2023年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，共48分）
1．（4分）
的绝对值是（ ）
A．
B．
C．﹣4
D．4
【答案】B
【考点】绝对值．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：
的绝对值是|
|
．故选：B．
【难度】1
2．（4分）下列选项中，直线l是四边形的对称轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【考点】轴对称的性质．
【分析】利用对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线可对各选项进行判断．
【解答】解：直线L是四边形的对称轴的是
．故选：C．
【难度】1
3．（4分）一组数据5，6，8，8，8，1，4，若去掉一个数据，则下列统计量一定不发生变化的是（ ）
A．平均数
B．众数
C．中位数
D．方差
【答案】B
【考点】统计量的选择；算术平均数；中位数；众数；方差．
【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义判断即可．
【解答】解：∵数据5，6，8，8，8，1，4中，8出现了3次，∴这组数据的众数为8，去了一个8后，这组数据中，8出现了2次，众数仍然是8，∴众数没有变化，平均数，中位数，方差都发生了变化，故选：B．
【难度】1
4．（4分）如图所示几何体的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的两边与矩形内部的圆相切．故选：C．
【难度】1
5．（4分）计算
的结果是（ ）
A．3m+n4
B．m3+4n
C．3m+4n
D．3m+4n
【答案】D
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断．
【解答】解：∵m个3相加可记为3m，n个4相乘可记为4n，∴计算
的结果是3m+4n，故选：D．
【难度】1
6．（4分）压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：F＝pS，当压力F一定时，另外两个变量的函数图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【考点】反比例函数的应用．
【分析】根据题意，可以得到S与p符合反比例函数关系，且第一象限内，S随p的增大而减小，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵F＝pS，∴当压力F一定时，S
，此时S与p符合反比例函数关系，且第一象限内，S随p的增大而减小，故选：D．
【难度】1
7．（4分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE，点D在BC上，∠EDC＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】A
【考点】旋转的性质．
【分析】设AC交DE于点F，由∠AFD＝∠E+∠EAC＝∠C+∠EDC，且∠E＝∠C，得∠EAC＝∠EDC＝40°，则∠DAB＝∠EAC＝40°，由AD＝AB，得∠ADB＝∠B，而∠ADB+∠B+∠DAB＝180°，则∠B+∠B+40°＝180°，求得∠B＝70°，于是得到问题的答案．
【解答】解：设AC交DE于点F，∵∠AFD＝∠E+∠EAC，∠AFD＝∠C+∠EDC，∴∠E+∠EAC＝∠C+∠EDC，由旋转得∠E＝∠C，∠DAB＝∠EAC，AD＝AB，∴∠EAC＝∠EDC＝40°，∠ADB＝∠B，∴∠DAB＝∠EAC＝40°，∵∠ADB+∠B+∠DAB＝180°，∴∠B+∠B+40°＝180°，∴∠B＝70°，故选：A．
【难度】1
8．（4分）已知直线y＝3x+a与直线y＝﹣2x+b交于点P，若点P的横坐标为﹣5，则关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为（ ）
A．x＜﹣5
B．x＜3
C．x＞﹣2
D．x＞﹣5
【答案】A
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣5时，直线y＝3x+a都在直线y＝﹣2x+b的下方，所以不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为x＜﹣5．
【解答】解：当x＜﹣5时，直线y＝3x+a都在直线y＝﹣2x+b的下方，所以关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为x＜﹣5．故选：A．
【难度】1
9．（4分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（ ）
A．5
B．6
C．
D．8
【答案】B
【考点】作图—基本作图；菱形的判定与性质．
【分析】连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，即四边形OCED为菱形，则可得OF＝EF
OE＝4，CF
3，则CD＝2CF＝6．
【解答】解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，
由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，∴四边形OCED为菱形，∴CD⊥OE，OF＝EF
OE＝4，CF＝DF，由勾股定理得，CF
3，∴CD＝2CF＝6，即C，D两点之间的距离为6．故选：B．
【难度】1
10．（4分）某次列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为
B．若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为
C．若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，则可列方程为
D．若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，则可列方程为
【答案】B
