【327947】2024年山东省济南市中考数学试卷

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200627-2024年山东省济南市中考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．9的相反数是（      ）

A．

B．

C．9

D．

2．黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（      ）

A．主视图与左视图相同　　　　B．主视图与俯视图相同

C．左视图与俯视图相同　　　　D．三种视图都相同

3．截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到 ，将数字3465000000用科学记数法表示为（      ）

A． B． C． D．

4．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（      ）

A．正六边形　　　　B．正七边形　　　　C．正八边形　　　　D．正九边形

5．如图，已知 ≌ ，则 的度数为（      ）．

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

6．下列运算正确的是（      ）

A． B． C． D．

7．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

8．3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参力口其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

9．如图，在正方形 中，分别以点A和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线 ，再以点A为圆心，以 的长为半径作弧交直线 于点 （点 在正方形 内部），连接 并延长交 于点 ．若 ，则正方形 的边长为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

10．如图 ， 是等边三角形，点 在边 上， ，动点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点 后停止，连接 ．设点 的运动时间为 ， 为 ．当动点 沿 匀速运动到点 时， 与 的函数图象如图2所示．有以下四个结论：

① ；

②当 时， ；

③当 时， ；

④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中正确结论的序号是（      ）

A．①②③　　　　B．①②　　　　C．③④　　　　D．①②④

二、填空题

11．若分式 的值为0，则 的值是        ．

12．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为      ．

13．如图，已知 ， 是等腰直角三角形， ，顶点 分别在 上，当 时，       ．

14．某公司生产了 两款新能源电动汽车．如图， 分别表示 款， 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 与汽车行驶路程 的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电动汽车电池的剩余电量多       ．

15．如图，在矩形纸片 中， ， 为边 的中点，点 在边 上，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点为 ，连接 ．若 ，则       ．

三、解答题

16．计算： π ．

17．解不等式组： ①② ，并写出它的所有整数解．

18．如图，在菱形 中， ，垂足为 ，垂足为 ．

求证： ．

19．城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：

综合实践活动记录表
活动内容	测量轻轨高架站的相关距离
测量工具	测倾器，红外测距仪等
过程资料		相关数据及说明：图中点 ， 在同平面内，房顶 ，吊顶 和地面 所在的直线都平行，点 在与地面垂直的中轴线 上， ， ．
成果梳理	……

请根据记录表提供的信息完成下列问题：

(1)求点 到地面 的距离；

(2)求顶部线段 的长．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ）

20．如图， 为 的直径，点 在 上，连接 ，点 在 的延长线上， ．

(1)求证： 与 相切；

(2)若 ，求 的长．

21．2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：

A： ；B： ；C： ；D： ；E： ．

下面给出了部分信息：

a：C组的数据：

70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．

b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：

请根据以上信息完成下列问题：

(1)求随机抽取的八年级学生人数；

(2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为      度；

(3)请补全频数直方图；

(4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是      分；

(5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．

22．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．

(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？

(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？

23．已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，点 是线段 上（不与点A重合）的一点．

  

(1)求反比例函数的表达式；

(2)如左图，过点 作 轴的垂线 与 的图象交于点 ，当线段 时，求点 的坐标；

(3)如右图，将点A绕点 顺时针旋转 得到点 ，当点 恰好落在 的图象上时，求点 的坐标．

24．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ．

(1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；

(2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形 是面积为12的平行四边形，求 的值；

(3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作 交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值．

25．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．

（一）拓展探究

如图1，在 中， ，垂足为 ．

（1）兴趣小组的同学得出 ．理由如下：

①

②

请完成填空：①      ；②      ；

（2）如图 ， 为线段 上一点，连接 并延长至点 ，连接 ，当 时，请判断 的形状，并说明理由．

（二）学以致用

（3）如图 ， 是直角三角形， ，平面内一点 ，满足 ，连接 并延长至点 ，且 ，当线段 的长度取得最小值时，求线段 的长．

参考答案

一、单选题

1. D

解：9的相反数是 ，故此题答案为 ．

2. A

解：由图可知，主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同，故此题答案为A．

3. B

．

故此题答案为B．

4. C

解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形，故此题答案为C．

5. C

解：∵在 中， ，

∴ ，

∵ ≌ ，∴ ．故此题答案为C．

6. D

解：A、 与 不是同类项，不能合并，不符合题意；

B、 ，选项运算错误，不符合题意；

C、 ，选项运算错误，不符合题意；

D、 ，选项运算正确，符合题意，故此题答案为D．

7. B

解：∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，

∴ ，

解得： ，

故此题答案为B．

8. C

解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A，B，C，

画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，

小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为 ，

故此题答案为C．

9. D

连接 ，设 交 于点H，正方形边长为 ，

由作图知， ， 垂直平分 ，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

故此题答案为D．

10. D

解：由图知当动点 沿 匀速运动到点 时， ，

作 于点 ，

是等边三角形，点 在边 上， ， ， ，

， ， ，

，故①正确；

当 时， ， ，

， 是等边三角形，

， ，故②正确；

当 时，且 时， 最小，

， ， ，

最小为 ，即 能取到 ，故③错误；

动点 沿 匀速运动时，

， ， ， ， ，

当 时， ， ；

当 时， ， ，

；

， ；

同理，当 时， ，

，

，

， ；故④正确；

综上所述，正确的有①②④，

故此题答案为D．

二、填空题

11. 1

∵分式 的值为0，∴x−1＝0，2x≠0，

解得x＝1．

12.

