【327820】2023年湖北省武汉市数学真题

绝密·启用前

2023年湖北省武汉市数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.实数3的相反数是（       ）
A．3
B．
C．
D．

2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

3.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（       ）
A．点数的和为1
B．点数的和为6
C．点数的和大于12
D．点数的和小于13

4.计算 的结果是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

6.关于反比例函数 ，下列结论正确的是（       ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内， 随 的增大而减小
D．图像经过点 ，则

7.某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

8.已知 ，计算 的值是（       ）
A．1
B．
C．2
D．

9.如图，在四边形 中， ，以 为圆心， 为半径的弧恰好与 相切，切点为 ．若 ，则 的值是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

10.皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 ，其中 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 ， ，则 内部的格点个数是（       ）
A．266
B．270
C．271
D．285

11.写出一个小于4的正无理数是________．

12.新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为 的形式，则 的值是________（备注：1亿＝100000000）．

13.如图，将 的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据： ， ， ）
   

14.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程 （单位：步）关于善行者的行走时间 的函数图象，则两图象交点 的纵坐标是________．
   

15.抛物线 （ 是常数， ）经过 三点，且 ．下列四个结论：
① ；
② ；
③当 时，若点 在该抛物线上，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是________（填写序号）．

16.如图， 平分等边 的面积，折叠 得到 分别与 相交于 两点．若 ，用含 的式子表示 的长是________．
   

17.解不等式组 请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
   
(4)原不等式组的解集是________．

18.如图，在四边形 中， ，点 在 的延长线上，连接 ．
   
(1)求证： ；
(2)若 平分 ，直接写出 的形状．

19.某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间 （单位： ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表

各组劳动时间的扇形统计图
   
请根据以上信息解答下列问题．
(1)A组数据的众数是________；
(2)本次调查的样本容量是________，B组所在扇形的圆心角的大小是________；
(3)若该校有 名学生，估计该校学生劳动时间超过 的人数．

20.如图， 都是 的半径， ．
   
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．

21.如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形 四个顶点都是格点， 是 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
   
(1)在图（1）中，先将线段 绕点 顺时针旋转 ，画对应线段 ，再在 上画点 ，并连接 ，使 ；
(2)在图（2）中， 是 与网格线的交点，先画点 关于 的对称点 ，再在 上画点 ，并连接 ，使 ．

22.某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 （单位： ）以、飞行高度 （单位： ）随飞行时间 （单位： ）变化的数据如下表．

探究发现： 与 ， 与 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 关于 的函数解析式和 关于 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
   
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域 ．若飞机落到 内（不包括端点 ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

23.问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点， 是等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与 的数量关系．
       
问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值．

24.抛物线 交 轴于 两点（ 在 的左边），交 轴于点 ．
   
(1)直接写出 三点的坐标；
(2)如图（1），作直线 ，分别交 轴，线段 ，抛物线 于 三点，连接 ．若 与 相似，求 的值；
(3)如图（2），将抛物线 平移得到抛物线 ，其顶点为原点．直线 与抛物线 交于 两点，过 的中点 作直线 （异于直线 ）交抛物线 于 两点，直线 与直线 交于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．

参考答案

1.D

【解析】
根据相反数的定义进行判断即可．
解：实数3的相反数 ，故D正确．
故选：D．

2.C

【解析】
根据轴对称图形的概念即可解答．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．

3.B

【解析】
根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为6，是随机事件，符合题意；
C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意．
故选：B．

4.D

【解析】
根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
解： ，
故选：D．

5.A

【解析】
它的左视图，即从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题意．
解：从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题意，故A正确．
故选：A．

6.C

【解析】
根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
解：A． 的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 的图像所在的每一个象限内， 随 的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由 的图像经过点 ，则 ，计算得 或 ，故该选项不符合题意．
故选C．

7.C

【解析】
设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为 ，画出树状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可．
解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为 ，画树状图如下：
   
由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C和D的情况数共有2种，
∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为 ，
故选：C

8.A

【解析】
根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把 代入原式即可求出答案．
解：
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
∴原式= =1，
故选A.

9.B

【解析】
作 延长线于 点，连接 ，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在 和 ，最终得到 ，即可根据正弦函数的定义求解．
解：如图所示，作 延长线于 点，连接 ，
   
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形， ， ，
∴ 为 的切线，
由题意， 为 的切线，
∴ ， ，
∵ ，
∴设 ， ， ，
则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．

10.C

【解析】
首先根据题意画出图形，然后求出 的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
如图所示，
   
∵ ， ，
∴ ，
∵ 上有31个格点，
上的格点有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个格点，
上的格点有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共19个格点，
∴边界上的格点个数 ，
∵ ，
∴ ，
∴解得 ．
∴ 内部的格点个数是271．
故选：C．

11. （答案不唯一）

【解析】
根据无理数估算的方法求解即可．
解：∵ ，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．

12.9

【解析】
将13.6亿= 写成 （ ，n为整数）的形式即可．
解：13.6亿= = ．
故答案为9．

13.2.7．

【解析】
解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
   
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵ ，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．

14.

【解析】
设图象交点 的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的 ．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
解：设图象交点 的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的 ．
∴ ，
解得 ，
经检验 是方程的根且符合题意，
∴两图象交点 的纵坐标是 ．
故答案为：

15.②③④

【解析】
①根据图象经过 ， ，且抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，判断出抛物线的开口向下， ，再把 代入 得 ，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线 的右侧，得出抛物线的顶点在点 的右侧，得出 ，根据 ，即可得出 ，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，根据 ，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出 ，把 代入 得 ，即 ，求出 ，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 ，得出 ，求出m的取值范围，即可判断④正确．
解：①图象经过 ， ，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在 的左侧，
∵ 中 ，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即 ，
把 代入 得 ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，故①错误；
②∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 的两个根的积大于0，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即抛物线的对称轴在直线 的右侧，
∴抛物线的顶点在点 的右侧，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴当 时， ，
∴抛物线对称轴在直线 的右侧，
∴ 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∵ ，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴ ，故③正确；
④方程 可变为 ，
∵方程有两个相等的实数解，
∴ ，
∵把 代入 得 ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，n为方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．

16.

