【327824】2023年湖南省衡阳市中考数学真题

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2023年湖南省衡阳市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作 元，则支出237元记作（       ）
A． 元
B． 元
C．0元
D． 元

2.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．         

4.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（       ）

A．
B．
C．
D．

5.计算 的结果正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

7.对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件是（       ）
A．
B．
C．
D．

8.如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD
B．AB∥CD
C．∠A＝∠C
D．BC＝AD

9.《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（       ）
A．
B．
C．
D．

10.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为 和 ，则 与 的大小关系是（       ）

测试次数	1	2	3	4	5
甲	5	10	9	3	8
乙	8	6	8	6	7

A．
B．
C．
D．无法确定

11.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的和大于 ，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．上述推理使用的证明方法是（       ）
A．反证法
B．比较法
C．综合法
D．分析法

12.已知 ，若关于x的方程 的解为 ．关于x的方程 的解为 ．则下列结论正确的是（        ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.在平面直角坐标系中，点 所在象限是第________象限．

14.一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________．

15.已知 ，则代数式 的值为________．

16.已知关于x的方程 的一个根是 ，则它的另一个根是________．

17.如图，在 中， ．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边 所在的直线相切时，r的值为________．
   

18.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．
   

评卷人 得分

三、解答题

19.计算：

20.解不等式组：

21.2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A： ；B： ；C： ；D： ），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
   
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级	平均数	中位数	众数	优秀率
八	87	a	98
九	87	86	b	c

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ________， ________， ________．
(2)该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．

22.如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A．
   
(1)求点A的坐标．
(2)分别以点O、A为圆心，大于 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线 ，交x轴于点D．求线段 的长．

23.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部 米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 的顶部B处的俯角为 ， 长为 米．已知目高 为 米．
   
(1)求教学楼 的高度．
(2)若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，以 米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 ．

24.如图， 是 的直径， 是一条弦，D是 的中点， 于点E，交 于点F，交 于点H， 交 于点G．
   
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的半径．

25.（1）[问题探究]
如图1，在正方形 中，对角线 相交于点O．在线段 上任取一点P（端点除外），连接 ．
   
①求证： ；
②将线段 绕点P逆时针旋转，使点D落在 的延长线上的点Q处．当点P在线段 上的位置发生变化时， 的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究 与 的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形 换成菱形 ，且 ，其他条件不变．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
   

26.如图，已知抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点C，连接 ，过B、C两点作直线．
   
(1)求a的值．
(2)将直线 向下平移 个单位长度，交抛物线于 、 两点．在直线 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)抛物线上是否存在点P，使 ，若存在，请求出直线 的解析式；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
根据相反意义的量的意义解答即可．
∵收入500元记作 元，
∴支出237元记作 元，
故选B．

2.D

【解析】
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；       
D. ，符合题意，
故选D．

3.C

【解析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．

4.B

【解析】
根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可．
A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意；
B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意；
C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；
D. 是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D不合题意．
故选择B．

5.B

【解析】
运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．
解： ，
故选：B．

6.A

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．据此可得出结果．
7358万 ，
故选：A．

7.D

【解析】
根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
解：根据二次根式有意义的条件，得 ，
，
故选：D．

8.A

【解析】
依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．
解：A、当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、当BC∥AD，∠A＝∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：A．

9.C

【解析】
根据等量关系“鸡的只数 兔的只数 ”和“2 鸡的只数 兔的只数 ”即可列出方程组．
解：设有x只鸡，y只兔，
由题意可得： ，
故选：C．

10.A

【解析】
先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答案．
解：甲的平均数为 ，
甲的方差为 ，
乙的平均数为 ，
乙的方差为 ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．

11.A

【解析】
根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
解：假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．
则三角形的三个内角的和大于 ，
这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．

12.B

【解析】
把 看做是直线 与抛物线 交点的横坐标，把 看做是直线 与抛物线 交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
解：如图所示，设直线 与抛物线 交于A、B两点，直线 与抛物线 交于C、D两点，
∵ ，关于x的方程 的解为 ，关于x的方程 的解为 ，
∴ 分别是A、B、C、D的横坐标，
∴ ，
故选B．
   

13.三

【解析】
根据各象限内点的坐标特征解答．
解： 的横坐标为负数，纵坐标为负数，
在第三象限，
故答案为：三．

14. ##0.25

【解析】
根据公式 计算即可．
∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
∴取出红球的概率是 ，
故答案为： ．

15.

【解析】
先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．
解：原式=




故答案为：

16.5

【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，根据该方程一个根为 ，即可求出另一个根．
解：根据题意可得： ，
∴ ，
∵该方程一个根为 ，令 ，
∴ ，解得： ．
故答案为：5．

17.