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】由提速前后平均速度间的关系，可得出提速前这次列车的平均速度为（x﹣v）千米/小时或提速后这次列车的平均速度为（y+v）千米/小时，利用时间＝路程÷速度，即可列出关于x或y的分式方程，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：①∵该次列车平均提速v千米/小时，且提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，∴提速前这次列车的平均速度为（x﹣v）千米/小时．根据题意得：
；②∵该次列车平均提速v千米/小时，且提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，∴提速后这次列车的平均速度为（y+v）千米/小时．根据题意得：
．故选：B．
【难度】1
11．（4分）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝AD，AC与BD交于点E，AE＝3，EC＝5，BD＝4
，⊙O的半径为（ ）
A．6
B．
C．5
D．2
【答案】A
【考点】相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】连接DC，易得△ADE∽△ACD，即可求出AD，连接OA，由垂径定理可得AO⊥BD，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：连接DC，AO，OD，如图：
∵AB＝AD，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△ACD，∴
，即
，解得AD＝2
，∵AB＝AD，即A是
的中点，∴AO⊥BD，BH＝DH＝2
，在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，∴AH
2，∴OH＝OD﹣2，在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，∴OD2＝（OD﹣2）2+（2
）2，解得OD＝6．故选：A．
【难度】1
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数
的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y
B．
C．
D．
【答案】D
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；反比例函数的图象．
【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．
【解答】解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则
，解得
，所以
．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由
得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，
，解得
．所以
，则
将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：
．故选：D．
【难度】1
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．（4分）若
在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值
．
【答案】3（答案不唯一）
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：要使若
在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，则写出一个满足条件的x的值为3．故答案为：3（答案不唯一）．
【难度】1
14．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：（a+1）（b﹣1） 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【考点】实数大小比较；实数与数轴．
【分析】由数轴可得﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，从而求得答案．
【解答】解：由数轴可得﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，那么（a+1）（b﹣1）＞0，故答案为：＞．
【难度】1
15．（4分）一个盒子里放有草莓味、柠檬味的两种糖各1块，另一个盒子里放有草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖各1块，糖的外形相同．小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，则两块糖是不同味的概率是 ．
【答案】
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两块糖是不同味的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：记草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖分别为A，B，C，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两块糖是不同味的结果有：AB，AC，BA，BC，共4种，∴两块糖是不同味的概率为
．故答案为：
．
【难度】1
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点G在BC上，且BG＝3，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，则EG的长为 ．
【答案】
．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】先判断出∠AED＝∠BFA＝90°，再判断出∠BAF＝∠ADE，进而利用“角角边”证明△AFB和△DEA全等，根据勾股定理求出AG，再求出BF＝AE，进而可以求出EG；或者利用面积法可得BF的长，由勾股定理可得结论．
