【327863】2023年山东省济南市中考数学真题

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202022-2023年山东省济南市中考数学真题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列几何体中，主视图是三角形的为（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

2．2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

3．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果 ，那么 的度数是（      ）

  

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

4．实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（      ）

  

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

5．下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ）

  

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

6．下列运算正确的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

7．已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系为（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

8．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

9．如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以 为半径作弧交 于点 ，再分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 ．以下结论不正确的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

10．定义：在平面直角坐标系中，对于点 ，当点 满足 时，称点 是点 的“倍增点”，已知点 ，有下列结论：

①点 ， 都是点 的“倍增点”；

②若直线 上的点A是点 的“倍增点”，则点A的坐标为 ；

③抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点”；

④若点 是点 的“倍增点”，则 的最小值是 ．

其中，正确结论的个数是（      ）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

二、填空题

11．因式分解： =          ．

12．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，则盒子中棋子的总个数是         ．

13．关于 的一元二次方程 有实数根，则 的值可以是         （写出一个即可）．

14．如图，正五边形 的边长为 ，以A为圆心，以 为半径作弧 ，则阴影部分的面积为         （结果保留 π ）．

  

15．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示， 和 分别表示两人到小亮家的距离 和时间 的关系，则出发        h后两人相遇．

  

16．如图，将菱形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在射线 上的点 处，折痕 交 于点 ．若 ， ，则 的长等于          ．

  

 

三、解答题

17．计算： π ．

18．解不等式组： ①② ，并写出它的所有整数解．

19．已知：如图，点 为 ▱ 对角线 的中点，过点 的直线与 ， 分别相交于点 ， ．

求证： ．

  

20．如图，是某越野车的侧面示意图，折线段 表示车后盖，已知 ， ， ，该车的高度 ．如图2，打开后备箱，车后盖 落在 处， 与水平面的夹角 ．

  

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点 到地面 的距离；

(2)若小琳爸爸的身高为 ，他从打开的车后盖 处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．

（结果精确到． ，参考数据： ， ， ， ）

21．2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用 表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：

A组： ；B组： ；C组： ；D组： ；E组： ．

下面给出了部分信息：

a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．

b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：

  

请根据以上信息完成下列问题：

(1)统计图中E组对应扇形的圆心角为            度；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是           百万；

(4)各组“五一”假期的平均出游人数如下表：

组别	A	B	C	D	E
平均出游人数（百万）	5.5	16	32.5	42	50

求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．

22．如图， ， 为 的直径， 为 上一点，过点 的切线与 的延长线交于点 ， ，点 是 的中点，弦 ， 相交于点 ．

(1)求 的度数；

(2)若 ，求 直径的长．

23．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．

(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?

(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?

24．综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若 ，能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：

设 为 ， 为 ．由矩形地块面积为 ，得到 ，满足条件的 可看成是反比例函数 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ，得到 ，满足条件的 可看成一次函数 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 就可以看成两个函数图象交点的坐标．

如图2，反比例函数 的图象与直线 ： 的交点坐标为 和         ，因此，木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或           m，          m.

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空;

【类比探究】

（2）若 ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由;

【问题延伸】

当木栏总长为 时，小颖建立了一次函数 ．发现直线 可以看成是直线 通过平移得到的，在平移过程中，当过点 时，直线 与反比例函数 的图象有唯一交点．

（3）请在图2中画出直线 过点 时的图象，并求出 的值;

【拓展应用】

小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ 与 图象在第一象限内交点的存在问题”．

（4）若要围出满足条件的矩形地块，且 和 的长均不小于 ，请直接写出 的取值范围．

25．在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A， 在 轴上， ， ．抛物线 与 轴交于点 和点 ．

  (1)如图1，若抛物线过点 ，求抛物线的表达式和点 的坐标；

(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ，作直线 ，平移线段 ，使点 的对应点 落在直线 上，点 的对应点 落在抛物线上，求点 的坐标；

(3)若抛物线 与正方形 恰有两个交点，求 的取值范围．

26．在矩形 中， ， ，点 在边 上，将射线 绕点A逆时针旋转90°，交 延长线于点 ，以线段 ， 为邻边作矩形 ．

  

(1)如图1，连接 ，求 的度数和 的值；

(2)如图2，当点 在射线 上时，求线段 的长；

(3)如图3，当 时，在平面内有一动点 ，满足 ，连接 ， ，求 的最小值．

参考答案

一、单选题

1. A

解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；

B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；

C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；

D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意.

