【327910】2024年甘肃省武威市白银市定西市陇南市中考数学试题

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200813-2024年甘肃省武威市、白银市、定西市、陇南市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列各数中，比 小的数是（      ）

A．

B．

C．4

D．1

2．如图所示，该几何体的主视图是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．若 ， 则 的补角为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

4．计算： （      ）．

A．2　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，则 的长为（      ）

（第10题图）

A. 6B. 5C. 4D. 3

6．如图，点 ，， 在 上， ，垂足为 ，若 ，则 的度数是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

7．如图（1），“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图（2）给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为 尺，长桌的长为 尺，则 与 的关系可以表示为（      ）

A. B. C. D.

8．近年来，我国重视农村电子商务的发展.下面的统计图反映了 年中国农村网络零售额情况.根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（      ）

A. 2023年中国农村网络零售额最高

B. 2016年中国农村网络零售额最低

C. 年，中国农村网络零售额持续增加

D. 从2020年开始，中国农村网络零售额突破20 000亿元

9．敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示 ， 区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为 ， 那么有序数对记为 对应的田地面积为（      ）

A．一亩八十步　　　　B．一亩二十步　　　　C．半亩七十八步　　　　D．半亩八十四步

10．如图（1），动点 从菱形 的点 出发，沿边 匀速运动，运动到点 时停止.设点 的运动路程为 ， 的长为 ， 与 的函数图象如图（2）所示，当点 运动到 中点时， 的长为（      ）

    

图（1）     图（2）

A. 2B. 3C. D.

二、填空题

11．因式分解：         ．

12．已知一次函数 ， 当自变量 时，函数 的值可以是        （写出一个合理的值即可）．

13．定义一种新运算*，规定运算法则为： （m，n均为整数，且 ）．例： ，则         ．

14．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点                  的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写 ， ， ， 中的一处即可， ， ， ， 位于棋盘的格点上）

（第20题图）

15．如图（1）为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看做是抛物线的一部分，如图（2）是棚顶的竖直高度 （单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 的图像，点 在图像上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看做长 ，高 的矩形，则可判定货车  完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

16．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形 和扇形 有相同的圆心 ，且圆心角 ， 若 ， ， 则阴影部分的面积是       ．（结果用 表示）

三、解答题

17．计算： ．

18．解不等式组： .

19．先化简，再求值： ， 其中 ， ．

20．马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知 和圆上一点 ．作法如下：

①以点 为圆心， 长为半径，作弧交 于 ， 两点；

②延长 交 于点 ；

即点 ，， 将 的圆周三等分．

(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将 的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)根据（1）画出的图形，连接 ， ， ，若 的半径为 ，则 的周长为       ．

21．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.

（1） 请用画“树状图”或列表的方法，求甲获胜的概率.

（2） 这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由.

22．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数，于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，如图，已知一风电塔筒 垂直于地面，测角仪 ， 在 两侧， ，点 与点 相距 （点 ，， 在同一条直线上），在 处测得简尖顶点 的仰角为 ，在 处测得筒尖顶点 的仰角为 ．求风电塔筒 的高度．（参考数据： ， ， ．）

23．在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：

信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：

信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是 ；

信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：

选手统计量	甲	乙	丙
平均数
中位数

根据以上信息，回答下列问题：

(1)写出表中 ， 的值：        ，        ；

(2)从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手       发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；

(3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．

24．如图，在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数 的图象，与反比例函数 的图象交于点 ， ．过点 ， 作 轴的平行线分别交 与 的图象于 ， 两点．

(1)求一次函数 和反比例函数 的表达式；

(2)连接 ， 求 的面积．

25．如图 ， 是 的直径 ，， 点 在 的延长线上，且 ．

(1)求证： 是 的切线；

(2)当 的半径为 ， 时，求 的值．

26．【模型建立】

（1）如图1，已知 和 ， ， ， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．

【模型应用】

（2）如图2，在正方形 中，点 ， 分别在对角线 和边 上， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．

【模型迁移】

（3）如图3，在正方形 中，点 在对角线 上，点 在边 的延长线上， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．

27．如图1，抛物线 交 轴于 ， 两点，顶点为 ．点 为 的中点．

(1)求抛物线 的表达式；

(2)过点 作 ，垂足为 ，交抛物线于点 ．求线段 的长．

(3)点 为线段 上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形 ．

①如图2，当点 落在抛物线上时，求点 的坐标；

②如图3，连接 ， ，求 的最小值．

参考答案

一、单选题

1. B

解；∵ ， ∴ ，

∴四个数中比 小的数是 ， 故此题答案为B．

2. C

解：从正面看得到是图形是

故此题答案为C．

3. D

,则 的补角为 ．故此题答案为D．

4. A

解： ．

故此题答案为A．

5. C

四边形 为矩形，对角线 ， 相交于点 ， ， 为等边三角形， ， ， ，故选C.

6. A

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ．

故此题答案为A．

7. B

由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是 ， ，故选B.

8. D

A选项，由统计图可知，2023年中国农村网络零售额为24 900亿元，是最高的，结论正确，不符合题意；B选项，由统计图可知，2016年中国农村网络零售额为8 945亿元，是最低的，结论正确，不符合题意；C选项，由统计图可知， 年，中国农村网络零售额持续增加，结论正确，不符合题意；D选项，由统计图可知，中国农村网络零售额从2021年开始突破20 000亿元，结论错误，符合题意.故选D.

