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200834-2024年四川省德阳市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列四个数中，比
小的数是（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中
，
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．正比例函数
的图象如图所示，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．分式方程
的解是（ ）
A.
3B. 2C.
D.
6．为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：
投中次数（个） |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
人数（人） |
1 |
● |
10 |
17 |
● |
6 |
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日.在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样.则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A. 吉 如 意B. 意 吉 如C. 吉 意 如D. 意 如 吉
8．已知，正六边形
的面积为
，则正六边形的边长为（ ）
A.
1B.
C. 2D. 4
9．将一组数
，
按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物
的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房
，
小李同学在小楼房楼底
处测得
处的仰角为 ，
在小楼房楼顶
处测得
处的仰角为
．（ ，
在同一平面内 ，，
在同一水平面上），则建筑物
的高为（ ）米
A．20 B．15 C．12 D．
11．宽与长的比是
的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形
是黄金矩形 ＜，
点
是边
上一点，则满足
的点
的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
12．一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：
）的正方形纸片 ，
他在边
和
上分别取点
和点 ，
使 ，
又在线段
上任取一点
（点
可与端点重合），再将
沿
所在直线折叠得到 ，
随后连接
．小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点
在线段
上运动时，点
在以
为圆心的圆弧上运动；
②当
达到最大值时 ，
到直线
的距离达到最大；
③
的最小值为
；
④
达到最小值时
，
．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．化简：
＝
．
14．若一个多项式加上
，
结果是 ，
则这个多项式为 ．
15．某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占
，
面试占 ，
试讲占
进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为 分．
16．如图，四边形
是矩形 ，
是正三角形，点
是
的中点，点
是矩形
内一点，且
是以
为底的等腰三角形，则
的面积与
的面积的比值是 ．
17．数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字
,
，你认为
可以是
（填上一个数字即可）．
18．如图，抛物线
的顶点
的坐标为
，
，与
轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：
①
； ②
；③若抛物线经过点
，
，则
；④若关于
的一元二次方程
无实数根，则
.其中正确结论是 （请填写序号）.
三、解答题
19．（1）计算：
；
（2）解不等式组：
①＜②
20．2024年中国龙舟公开赛（四川·德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行
：100米直道竞速赛
，
：200米直道竟速赛
，
：500米直道竞速赛
，
：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
|
(1)直接写出
，
的值和
所在扇形圆心角的度数；
(2)若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？
(3)为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
21．如图，一次函数
与反比例函数 ＜
的图象交于点
．
(1)求
的值和反比例函数
的解析式；
(2)将直线
向下平移
个单位长度 ＞
后得直线 ，
若直线
与反比例函数 ＜
的图象的交点为 ，
求
的值，并结合图象求不等式 ＜
的解集．
22．如图，在菱形
中 ，，
对角线
与
相交于点 ，
点
为
的中点，连接
与
相交于点 ，
连接
并延长交
于点
．
(1)证明：
；
(2)证明：
≌
．
23．罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有
,
两种组合方式，其中
组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽
，
组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽
．
,
两种组合的进价和售价如下表：
价格 |
|
|
进价（元/件） |
94 |
146 |
售价（元/件） |
120 |
188 |
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的
种组合数量是
种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件
种组合？最大利润为多少？
24．如图，抛物线
与
轴交于点
和点 ，
与
轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当
＜
时，求
的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移
个单位长度得到点 ，
点
为抛物线的对称轴上一动点，求
的最小值．
25．已知
的半径为 ，，
是
上两定点，点
是
上一动点，且
的平分线交
于点
．
(1)证明：点
为
上一定点；
(2)过点
作
的平行线交
的延长线于点
．
①判断
与
的位置关系，并说明理由；
②若
为锐角三角形，求
的取值范围．
参考答案
一、单选题
1. D
解：∵
正数>0>负数
，，
∴
∴ ，
∴比
小的是
．
故此题答案为D．
2. B
解：A、
，
原选项计算错误；
B、
，
原选项计算正确；
C、
，
原选项计算错误；
D、
，
原选项计算错误.
故此题答案为B．
3. B
解：∵
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
.
故此题答案为B．
4. A
解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限，
∴ ＞，
∴选项A符合题意．
故此题答案为A．
5. D
去分母，得
，移项、合并同类项，得
，解得
，经检验，
是分式方程的解，故选D．
6. C
解：∵一共有50名同学，
∴被遮住投篮成绩的人数为
名，
∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，
∴这50名学生的投篮成绩的众数为3，出现17次，大于16，与被遮盖的数据无关，
∵中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，
∴把这50名学生的成绩从小到大排列，第25名和第26名的投篮成绩不能确定，与被遮盖的数据有关，而平均数和方差都与被遮住的数据有关，
故此题答案为C．
7. A
由题意知题图是四棱锥的展开图，
在A、B、C处依次写上的字可以是吉、如、意或如、吉、意．故选A．
8. C
如图，令正多边形
的中心为
，连接
，
，过点
作
，垂足为点
六边形
是正六边形，
，
是等边三角形，
.设
，则
正六边形
，
，解得
或
（舍去），则正六边形的边长为2.故选C.
9. C
解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有
个数，
则第八行左起第1个数是
，
故此题答案为C．
10. B
解：如图，过
作
于
，
依题意
，，
∴四边形
为矩形，
∴ ，
，
设
，
而
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
故此题答案为B.
