【327872】2023年山东省烟台市中考数学真题

绝密·启用前

2023年山东省烟台市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1. 的倒数是（     ）
A．
B．
C．
D．

2.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列四种图案中，是中心对称图形的是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

4.下列计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.不等式组 的解集在同一条数轴上表示正确的是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

6.如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

7.长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（       ）
   
A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差

8.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为 ，停在空白部分的概率为 ，则 与 的大小关系为（       ）
   
A．
B．
C．
D．无法判断

9.如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：① ；② ；③若图象经过点 ，则 ；④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论的个数是（       ）
   
A．1
B．2
C．3
D．4

10.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形 ，正方形 ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 的顶点坐标分别为 ， ，则顶点 的坐标为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

11.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________．

12.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知 ，则 的度数为_____．
       

13.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接 ，则 的度数为_______．
   

14.如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
   
① 按键的结果为4；
② 按键的结果为8；
③ 按键的结果为 ；
④ 按键的结果为25．
以上说法正确的序号是___________．

15.如图，在直角坐标系中， 与 轴相切于点 为 的直径，点 在函数 的图象上， 为 轴上一点， 的面积为6，则 的值为________．
   

16.如图1，在 中，动点 从点 出发沿折线 匀速运动至点 后停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图2是 与 的函数关系的大致图象，其中点 为曲线 的最低点，则 的高 的长为_______．   
   

17.先化简，再求值： ，其中 是使不等式 成立的正整数．

18.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知 ， ， ， ， 五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
   
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中， 所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有 中学生参加本次活动，则选择 大学的大约有_________人；
(3)甲、乙两位同学计划从 ， ， 三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．

19.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为 的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡 长16米，在地面点 处测得风力发电机塔杆顶端 点的仰角为 ，利用无人机在点 的正上方53米的点 处测得 点的俯角为 ，求该风力发电机塔杆 的高度．（参考数据： ， ， ）
   

20.(问题背景)
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形 进行如下操作：①分别以点 为圆心，以大于 的长度为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线 交 于点 ，连接 ；②将 沿 翻折，点 的对应点落在点 处，作射线 交 于点 ．
   
(问题提出)
在矩形 中， ，求线段 的长．
(问题解决)
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接 ，如图2．经过推理、计算可求出线段 的长；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，如图3．经过推理、计算可求出线段 的长．
请你任选其中一种方案求线段 的长．

21.中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 ，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？

22.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 经过 两点，交对角线 于点 ，连接 交 于点 ，且 ．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)已知 的半径与菱形的边长之比为 ，求 的值．

23.如图，点 为线段 上一点，分别以 为等腰三角形的底边，在 的同侧作等腰 和等腰 ，且 ．在线段 上取一点 ，使 ，连接 ．
   
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，若 的延长线恰好经过 的中点 ，求 的长．

24.如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
   
(1)求直线 及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值．

参考答案

1.D

【解析】
根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：D．

2.C

【解析】
根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
解：A、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 ，与 是同类二次根式，符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．

3.B

【解析】
根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B，
故选：B．

4.C

【解析】
根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．

5.A

【解析】
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
   
故选：A．

6.A

【解析】
根据俯视图的定义，即可进行解答．
解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱 的投影为点E，棱 的投影为线段 ，棱 的投影为线段 ，棱 的投影为正方形 的对角线，
   
∴该几何体的俯视图为：
   ，
故选：A

7.D

【解析】
根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可．
甲班视力值分别为： ；
从小到大排列为： ；中位数为 ，
平均数为 ；极差为
方差为 ；
乙班视力值分别为： ；
从小到大排列为： ，中位数为
平均数为 ；极差为
方差为 ；
甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正确
故选：D．

8.B

【解析】
根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．
解：如图所示，连接 交于O，
由题意得， 分别是正方形四条边的中点，
∴点O为正方形的中心，
∴ ，
   
根据题意，可得扇形 的面积等于扇形 的面积，
∴ ，
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半
∴ ，
故选：B．

9.C

【解析】
根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出 ，再根据图象得出当 时， ，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程 移项可得 ，根据该方程无实数根，得出抛物线 与直线 没有交点，即可判断④．
解：①∵该抛物线开口向下，
∴ ，
∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴ ，
∵该抛物线于y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，
故①正确，符合题意；
②∵ ，
∴该抛物线的对称轴为直线 ，则 ，
当 时， ，
把 得：当 时， ，
由图可知：当 时， ，
∴ ，
故②不正确，不符合题意；
③∵该抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 到对称轴的距离为 ， 到对称轴的距离为 ，
∵该抛物线开口向下，
∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ，
∴ ，
故③正确，符合题意；
④将方程 移项可得 ，
∵ 无实数根，
∴抛物线 与直线 没有交点，
∵ ，
∴ ．故④正确
综上：正确的有：①③④，共三个．
故选：C．

10.A

【解析】
根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律 ．
解：∵ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
故选：A．

11.

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：3600亿 ，用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．

12. ## 度

【解析】
根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
解：如图所示，依题意， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ．
   
故答案为： ．

13.