解：根据题意，一共有4种等可能性，其中红色的等可能性只有1种，

故当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．

13.

解：∵ 是等腰直角三角形， ，

∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ．

14. 12

解： 款新能源电动汽车每千米的耗电量为 ，

款新能源电动汽车每千米的耗电量为 ，

∴ 图象的函数关系式为 ，

图象的函数关系式为 ，

当 时， ，

，

∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ．

15. /

解：如图：连接 ，延长 交 的延长线于H，

∵矩形 中 ， 为边 的中点，，

∴ ， ，

∵将 沿 翻折，点 的对应点为 ，

∴ ，， ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，即 ，

∴ 为直角三角形，

设 ，则 ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 为等腰三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

 

三、解答题

16. 6

解：原式 ．

17. ，整数解为0，1，2，3．

解：解不等式①，得 ，

解不等式②，得 ，

在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下，

原不等式组的解集是 ，

整数解为0，1，2，3.

18. 证明见详解．

证明： 四边形 是菱形，

，

， ≌ ，

， .

19. (1)点 到地面 的距离为 ；(2)顶部线段 的长为

（1）解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，

， .

在 中， ，

.

 

答：点 到地面 的距离为 .

（2）解：如图，过点 作 ，垂足为 ,

， ,

， ，

平行线间的距离处处相等， ，

∵ ， ，

在 中 ， ，

.

答：顶部线段 的长为 ．

20. (1)见详解；(2) ．

（1）解： 所对的弧是同弧， ，

， ，即 ，

为直径， ， ，

， ， ， 与 相切．

（2）解： 连接 .

所对的弧是同弧， ，

为直径， ，

在 中， ，

， ，

．

21. (1)60人；(2)90；(3)见详解；(4)77；(5)390人

（1）解： （人）；

（2） ；

（3）D组人数为 ，补全直方图如图.

（4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78，

∴中位数为 ；

（5） （人）．

22. (1)修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个 种光伏车棚需投资2万元(2)修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元

（1）解：设修建一个A种光伏车棚需投资 万元，修建一个 种光伏车棚需投资 万元，根据题意得 ，解得 ，

答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个 种光伏车棚需投资2万元．

（2）解：设修建A种光伏车棚 个，则修建 种光伏车棚 个，修建A种和 种光伏车棚共投资 万元，根据题意，得 ，解得 ，

，

， 随 的增大而增大，

当 时， 取得最小值，此时 （万元），

答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．

23. (1) ；(2) ；(3)点 ．

（1）解：将 代入， 得 ， ，

将 代入 ，得 ，解得 ， 反比例函数表达式为 .

（2）解：如图，设点 ，那么点 ，

  

由 ,可得 ，所以 ，

解得 （舍）， ,

（3）解：如图，过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点A作 于点 ，

  

，

点A绕点 顺时针旋转 ， ，

， ， ≌ ，

设点 ，

点 ， ，解得 ，

点 或 （舍），此时点 ．

24. (1) ， ；(2) ；(3)

（1）解： 抛物线 过点 得 ，

解得 ， 抛物线 的表达式为 ， 顶点 ；

（2）解：如图，连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，与 轴交于 ，设点 的横坐标为 ．

设直线 的表达式为 ，由题意知 ，解得 ，

直线 的表达式为 ， .

▱ 的面积为12，

_▱ ， ，

， ， ，解得 （舍）， ，

点 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 ，

，将 代入 ，

得 ，解得 ．

（3）解：如图，过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于点 ，设 且 ，

，

抛物线 的顶点 ，

，

，

， ，易得 ，

， ， ，

， .

当 时， ，

点 横坐标最小值为 ，此时点 到直线 距离最近， 的面积最小.

最近距离即边 上的高，高为 ，

面积的最小值为 ．

25. （1）① ；② ；（2） 是直角三角形，证明见解析；（3）

解：（1） ， ，

， ， ， ，

， ， ， ；

（2） 是直角三角形；理由如下：

，

， ，

由（1）得 ， ， ，

， ， ，

是直角三角形．

（3） ， ，

， ，

如图，以点 为圆心，2为半径作 ，则 都在 上，延长 到 ，使 ，交 于 ，连接 ，

则 ，

∵ 为 的直径，∴ ， ，∴ ，

， ， ，

点 在过点 且与 垂直的直线上运动，

过点 作 ，垂足为 ，连接 ，

∵垂线段最短，∴当点E在点 处时， 最小，

即 的最小值为 的长，

∵ ，∴四边形 是矩形，∴ ，

在 中根据勾股定理得 ，

即当线段 的长度取得最小值时，线段 的长为 ．