11. D
解：如图所示，四边形
是黄金矩形
＜，
，
设
，
，
假设存在点
，
且
，
则
，
在
中
，，
在
中
，，
，
，
即
，
整理得
，
，
又
，
即
，
，
＜，
＞，
＜，
方程无解，即点
不存在．
故此题答案为D．
12. C
解：∵正方形纸片
的边长为
，
∴ ，
由折叠的性质可知
，，
∴当点
在线段
上运动时，点
在以
为圆心的圆弧上运动．故①正确．
连接
，
∵在正方形
中
，，
，
，
∴在
中
，
∵ ，
∴ ，
∴
的最小值为
．故③正确；
如图，
达到最小值时，点
在线段
上，
由折叠可得
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．故④错误．
在
中
，，
，
∴
随着
的增大而增大，
∵ ，
∴当
最大时
，
有最大值
，
有最大值，此时，点
与点
重合，
过点
作
于点
，作
于点
，
∵ ，
∴四边形
是矩形，
∴ ，
当
取得最大值时
，
也是最大值，
∵ ，
∴
有最小值，
∴在
中
，
有最大值，
即
有最大值，
∴点
到
的距离最大．故②正确．
综上所述，正确的共有3个．
故此题答案为C
二、填空题
13. 3
解：
．
14.
解：依题意这个多项式为
．
15.
解：她的综合成绩为
（分）．
16. 2
解：如图，找
，
中点为
，
，
连接
，
，
连接
，
，
过
作
交
的延长线于
点，延长
，
与
交于
点．
设
，
，
∵
是以
为底的等腰三角形，
∴
在
上，
∴
到
的距离即为
，
∴ ，
在
和
中
∵ ，
∴ ≌，
∴ ，
∴ ，
∴
．
17. 1（或8）
解：
两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，如2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．
位于两个中心圆圈的数字
，
，只可能是1或者8．
18. ①②④
抛物线
的顶点
的坐标为
，
，
，
抛物线开口向下，
，
.当
时，
，
，故①正确．由图象可得当
时，
，
，故②正确
直线
是抛物线的对称轴，
点
到对称轴的距离大于点
到对称轴的距离，
，故③错误
．
关于
的一元二次方程
无实数根，
顶点
，
在直线
的下方，
，故④正确.故答案为①②④.
【关键点拨】
解题的关键是掌握二次函数的图象与性质.
三、解答题
19.
（），（）
＜
（1）
．
（2）解：
①＜②
,
由①
，
得
，
由②
＜，
得
＜，
∴不等式组的解集为
＜
．
20.
(1) ，
，
； (2)
，
； (3)
.
（1）解：根据两图中
的数据可得总人数为
（人），
（人），
（人），
所在扇形圆心角的度数为
；
（）
：3000米绕标赛的关注人数最多，为
（人），
答：估计当天观看比赛的市民中关注
：3000米绕标赛比赛项目的人数最多，大约有4000人；
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为
．
21.
(1)
；反比例函数的解析式为
(2)
；不等式
＜
的解集为 ＜
（1）解：∵一次函数
与反比例函数
＜
的图象交于点
，
∴
；
∴ ，
把
代入
，
得
，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为
；
（2）解：∵直线
是将直线
向下平移
个单位长度
＞
后得到的，
∴直线
与直线
平行，
∴ ，
∴ ，
∵直线
与反比例函数
＜
的图象的交点为
，
把
代入
得
，，
解得
，，
∴ ，
把
代入
，
得
，
∴ ，
∴
；
由图象知，当
＜
时
，
在直线
的下方，
∴不等式
＜
的解集为
＜
．
22. (1)证明见解析；(2)证明见解析.
（1）证明：∵四边形
是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴
是等边三角形，
∵点
为
的中点，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴
．
（2）证明：∵
是等边三角形
，，，
∴ ，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴ ，
在
和
中，
∴ ≌
（
）．
23. (1)16元， 6元(2)25件， 3590元
（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价
元，每个肉粽的进价
元．
根据题意可得
，
解得
，
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元．
（2）解：设该超市应准备
件
种组合，则
种组合数量是
件，利润为
元，
根据题意得
，
解得
，
则利润
，
可以看出利润
是
的一次函数
，
随着
的增大而增大，
∴当
最大时
，
最大，
即当
时
，，
答：为使利润最大，该超市应准备25件
种组合，最大利润3590元．
24.
(1)
；
(2)
；
(3)
（1）解：∵抛物线
与
轴交于点
，
∴ ，
解得
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）解：∵
的对称轴为直线
，
而
＜，
∴函数最小值为
，
当
时
，，
当
时
，，
∴函数值的范围为
；
（3）解：∵
，
当
时
，，
∴ ，
当
时，
解得
，
，
∴ ，
∴ ，
设直线
为
，
∴ ，
∴ ，
∴直线
为
，
∵拋物线的顶点向下平移
个单位长度得到点
，
而顶点为
，
∴ ，
∴
在直线
上，
如图，过
作
于
，
连接
，
过
作
于
，
∵ ，
，
∴ ，
，
∵对称轴与
轴平行，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线的对称性可得
，
，
∴ ，
当
三点共线时取等号，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即
的最小值为
．
25.
(1)证明见解析；
(2)①
与
相切，理由见解析；②
的取值范围为 ＜＜
．
（1）证明：∵
的平分线交
于点
，
，
∴ ，
∴
,
∵ ，
是
上两定点，
∴点
为
的中点，是一定点；
（2）解：①如图，连接
，
∵
,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
为半径，
∴
是
的切线；
②如图，当
时，
∴
为直径
，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形
为矩形，
∴
；
如图，连接
，
当
，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
为等边三角形，
∴ ，
同理可得，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当
为锐角三角形
，
的取值范围为
＜＜
．