【解答】解：∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠AED＝∠BFA＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD且∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠BAF+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△AFB和△DEA中，
，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴AE＝BF，在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝3，根据勾股定理得，AG＝5，∵S△ABG
AB•BG
AG•BF，∴3×4＝5BF，∴BF
，∴AE＝BF
，∴EG＝AG﹣AE＝2.6．或者：由勾股定理得：AF
，∴EF＝AF﹣AE
，∵BG＝3，BF
，根据勾股定理得，FG
，∴EG＝EF+FG
．故答案为：
．
【难度】1
17．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为 ．
【答案】1．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系，可得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2，代入（x1+1）（x2+1）＝8，解出m的值，再根据Δ≥0，求出m的取值范围，即可确定m的值．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两实根，∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2，∵（x1+1）（x2+1）＝8，∴x1x2+x1+x2+1＝8，∴m2+2+2（m+1）+1＝8，解得m＝1或m＝﹣3，∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，解得m
，∴m＝1，故答案为：1．
【难度】1
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为 ．
【答案】
．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；平行线的性质．
【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC
，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1
，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，
∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'
5，∵AG'∥BC'，∴
，即
，解得C'G'
，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为
．故答案为：
．
【难度】1
三、解答题（本人题共7小题，共78分）
19．（8分）（1）化简：
；
（2）解不等式组：
．
【答案】（1）
；（2）
．
【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式组．
【分析】（1）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分；
（2）解出每个不等式，再求公共解集即可．
【解答】解：（1）原式
•
•
；（2）解不等式3x+10＞5x﹣2（5﹣x），得x＜5，解不等式
，得
，∴不等式组的解集为
．
【难度】3
20．（10分）某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
××学校学生参与家务劳动情况调查报告 |
||||
调查主题 |
××学校学生参与家务劳动情况 |
|||
调查方式 |
抽样调查 |
调查对象 |
××学校学生 |
|
数据的收集、整理与描述 |
第一项 |
你日常家务劳动的参与程度是（单选） A．天天参与； B．经常参与； C．偶尔参与； D．几乎不参与． |
|
|
第二项 |
你日常参与的家务劳动项目是（可多选） E．扫地抹桌； F．厨房帮厨； G．整理房间； H．洗晒衣服． |
|
||
第三项 |
… |
… |
||
调查结论 |
… |
|||
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的学生有 人；
（2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数；
（3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数；
（4）如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议．
【答案】（1）200；（2）64.8°；（3）1494；（4）同学们可在家多帮助父母扫地抹桌和洗晒衣服．（合理即可）
【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）把第一项的条形统计图中各组数据相加得到调查的总人数；
（2）用360°乘以A组人数所占的百分比即可；
（3）用1800乘以“整理房间”的人数所占的百分比即可；
（4）在家帮助父母干点家务事都可以．
【解答】解：（1）根据题意得36+90+62+12＝200，所以参与本次抽样调查的学生有200人；故答案为200；（2）360°
64.8°，所以“天天参与”对应扇形的圆心角的度数为
64.8°；（3）1800×83%＝1494（人），所以估计参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494；（4）同学们可在家多帮助父母扫地抹桌和洗晒衣服（合理即可）．
【难度】3
21．（10分）如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，∠AEB＝53°，∠CED＝45°，已知BE＝60米，ED＝20米．求两栋楼楼顶A，C之间的距离（参考数据：sin53°
，cos53°
，tan53°
，测角仪的高度忽略不计）．