【解析】
根据勾股定理，得 ，根据切线的性质，得到圆的半径等于 边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可．
∵ ，
∴ ，
根据切线的性质，得到圆的半径等于 边上的高，
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．

18.10

【解析】
先求出正五边形的外角为 ，则 ，进而得出 ，即可求解．
解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角 ，
∴ ，
∴ ，
∴共需要正五边形的个数 （个），
故答案为：10．
   

19.

【解析】
根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解．
解：

20.

【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：

21.(1)84，100， ；
(2)200人

【解析】
（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c；
（2）用500人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解．
（1）解：∵一共抽取八年级学生15人，
∴中位数是排序后的第8个数据，
∵1+5=6，
∴第8个数据落在C组，
∴a第八名学生成绩，即 ；
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，
∴ ，
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，
∴ ；
故答案为：84，100， ；
（2）解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为： （人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．

22.(1)
(2)

【解析】
（1）解两个函数联立组成的方程组即可；
（2）由题意可得： 垂直平分 ，连接 ，如图，根据线段垂直平分线的性质可得 ，设 ，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案．
（1）解：解方程组 ，得 ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得： 垂直平分 ，
连接 ，如图，则 ，
设 ，
则 ，解得 ，
∴ ．
   

23.(1)教学楼 的高度为 米
(2)无人机刚好离开视线 的时间为12秒

【解析】
（1）过点B作 于点G，根据题意可得： ， 米， ，通过证明四边形 为矩形，得出 米，进而得出 米，最后根据线段之间的和差关系可得 ，即可求解；
（2）连接 并延长，交 于点H，先求出 米，进而得出 ，则 ，则 米，即可求解．
（1）解：过点B作 于点G，
根据题意可得： ， 米， ，
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ 米，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∵ 长为 米，
∴ （米），
答：教学楼 的高度为 米．
（2）解：连接 并延长，交 于点H，
∵ 米， 米，
∴ 米，
∵ 米， ，
∴ ，
∴ ， 米，
∴ （米），
∵无人机以 米/秒的速度飞行，
∴离开视线 的时间为： （秒），
答：无人机刚好离开视线 的时间为12秒．
   

24.(1)见解析
(2)5

【解析】
（1）根据D是 的中点， 于点E，得到 ,得到 即可得证．
（2）根据 ，设 ，运用勾股定理，得到 ，结合 ，得到 ，运用勾股定理，得到 ，从而得到 ，在 中，利用勾股定理计算x即可．
（1）∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ， 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ 的半径为5．

25.（1）①见解析；②不变化， ，理由见解析；③ ，理由见解析；（2） ，理由见解析

【解析】
（1）①根据正方形的性质证明 ，即可得到结论；
②作 ，垂足分别为点M、N，如图，可得 ，证明四边形 是矩形，推出 ，证明 ， 得出 ，进而可得结论；
③作 交 于点E，作 于点F，如图，证明 ， 即可得出结论；
（2）先证明 ，作 交 于点E， 交 于点G，如图，则四边形 是平行四边形，可得 ， 都是等边三角形，进一步即可证得结论．
（1）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
② 的大小不发生变化， ；
证明：作 ，垂足分别为点M、N，如图，
   
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
③ ；
证明：作 交 于点E，作 于点F，如图，
          
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
作 于点M，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ；
证明：∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
作 交 于点E， 交 于点G，如图，
则四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， 都是等边三角形，
∴ ，
       
作 于点M，则 ，
∴ ，
∴ ．

26.(1)
(2)存在 ，理由见详解
(3)存在点P，直线 的解析式为 或 ．

【解析】
（1）根据待定系数法即可得出结果；
（2）设 与 轴交于点 ，设 ，过点 作 轴交 于点 ，作 于点 ，先证明 是等腰直角三角形，再表示出 的长度，根据二次函数的性质即可得出结果；
（3）分两种情况讨论，当点 在直线 下方时，与当点 在直线 上方时．
（1）解：抛物线 与x轴交于点 ，
得 ，
解得： ；
（2）解：存在 ，理由如下：
设 与 轴交于点 ，由（1）中结论 ，得抛物线的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
， ，即 是等腰直角三角形，
，
，
，
设 ，过点 作 轴交 于点 ，作 于点 ，
   
，即 是等腰直角三角形，
设直线 的解析式为 ，代入 ，
得 ，解得 ，
故直线 的解析式为 ，
将直线 向下平移 个单位长度，得直线 的解析式为 ，
，
，
当 时， 有最大值 ，
此时 也有最大值， ；
（3）解：存在点P，理由如下：
当点 在直线 下方时，
在 轴上取点 ，作直线 交抛物线于（异于点 ）点 ，
   
由（2）中结论，得 ，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，代入点 ，
得 ，解得 ，
故直线 的解析式为 ；
当点 在直线 上方时，如图，在 轴上取点 ，连接 ，过点 作 交抛物线于点 ，
       
∴ ，
∴ ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，代入点 ，
得 ，解得 ，
故设直线 的解析式为 ，
，且过点 ,
故设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
综上所述：直线 的解析式为 或 ．