【解析】
先根据折叠的性质可得 ， ，从而可得 ，再根据相似三角形的判定可证 ，根据相似三角形的性质可得 ， ，然后将两个等式相加即可得．
解： 是等边三角形，
，
∵折叠 得到 ，
，
， ，
平分等边 的面积，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
解得 或 （不符合题意，舍去），
故答案为： ．

17.(1)
(2)
(3)见解析
(4)

【解析】
（1）直接解不等式①即可解答；
（2）直接解不等式①即可解答；
（3）在数轴上表示出①、②的解集即可；
（3）数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可．
（1）解： ，

．
故答案为： ．
（2）解： ，

．
故答案为： ．
（3）解：把不等式 和 的解集在数轴上表示出来：
       
（4）解：由图可知原不等式组的解集是 ．
故答案为： ．

18.(1)见解析
(2)等边三角形

【解析】
（1）由平行线的性质得到 ，已知 则 ，可判定 即可得到 ；
（2）由 ， 得到 ，由 平分 ，得到 ，进一步可得 ，即可证明 是等边三角形．
（1）证明： ，
∴ ，

，

．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形

19.(1)
(2)60，
(3) 人

【解析】
（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可；
（2）利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数，再用 乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小；
（3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过 的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过 的人数．
（1）解：∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了3次，
∴A组数据的众数是 ；
故答案为：0.4
（2）由题意可得，本次调查的样本容量是 ,
由题意得 ，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是 ，
故答案为：60，
（3）解： （人）．
答：该校学生劳动时间超过 的大约有860人．

20.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）由圆周角定理得出， ，再根据 ，即可得出结论；
（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明 ，得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，在 中，根据勾股定理得出 ，求出 即可．
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
（2）解：过点 作半径 于点 ，则 ，
，
∴ ，
，
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
   

21.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）取格点F，连接BF，连接 ，再取格点P，连接 交 于Q，连接 ，延长交 于G即可．
（2）取格点F，连接BF、 ，交格线于N，再取格点P，Q，连接 交 于O，连接 并延长交 于H即可．
（1）解：如图（1）所示，线段 和点G即为所作；
   
∵ ， ， ，
∴
∴
∴
∴线段 绕点 顺时针旋转 得 ；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
由旋转性质得 ， ，
∴ ．
（2）解：如图（2）所示，点N与点H即为所作．
   
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∵
∴ 与 关于 对称，
∵
∴M、N关于 对称；
∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由轴对称可得
∴ ．

22.探索发现： ；问题解决：（1） ；（2）大于 且小于

【解析】
探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数 代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为 ，则飞机相对于安全线的飞行高度 ．结合 ，即可求解.
探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设 ， ，
由题意得： ， ，
解得： ，
∴ ．
问题解决（1）   解：依题总，得 ．
解得， （舍）， ，
当 时， ．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为 ．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度 ．
，
，
，
在 中，
当 时， ；
当 时， ．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 且小于 ．

23.(1)
(2)
(3)

【解析】
（1）延长 过点F作 ，证明 即可得出结论．
（2）在 上截取 ，使 ，连接 ，证明 ，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点A作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ，由（2）知， ，通过相似求出 ，即可解出．
（1）延长 过点F作 ，
∵ ，
，
∴ ，
在 和 中

∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
       
故答案为： ．
（2）解：在 上截取 ，使 ，连接 ．
，
，
．
，
．
．


，
．

．
   
（3）解：过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ，

．
在 中，

，
．
，由（2）知， ．

．
，
，
，
在 上截取 ，使 ，连接 ，作 于点O．
由（2）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．

．
   

24.(1)
(2) 的值为2或
(3)点 在定直线 上

【解析】
（1）令 ，解一元二次方程求出 值可得 、 两点的坐标，令 求出 值可得 点坐标，即可得答案；
（2）分 和 两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出 值即可得答案；
（3）根据平移的性质可得 解析式，联立直线 与 解析式可得点 坐标，即可得出 中点 的坐标，设 ，利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，同理得出直线 的解析式为 ，联立两直线解析式可得 ，设点 在直线 上，把点 代入，整理比较系数即可得出 、 的值即可得答案，也可根据点 的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．
（1）∵抛物线解析式为 ，
∴当 时， ，当 时， ，
解得： ， ，
∴ ， ， ．
（2）解： 是直线 与抛物线 的交点，
，
①如图，若 时，
，
∴
，
∴ ，
解得， （舍去）或 ．
②如图，若 时．过 作 轴于点 ．
，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴
，
∴ ， ，
，
∴ ，
解得， （舍去）或 ．
   
综上，符合题意的 的值为2或 ．
（3）解：∵将抛物线 平移得到抛物线 ，其顶点为原点，
∴ ，
∵直线 的解析式为 ，
∴联立直线 与 解析式得： ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
设 ，直线 的解析式为 ，
则 ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 经过点 ，
∴
同理，直线 的解析式为 ；直线 的解析式为 ．
联立，得 ，
解得： ．
∵直线 与 相交于点 ，
．
设点 在直线 上，则 ，①
整理得， ，
比较系数得： ，
解得： ，
∴当 时，无论 为何值时，等式①恒成立．
∴点 在定直线 上．