【答案】100米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】过点C作CF⊥AB，交AB于点F，根据正切的定义求出AB，然后利用勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB，交AB于点F．在Rt△CED中，∠CED＝45°，∴△CED是等腰直角三角形，∴CD＝DE＝20米，在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，∴
，∴
，∴AB＝80米．由题意，得
BF＝CD＝DE＝20米，CF＝BD＝BE+ED＝80米，∴AF＝AB﹣BF＝80﹣20＝60（米），在
Rt△ACF中，
（米）．∴A，C之间的距离为100米．
【难度】3
22．（12分）如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠CAD＝60°，∠ACD＝35°，∠ACB＝90°，△ABC的外接圆交CD于点E，AC所对的圆心角的度数为120°．
（1）求证：AD是△ABC的外接圆的切线；
（2）若△ABC的外接圆的半径为3，求
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【分析】（1）连接OC．证出OA⊥AD．由切线的判定可得出结论；
（2）连接OE．求出∠COE的度数，由弧长公式可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，设圆心为点O，连接OC．
∵
所对圆心角的度数为120°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵∠CAD＝60°，∴∠OAD＝∠OAC+∠CAD＝90°．∴OA⊥AD．∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径．∴OA是⊙O的半径．∴AD是△ABC外接圆的切线．（2）解：连接OE．∵∠OCA＝30°，∠ACD＝35°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝30°+35°＝65°．∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠OCD＝65°，∴∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°．∴
的长
．
【难度】3
23．（12分）某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．
（1）求A，B两种商品每件的利润；
（2）已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设A商品每件的利润为x元，B商品每件的利润为元，根据题意，得
，解得：
，答：A商品每件的利润为12元，B商品每件的利润为8元．（2）设降价a元利润为w元根据题意，得：w＝（12﹣a）（200+20a），＝2400+240a﹣200a﹣20a，＝﹣20a2+40a+2400，＝﹣20（a﹣1）2+2420．∵﹣20＜0．∴当
a＝1
时，w有最大值，最大值为2420，此时定价
24+12﹣1＝35（元）．答：定价为35元时，利润最大，最大为2420元．
【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组解答即可；
（2）根据“商品利润＝单件利润×销售数量“，列出二次函数解析式，将其化成顶点式，再结合“售价＝进价+利润“解答即可．
【解答】解：（1）设A商品每件的利润为x元，B商品每件的利润为元，根据题意，得
，解得：
，答：A商品每件的利润为12元，B商品每件的利润为8元．（2）设降价a元利润为w元根据题意，得：w＝（12﹣a）（200+20a），＝2400+240a﹣200a﹣20a，＝﹣20a2+40a+2400，＝﹣20（a﹣1）2+2420．∵﹣20＜0．∴当
a＝1
时，w有最大值，最大值为2420，此时定价
24+12﹣1＝35（元）．答：定价为35元时，利润最大，最大为2420元．
【难度】3
24．（12分）（1）如图1，AC为四边形ABCD的对角线，∠BAC＝120°，∠ACD＝30°，E，F，G分别为AD，BC，AC的中点，连接EF，FG，EG．判断△EFG的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝3
，点E，F分别在AD，BC上，且AE
BC．求EF的取值范围；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝4
，CD＝4
，∠A+∠D＝225°，点E，F分别在AD，BC上，且AE
AD，BF
BC，求EF的值．
【答案】解：（1）△EFG是直角三角形，理由：∵点E，F，G分别为AD，BC，AC的中点，∴GF，GE
分别为△ABC，△ACD
的中位线，∴FG∥AB，EG∥CD，∵∠BAC＝120°，∠ACD＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∠AGE＝∠ACD＝30°，∴∠FGE＝∠AGF+∠AGE＝60°+30°＝90°，∴△EFG是直角三角形．（2）如图2，连接AC，在AC上截取AL
AC，连接EL，FL，则LC
AC，∵AE
AD，BF
BC，AB＝3，CD＝3
，∴FC
BC，∵
，∠LCF＝∠ACB，∴△LCF∽△ACB，∴
，∴LF
AB
3＝2，∵
，∠EAL＝∠DAC，∴△ALE∽△ACD，∴
，∴LE
CD
3
，∵LF﹣LE＜EF≤LF+LE，∴2
EF≤2
，∴EF的取值范围是2
EF≤2
．（3）如图3，连接AC，在AC于截取AK
AC，连接KE，KF，作EH⊥FK交FK的延长线于点H，∵AE
AD，BF
BC，AB＝4
，CD＝4
，∴KC
AC，FC
BC，∵
，∠KCF＝∠ACB，∴△KCF∽ACB，∴
，∠KFC＝∠B，∴KF
AB
4
3
，∵
，∠KAE＝∠CAD，∴△AKE∽△ACD，∴
，∠AKE＝∠ACD，∴KE
CD
4
，∵∠BAD+∠D＝225°，∴∠B+∠BCD＝360°﹣（∠BAD+∠D）＝360°﹣225°＝135°，∵∠AKF＝∠KFC+∠ACB＝∠B+∠ACB，∴∠EKF＝∠AKF+∠AKE＝∠B+∠ACB+∠ACD＝∠B+∠BCD＝135°，∴∠HKE＝180°﹣∠EKF＝180°﹣135°＝45°，∵∠H＝90°，∴∠HEK＝∠HKE＝45°，∴HE＝HK，∴KE
HK
，∴HE＝HK
，∴HF＝HK+KF
3
4
，∴EF
，
∴EF的值为