9. D

根据 可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，故 对应的是半亩八十四步，故此题答案为D．

10. C

结合图象得，当 时， ;当点 运动到点B时， .根据菱形的性质，得 ，则 .当点 运动到 中点时，在 中, ，故选C.

【刷有所得】

解决几何与函数的综合问题时,可通过图象上特殊点的坐标，确定图形中的信息，再结合几何图形的性质解决问题.

二、填空题

11.

．

12. （答案不唯一）

根据 ， 选择 ， 此时 ．

13. 8

根据定义，得 ，

14. （或 ）

白方如果落子于点 或点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．故答案为 （或 ）．

15. 能

， ， .在 中，当 时， ， 货车能完全停到车棚内.故答案为能.

16.

∵圆心角 ， ， ，

∴阴影部分的面积是

三、解答题

17. 0

．

18.

解： ①②，

解不等式①得 ，

解不等式②得 ，

∴不等式组的解集为 ．

19. ，

解：

，

当 ， 时，原式 ．

20. (1)见解析；(2)

（1）根据基本作图的步骤，作图如下：

则点 ，， 是求作的 的圆周三等分点．

（2）连接 ，设 的交点为 ，根据两圆的圆心线垂直平分公共弦，得到 ，

∵ 的半径为 ， 是直径， 是等边三角形，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 的周长为 ．

21. （1） 【解】画“树状图”如下：

共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种， 甲获胜的概率为 . （2） 不公平.理由：由树状图可知，乙获胜的结果有4种， 乙获胜的概率为 . ， 游戏不公平.

22.

解：如图所示，过点 作 于 ，连接 ，则四边形 是矩形，

∴ ， ，

∵ ，∴ ，

由题意可得 ， ，∴ ，∴四边形 是矩形，

∴ ， ，∴ ，∴ ，， 三点共线，

∴ ；

设 ，在 中， ，∴ ∴ ；

在 中， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得 ，∴ ，

∴ ，

∴风电塔筒 的高度约为 ．

23. (1) ； ； (2)甲； (3)应该推荐甲选手，理由见解析

（1）解：由题意得， ；

把丙的五次成绩按照从低到高排列为 ，，，， ，

∴丙成绩的中位数为 分，即 ；

（2）解：由统计图可知，甲的成绩的波动比乙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好；

（3）解：应该推荐甲选手，理由如下：

甲的平均数和乙一样，但中位数比乙的大，且甲的成绩稳定性比乙好，∴应该推荐甲选手．

24. (1)一次函数 的解析式为 ；反比例函数 的解析式为 ；(2)

（1）解：∵将函数 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数 的图象，∴ ， 把 ， 代入 中得 ，， 解得 ，

∴一次函数 的解析式为 ；把 ， 代入 中得 ， 解得 ， ∴反比例函数 的解析式为 ；

（2）解：∵ 轴 ，，， ∴点 和点 的纵坐标都为2，

在 中，当 时 ，， 即 ， ；

在 中，当 时 ，， 即 ， ；∴ ，

∵ ，，

∴ ．

25. (1)见解析；(2)

（1）证明：连接 ， ， 如图所示：

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴点 ， 在 的垂直平分线上，

∴ 垂直平分 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 是 的直径，

∴ 是 的切线；

（2）解：∵ 的半径为2，

∴ ，

∵ 是 的直径，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

26. （） ，理由见详解； （） ，理由见详解； （） ，理由见详解

（） ，理由如下：

∵ ， ， ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ≌ ，∴ ， ，

∴ ，∴ ；

（） ，理由如下：

过 点作 于点 ，过 点作 于点 ，如图，

∵四边形 是正方形， 是正方形的对角线，

∴ ， 平分 ， ，∴ ，

即 ，

∵ ， ，∴ ，

∵ ，∴ ≌（） ，∴ ，

∵ ， ， ， ，∴四边形 是正方形，

∴ 是正方形 对角线， ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，即 ，

∵ ， ∴ ，即有 ；

（） ，理由见详解，

过 点作 于点 ，过 点作 ，交 的延长线于点 ，如图，

∵ ， ， ，∴ ，

∴ ，∴ ，

又∵ ，∴ ≌ ，∴ ，

∵在正方形 中， ，∴ ，∴ ，

∴ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ，

∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ．

27. (1) ；(2) ；(3)① ②

（1）∵抛物线的顶点坐标为 ．

设抛物线 ，把 代入解析式，

得 ，解得 ，

∴ ．

（2）∵顶点为 ．点 为 的中点，

∴ ，

∵ ，

∴ 轴，

∴ 的横坐标为1，

设 ，当 时， ，

∴ ，

∴ ．

（3）①根据题意，得 ，

∵四边形 是平行四边形，

∴点 ，点 的纵坐标相同，

设 ，

∵点 落在抛物线上，

∴ ，

解得 ， (舍去)；

故 ．

②过点 作 轴于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，过点 作 轴于点 ，连接 ， ， ，则四边形 是矩形，

∴ ，

∵四边形 是平行四边形，

∴ ，

∴ ，

∴四边形 是平行四边形，

∴ ，

∵ ，故当 ，， 三点共线时， 取得最小值，

∵ ，

∴ 的最小值，就是 的最小值，且最小值就是 ，

延长 交 轴于点 ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故 的最小值是 ．