【解析】
方法一∶如图：连接 ，由题意可得： ， ，然后再根据等腰三角形的性质求得 、 ，最后根据角的和差即可解答．
方法二∶ 连接 ，由题意可得： ，然后根据圆周角定理即可求解．
方法一∶ 解：如图：连接 ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为 ．
   
方法二∶解∶ 连接 ，
由题意可得： ，
根据圆周角定理，知 ．
故答案为 ．
       

14.①③

【解析】
根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．
解：① 按键的结果为 ；故①正确，符合题意；
② 按键的结果为 ；故②不正确，不符合题意；
③ 按键的结果为 ；故③正确，符合题意；
④ 按键的结果为 ；故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③．
故答案为：①③．

15.24

【解析】
设 ，则 ，则 ，根据三角形的面积公式得出 ，列出方程求解即可．
解：设 ，
∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴，
∴ ，则点D到 的距离为a，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．

16. ##

【解析】
过点 作 于点 ，当点 与 重合时，在图2中 点表示当 时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，勾股定理求得 ，然后等面积法即可求解．
如图过点 作 于点 ，当点 与 重合时，在图2中 点表示当 时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，
   
∴ ，
在 中，
∴
∵ ，
∴ ,
故答案为： ．

17. ；

【解析】
先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
解：



，
解不等式 得： ，
∵a为正整数，
∴ ， ， ，
∵要使分式有意义 ，
∴ ，
∵当 时， ，
∴ ，
∴把 代入得：原式 ．

18.(1)见解析
(2) ； ．
(3)

【解析】
（1）根据 的人数除以占比得到总人数，进而求得 的人数，补全统计图即可求解；
（2）根据 的占比乘以 得到圆心角的度数，根据 乘以选择 的人数的占比即可求解；
（3）根据列表法求概率即可求解．
（1）解：总人数为 （人）
∴选择 大学的人数为 ，补全统计图如图所示，
       
（2）在扇形统计图中， 所在的扇形的圆心角的度数为 ，
选择A大学的大约有 （人）
故答案为： ； ．
（3）列表如下，

共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为 ．

19.该风力发电机塔杆 的高度为32米

【解析】
过点P作 于点F，延长 交 延长线于点E，先根据含 角直角三角形的性质得出 ，设 米，则 米，进而得出 米，证明四边形 为矩形，则 米， 米，根据线段之间的和差关系得出 米，最后根据 ，列出方程求解即可．
解：过点P作 于点F，延长 交 延长线于点E，
根据题意可得： 、 垂直于水平面， ， ， ，
∴ ，
∵ 米，                      
∴ （米），
设 米，则 米，
∵ ， ，
∴ 米，
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ 米， 米，
∵ 米，
∴ 米，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
答：该风力发电机塔杆 的高度为32米．
   

20.线段 的长为 ．

【解析】
方案一：连接 ，由翻折的不变性，知 ， ，证明 ，推出 ，设 ，在 中，利用勾股定理列式计算求解即可；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，证明 ，推出 ，设 ，同方案一即可求解．
解：方案一：连接 ，如图2．
   
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由作图知 ，
由翻折的不变性，知 ， ， ，
∴ ， ，又 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长为 ；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，如图3．
   
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由作图知 ，
由旋转的不变性，知 ， ， ，
则 ，
∴ 共线，
由翻折的不变性，知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长为 ．

21.(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．

【解析】
（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可．
（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 元，
依题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为 本，
依题意得， ，
解得 ，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得， ，
∵ ，
∴y随m的增大而增大，
∴当 时，有最小值，此时 （元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．

22.(1)见解析
(2) ．

【解析】
（1）利用垂径定理得 ，利用菱形的性质得 ，利用半径相等得 ，即可证明 ，据此即可证明结论成立；
（2）设 ，由题意得 ，求得 ，由勾股定理得到 ，求得 ，利用菱形的性质求得 ，据此求解即可．
（1）证明：连接 ，
   
∵ ，由垂径定理知 ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵四边形 是菱形， ，
∴设 ，
∵ 的半径与菱形的边长之比为 ，
∴在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．

23.(1)见解析
(2) ．

【解析】
（1）证明 ，推出 ，利用 证明 即可证明结论成立；
（2）取 的中点H，连接 ，证明 是 的中位线，设 ，则 ，证明 ，得到 ，即 ，解方程即可求解．
（1）证明：∵等腰 和等腰 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：取 的中点H，连接 ，
   
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得 ，
解得 （负值已舍），
经检验 是所列方程的解，且符合题意，
∴ ．

24.(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为 或 或
(3)

【解析】
（1）根据对称轴 ， ，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M的坐标；②当 时，求出直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M的坐标；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到 ，推出 ，进而得到当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可．
（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ，
∴ ，
将 代入直线 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
将 代入 ，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）存在点 ，
∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ．
∴当 时， ，
∴ ，
①当 时，
设直线 的解析式为 ，将点A坐标代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
得 或 ，
∴点M的坐标为 ；
②当 时，
设直线 的解析式为 ，将 代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
解得 或 ，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为 或 或 ；
（3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，、
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．