．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由三角形的中位线定理得FG∥AB，EG∥CD，则∠AGF＝180°﹣∠BAC＝60°，∠AGE＝∠ACD＝30°，所以∠FGE＝∠AGF+∠AGE＝90°，则△EFG是直角三角形；
（2）连接AC，在AC上截取AL
AC，连接EL，FL，则LC
AC，因为AE
AD，BF
BC，所以FC
BC，由
，∠LCF＝∠ACB，证明△LCF∽△ACB，得
，则LF
AB＝2，再证明△ALE∽△ACD，得
，所以LE
CD
，则2
EF≤2
；
（3）连接AC，在AC于截取AK
AC，连接KE，KF，作EH⊥FK交FK的延长线于点H，可证明△KCF∽ACB，得
，∠KFC＝∠B，则KF
AB＝3
，再证明△AKE∽△ACD，得
，∠AKE＝∠ACD，则KE
CD
，再证明∠EKF＝∠AKF+∠AKE＝∠B+∠BCD＝135°，则∠HEK＝∠HKE＝45°，所以HE＝HK，由KE
HK
，求得HE＝HK
，则HF＝4
，则EF
．
【解答】解：（1）△EFG是直角三角形，理由：∵点E，F，G分别为AD，BC，AC的中点，∴GF，GE
分别为△ABC，△ACD
的中位线，∴FG∥AB，EG∥CD，∵∠BAC＝120°，∠ACD＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∠AGE＝∠ACD＝30°，∴∠FGE＝∠AGF+∠AGE＝60°+30°＝90°，∴△EFG是直角三角形．（2）如图2，连接AC，在AC上截取AL
AC，连接EL，FL，则LC
AC，∵AE
AD，BF
BC，AB＝3，CD＝3
，∴FC
BC，∵
，∠LCF＝∠ACB，∴△LCF∽△ACB，∴
，∴LF
AB
3＝2，∵
，∠EAL＝∠DAC，∴△ALE∽△ACD，∴
，∴LE
CD
3
，∵LF﹣LE＜EF≤LF+LE，∴2
EF≤2
，∴EF的取值范围是2
EF≤2
．（3）如图3，连接AC，在AC于截取AK
AC，连接KE，KF，作EH⊥FK交FK的延长线于点H，∵AE
AD，BF
BC，AB＝4
，CD＝4
，∴KC
AC，FC
BC，∵
，∠KCF＝∠ACB，∴△KCF∽ACB，∴
，∠KFC＝∠B，∴KF
AB
4
3
，∵
，∠KAE＝∠CAD，∴△AKE∽△ACD，∴
，∠AKE＝∠ACD，∴KE
CD
4
，∵∠BAD+∠D＝225°，∴∠B+∠BCD＝360°﹣（∠BAD+∠D）＝360°﹣225°＝135°，∵∠AKF＝∠KFC+∠ACB＝∠B+∠ACB，∴∠EKF＝∠AKF+∠AKE＝∠B+∠ACB+∠ACD＝∠B+∠BCD＝135°，∴∠HKE＝180°﹣∠EKF＝180°﹣135°＝45°，∵∠H＝90°，∴∠HEK＝∠HKE＝45°，∴HE＝HK，∴KE
HK
，∴HE＝HK
，∴HF＝HK+KF
3
4
，∴EF
，
∴EF的值为
．
【难度】5
25．（14分）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0）．
（1）如图1，将抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A′恰好在x轴上，求抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞2）交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当
时，求证：PC＝CD；
②当a≠1时，请用合适的式子表示
（直接写结果）．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，a＝1；（2）①证明见解答；②
．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）抛物线
y＝ax2﹣4ax﹣4
的对称轴为直线x
，即为x＝2，根据翻折可知点A的纵坐标为﹣8，即点A的坐标为（2，﹣8），进而求解；
（2）①证明△CPM≌△DCN（ASA），即可求解；
②当a＞0且a≠1时，证明△CPQ∽△DPT，则
，即可求解；当a＞1时，同理可解．
【解答】（1）解：抛物线的对称轴为直线：x
，即为x＝2．根据翻折可知点A的纵坐标为﹣8，即点A的坐标为（2，﹣8）．将点A的坐标代入抛物线表达式得：4a﹣8a﹣4＝﹣8，解得：a＝1，即抛物线的对称轴为直线x＝2，a＝1；（2）∵a＝1，∴图象“W”的解析式为y
；①证明：当
时，图象“C”的解析式为
．设直线BD的解析式为y＝kx﹣4．当
kx﹣4＝x2﹣4x﹣4
时，解得x＝0或
x＝4+k，∴点C的横坐标为4+k．当
kx﹣4＝﹣x2+4x﹣4
时，解得x＝0（舍去）或
x＝4﹣k，∴点P的横坐标为
4﹣k．当
时，解得 x＝0或
x＝4+3k，∴点D的横坐标为
4+3k．如图1，作PM∥x轴，过点C作CM⊥x轴交PM于点M，
作
CN∥x轴，过点D作
DN⊥CN交CN于点N．由各点横坐标可得：PM＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，CN＝4+3k﹣4﹣k＝2k，∴PM＝CN．∵PM∥x轴，CN∥x轴，∴PM∥CN，∴∠DCN＝∠CPM．∵DN⊥CN，CM⊥PM，∴∠CMP＝∠DNC＝90°．∴△CPM≌△DCN（ASA），∴PC＝CD．②解：当a＞0且a≠1时，图象“G”的解析式为
y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0且a≠1）．由①可知点P的横坐标为
4﹣k，点C的横坐标为
4+k．当
kx﹣4＝ax2﹣4ax﹣4
（a＞0且a≠1）时，解得：
．∴．点D的横坐标为
．当0＜a＜1时，如图2，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T．由各点的横坐标可知
PQ＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，PT
．∵CQ⊥PQ，DT⊥PT，∴CQ∥DT．∴△CPQ∽△DPT．则
．
当a＞1时，如图3，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T．由各点的横坐标可知
PQ＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，PT
，∵CQ⊥PQ，DT⊥PT，∴CQ∥DT，∴△CPQ∽△DPT．则
．
综上所述，用含a的式子表示
为
．
【难度】5