故选：A.

2. B

解： .

故选：B.

3. A

解：如下图进行标注，

  

，

，

.

故选： ．

4. D

解：由题意可得 ，所以 ，

∴ ，

观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的.

故选：D.

5. A

A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：A．

6. D

解：A、 ，故本选项运算错误，不符合题意；

B、 与 不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；

C、 ，故本选项运算错误，不符合题意；

D、 ，故本选项运算正确，符合题意.

故选：D.

7. C

解： 在反比例函数 中， ，

此函数图象在二、四象限，

，

点 ， 在第二象限，

， ，

函数图象在第二象限内为增函数， ，

,

， 点在第四象限，

，

， ， 的大小关系为 ．

故选：C．

8. B

解：根据题意，画树状图如下：

  

一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，

.

故选：B．

9. C

解：由题意得， ， 平分 ，

∵在 中， ， ，

∴ ，

∵ 平分 ，

∴ ，故A正确；

∵ 平分 ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故B正确；

∵ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

∴ ，故C错误；

过点E作 于G， 于H，

  

∵ 平分 ， ， ，

∴ ，

∴ ，故D正确.

故选：C．

10. C

解：①∵ ， ，

∴ ，

∴ ，则 是点 的“倍增点”；

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，则 是点 的“倍增点”.

故①正确，符合题意；

②设点 ，

∵点A是点 的“倍增点”，

∴ ，

解得 ，

∴ .

故②不正确，不符合题意；

③设抛物线上点 是点 的“倍增点”，

∴ ，整理得 ，

∵ ，

∴方程有两个不相等实根，即抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点”.

故③正确，符合题意；

④设点 ，

∵点 是点 的“倍增点”，

∴ ，

∵ ， ，

∴

，

∵ ，

∴ 的最小值为 ，

∴ 的最小值是 .

故④正确，符合题意.

综上:正确的有①③④，共3个．

故选：C．

二、填空题

11. （）（）

x²−16=(x+4)(x−4)，

故答案为 .

12.

解： ，

∴盒子中棋子的总个数是 ．

故答案为 ．

13. （答案不唯一）

解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，

∴ ，

即 ，

解得 ，

∴ 的值可以是 ．

故答案为 （答案不唯一）．

14.

解：正五边形的内角和 ，

，

，

故答案为 ．

15. 0.35

解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了 ，

∴小明的速度为 ，

小亮0.4小时行驶了 ，

∴小亮的速度为 ，

设两人出发 后两人相遇，

∴ ,

解得 ，

∴两人出发0.35后两人相遇.

故答案为0.35.

16.

解：过点A作 于点Q，

∵四边形 为菱形， ，

∴ ， ，

∴ ，

∵ 由 沿 折叠所得，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，则 ，

∴ ，

∴

三、解答题

17.

解： π

．

18. ，整数解为0，1，2.

解：解不等式①，得 ，

解不等式②，得 ，

在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

  

原不等式组的解集是 ，

∴整数解为0，1，2．

19. 详见解析

证明：∵四边形 是平行四边形，

∴ ， ，

∴ ， ，

∵点 为对角线 的中点，

∴ ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

20. (1)车后盖最高点 到地面的距离为 ;(2)没有危险,详见解析.

