的扇形圆心角度数是
（3）解：设三个项目的冠军分别为
，
列表如下，
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
共有6种等可能结果，其中恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的有2种情形，
∴恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率为
.
19.
(1)见解析
(2)四边形
是平行四边形，理由见解析
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形
是平行四边形，理由如下：
∵ ，
∴ ，，
又∵
，
∴ ≌，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，，
又∵
，
∴ ≌，
∴ ，
∴四边形
是平行四边形．
20.
中轴上
的长度为
米.
解：如图，过点
作
于点
，
依题意，四边形
是矩形
，，
∴ ，
，
∴
米.
答：中轴上
的长度约为
米．
21.
(1) ，
.
(2)
.
（1）解：将
代入
，
得
，
.
将
代入
，
得
，
，
.
将
和
代入
，
得
，，
解得
，，
.
故反比例函数和一次函数的解析式分别为
和
.
（2）如图，过
作
轴于
，
过
作
轴于
，
，
，
，
，
，
即
.
设
，
则
，
，
，
解得
（舍去）或
.
经检验
，
是原分式方程的解，
所以点
的坐标为
．
22.
（1）
【解】设A品种柑橘礼盒每件的售价为
元，则B品种柑橘礼盒每件的售价为
元.由题意得
，解得
，
.答：A品种柑橘礼盒每件的售价为80元，B品种柑橘礼盒每件的售价为100元.（2）
设销售A品种柑橘礼盒
盒，则销售B品种柑橘礼盒
盒.由题意得
解得
.设收益为
元.由题意得
.
，
随
的增大而减小，
当
时，
有最大值，最大值为
，此时，
.答：要使农户收益最大，应该安排销售A品种柑橘礼盒595盒，B品种柑橘礼盒405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34
050元．
23.
(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图所示，连接
，
∵
是
的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
是
的半径，
∴
是
的切线；
（2）解：如图所示，延长
交
于
，延长
交
于
，连接
，
∵
是
的直径，
∴ ，
即
，
∵ ，，
∴
垂直平分
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
又∵
，
∴ ≌，
∴ ，，
∵ ，
∴ ≌，
∴ ，
设
，
则
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
24.
(1)
(2)
或
； (3)
或
或 ，
或 ，
（1）解：∵抛物线
与
轴交于点
和点
，
得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）由
，
当
时
，，
则
，
∵ ，
则
，
对称轴为直线
，
设直线
的解析式为
，
代入
，
，
得
解得
∴直线
的解析式为
，
当
时
，，
则
∴ ，
∴ ，
∴
是等腰三角形，
∴ ，
连接
，
设
交
轴于点
，
则
，
∴
是等腰直角三角形，
∴ ，
，
又
∴
∴ ，
∴点
与点
重合时符合题意
，，
如图所示，过点
作
交抛物线于点
，
设直线
的解析式为
，
将
代入，
得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
联立
，
解得
，
，
∴ ，
综上所述
，
或
；
（3）解：∵
，
，
∴ ，
∵点
是抛物线对称轴上位于点
上方的一动点，设
其中
，
∴ ，
，
①当
时
，，
解得
或
，
②当
时
，，
解得
，
③当
时
，，
解得
或
（舍去），
综上所述
，
或
或
，
或
，
．
25.
（），
，
； （）
； （）
解：
（）
四边形
是菱形，
，
，
．
．
又
，
，
．
化简整理得
故答案为
，
，
;
（），
理由如下，
过点
作
于点
，
过点
作
交
的延长线于点
，
∴ ，
∵四边形
是平行四边形，
∴ ，
，
，
∴ ，
在
和
中，
，
∴ ≌，
∴ ，
，
在
中
，，
在
中
，，
∴
，
∴
;
（3）∵四边形
是平行四边形
，，
，
，
由（2）可得
∴
解得
（负值舍去）
∴ ，
如图所示，过点
分别作
的垂线，垂足分别为
，
连接
，
∵
分别为
的中点，
∴
∴
，
∴ ，
在
中
，，
∵ ，
为
的中点
，，
则
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在
中
，
．