（1）如图，作 ，垂足为点 ，

  

在 中，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵平行线间的距离处处相等，

∴ ，

答：车后盖最高点 到地面的距离为 ．

（2）没有危险，理由如下：

过 作 ，垂足为点 ，

  

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ,

∵平行线间的距离处处相等，

∴ 到地面的距离为 ,

∵ ，

∴没有危险．

21. (1)36(2)详见解析(3)15.5(4)20百万

（1） ，

故答案为36；

（2）D组个数： 个，

C组个数： 个，

补全频数分布直方图如下：

 

（3）共30个数，中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B组，

∴中位数为 百万，

故答案为15.5；

（4） （百万），

答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．

22. (1) (2)

（1）解：∵ 与 相切于点 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：如图，连接 ，

 

∵ 是 直径，

∴ ，

∵点 是 的中点，

∴ ，

∴ ，

在 中，

∵ ， ，

∴ ，

在 中，

∵ ，

∴ ，

∴ 的直径的长为 ．

23. (1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元

（1）解：设A型编程机器人模型单价是 元，B型编程机器人模型单价是 元,

根据题意，得 ，

解这个方程，得 ，

经检验， 是原方程的根,

，

答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元;

（2）设购买A型编程机器人模型 台，购买B型编程机器人模型 台，购买A型和B型编程机器人模型共花费 元，

由题意得： ，解得 ,

∴

即 ，

∵ ，

∴ 随 的增大而增大,

∴当 时， 取得最小值11200，此时 ,

答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．

24. （1） ；4；2（2）不能围出，理由见解析（3）图见解析， （4）

解：（1）∵反比例函数 ，直线 ： ，

∴联立得 ，

解得 ， ，

∴反比例函数与直线 ： 的交点坐标为 和 ，

当木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为 ， ；或 ， ,

故答案为 ；4；2;

（2）不能围出．

∵木栏总长为 ，

∴ ，则 ，

画出直线 的图象，如图中 所示：

∵ 与函数 图象没有交点，

∴不能围出面积为 的矩形；

（3）如图中直线 所示， 即为 图象，

将点 代入 ，得： ，

解得 ；

 

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块，   与 图象在第一象限内交点的存在问题，

即方程 有实数根，

整理得 ，

∴ ，

解得 ，

把 代入 得 ，

∴反比例函数图象经过点 ，

把 代入 得 ，解得 ，

∴反比例函数图象经过点 ，

令 ， ，过点 ， 分别作直线 的平行线，

由图可知，当 与 图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；

 

把 代入 得 ，

解得 ，

∴ ．

25. (1) ， (2) (3) 或

（1）解： 抛物线 过点 ，

  ，解得 ，

抛物线表达式为 ，

当 时， ，

解得 （舍去）， ，

；

（2）解：设直线 的表达式为 ，

直线过点 ， ，

  ，解得 ，

直线 的表达式为 ，

点 在抛物线 上，

设点 ，

， ，且 由 平移得到，

点 向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点 ，

 

点 在直线 上，

将 代入 ，

，

整理得 ，

解得 ， （舍去），

当 时， ，

  点坐标为 ；

（3）解： 四边形 是正方形， ，

， ，

，

点A和点D的横坐标为 ，点B和点C的横坐标为2，

将 代入 ，得： ，

，

顶点坐标为 ，

①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，

 

  ，解得 ；

②如图，当抛物线与直线 交点在点 上方，且与直线 交点在点 下方时，与正方形有两个交点，

 

，解得 ，

综上所述， 的取值范围为 或 ．

26. (1) ， (2) (3)

（1）解：∵矩形 中， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

由矩形 和矩形 可得， ，

∴ ，即 ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：如答案图1，过点 作 于点 ，

由矩形 和矩形 可得， ，

，

∴ ， ，

∴ ≌ ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

解得 ，

∴ ；

（3）解：如答案图2，连接 ，

∵矩形 中， ， ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 是等边三角形， ，

∴ ，

将 绕点 顺时针旋转120°， 与 重合，得到 ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴当点 ， ， 三点共线时， 的值最小，此时为 ．