【327819】2023年湖北省随州市中考数学真题

绝密·启用前

2023年湖北省随州市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.实数﹣2023的绝对值是（　　）
A．2023
B．﹣2023
C．
D．

2.如图，直线 ，直线l与 、 相交，若图中 ，则 为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

3.如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（       ）
   
A．主视图和俯视图
B．左视图和俯视图
C．主视图和左视图
D．三个视图均相同

4.某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（       ）
A．5和5
B．5和4
C．5和6
D．6和5

5.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（       ）
A．
B．
C．
D．

6.甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距 ；②甲车的平均速度是 ，乙车的平均速度是 ；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在 追上乙车．正确的有（       ）
   
A．①②
B．①③
C．②④
D．①④

7.如图，在 中，分别以B，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交 于点O，交 于点E，F，下列结论不正确的是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

8.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为 时，电流为(       )
   
A．
B．
C．
D．

9.设有边长分别为a和b( )的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为 的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为 、宽为 的矩形，则需要C类纸片的张数为(       )
   
A．6
B．7
C．8
D．9

10.如图，已知开口向下的抛物线 与x轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论正确的有（       ）
① ；
② ；
③方程 的两个根为 ；
④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，则 ．
   
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

11.计算： ___________．

12.如图，在 中， ，则 的度数为___________．
   

13.已知一元二次方程x²﹣3x＋1＝0有两个实数根x₁，x₂，则x₁＋x₂﹣x₁x₂的值等于_____．

14.如图，在 中， ，D为 上一点，若 是 的角平分线，则 ___________．
   

15.某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有___________盏．

16.如图，在矩形 中， ，M是边 上一动点（不含端点），将 沿直线 对折，得到 ．当射线 交线段 于点P时，连接 ，则 的面积为___________； 的最大值为___________．
   

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O， ．
   
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求四边形 的面积．

19.中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
   
根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
(2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．

20.某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度 ，在建筑物附近有一斜坡，坡长 米，坡角 ，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为 ，在D处测得建筑物顶端A的仰角为 ．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
   
(1)求点D到地面 的距离；
(2)求该建筑物的高度 ．

21.如图， 是 的直径，点E，C在 上，点C是 的中点， 垂直于过C点的直线 ，垂足为D， 的延长线交直线 于点F．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，①求 的半径；②求线段 的长．

22.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（ 且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式 （且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为 ，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元
(1) ___________， ___________；
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？

23.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当 的三个内角均小于 时，
如图1，将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
       
由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故 ，
由 ② 可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P为 的“费马点”，求 的值；
   
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ ，a元/ ， 元/ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）

24.如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， 和 ，连接 ，点 为抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交 轴于点 ．
   
(1)直接写出抛物线和直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值；
(3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以 ， ， 为顶点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.A

【解析】
根据绝对值的代数意义即可得出答案．
解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．

2.C

【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补进行求解，即可得到答案．
解： 直线 ，
，
，
，
故选C．

3.C

【解析】
根据三视图的定义判断即可．
该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形，俯视图是一个圆．
故选：C．

4.A

【解析】
根据众数和中位数的概念求解．
解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数 ，
故选：A．

5.A

【解析】
设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，
依题意得 ，
故选：A．

6.D

【解析】
根据图象逐项分析判断即可．
解：由图象知：
①A，B两城相距 ，故此项正确；
②甲车的平均速度是 ，乙车的平均速度是 ，故此项错误；
③乙车 先出发， 才到达B城，甲车 后出发， 就到达B城，故此项错误；
④两车在 时，行驶路程一样，即甲车在 追上乙车，故此项正确．
综上，①④说法正确，
故选：D．

7.D

【解析】
根据作图可知： 垂直平分 ，得到 ，于是得到点O为 的对称中心， ，根据全等三角形的性质得到 ，根据平行线的性质得到 ，推出四边形 是菱形，据此判断即可．
解：根据作图可知： 垂直平分 ，
∴ ，
∴点O为 的对称中心，
   
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B正确；
∴ ，
∴ ，故A正确；
∴四边形 是菱形，
∴ ，故C正确；
与 不一定相等，故D错误，
故选：D．

8.B

【解析】
设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把 代入，即可求出电流I．
解：设该反比函数解析式为 ，
由题意可知，当 时， ，
，
解得： ，
设该反比函数解析式为 ，
当 时， ，
即电流为 ，
故选：B．

9.C

【解析】
计算出长为 ，宽为 的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
解：长为 ，宽为 的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．

10.B

【解析】
根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
解：由抛物线的开口可知： ，由抛物线与y轴的交点可知： ，由抛物线的对称轴可知： ，∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线 与x轴交于点 ，对称轴为直线 ，
则另一个交点 ，
∴ 时， ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线 与x轴交于点 和 ，
∴ 的两根为6和 ，
∴ ， ，则 ， ，
如果方程 的两个根为 成立，
则 ，
而 ，∴ ，
∴方程 的两个根为 不成立，故③不正确；
∵ ，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵ ，
即 到对称轴的距离小于 到对称轴的距离，
∴ ，故④不正确．
综上，正确的有①②，
故选：B．

11.0

【解析】
先算乘方，再计算乘法，最后算加减．
解： ．
故答案为：0．

12. ##30度

【解析】
根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理解答即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

13.2

【解析】
先根据根与系数的关系得x₁+x₂＝3，x₁x₂＝1，然后利用整体代入的方法计算．

解：根据根与系数的关系得：
x₁+x₂＝3，x₁x₂＝1，
∴x₁+x₂﹣x₁x₂＝3﹣1＝2．
故答案为：2．

14.5

【解析】
首先证明 ， ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，过点D作 的垂线，垂足为P，
   
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5．

15.10

【解析】
灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．

16.         

【解析】
（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当 最大时， 即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定 的最值，从而求得 的最大值．
解：由题意可得 的面积等于矩形 的一半，
∴ 的面积为 ，
在 中， ，
∴当 最大时， 即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线 与圆相切时， 最大，此时C、N、M三点共线，如图：
   
由题意可得： ， ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ， ．

17. ， ．

【解析】
先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
解：

，
当 时，原式 ．

18.(1)见解析
(2)3

【解析】
（1）先根据矩形的性质求得 ，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；
（2）根据矩形的性质求得 的面积，然后结合菱形的性质求解．
（1）解：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵矩形 中， ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：矩形 的面积为 ，
∴ 的面积为 ，
∴菱形 的面积为 ．

19.(1)80，16，
(2)40
(3)恰好抽到2名女生的概率为 ．

【解析】
（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用 乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可；
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
（1）解：接受问卷调查的学生共有 （人 ，
（人 ，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
故答案为：80，16， ；
（2）解：根据题意得：
（人 ，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
（3）解：由题意列树状图：
   
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为 ．

20.(1)5米
(2) 米

【解析】
（1）过点D作 ，根据坡角的概念及含 直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明 ，然后解直角三角形分析求解．
（1）解：过点D作 ，
   
由题意可得 ，
∴在Rt 中， ，
即点D到地面 的距离为5米；
（2）如图，
   
由题意可得 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴在Rt 中， ，即 ，
解得 ，
在Rt 中， ，即 ，
解得 ，
答：该建筑物的高度 为15米．

21.(1)证明见解析
(2)①3；②2

【解析】
（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到 ，推出 ，进而得到 ，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；
（2）①连接 ，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到 ，进而得到 ，再利用锐角三角函数，求得 ，即可求出 的半径；
②利用锐角三角函数，分别求出 和 的长，即可得到线段 的长．
（1）证明：如图，连接 ，
   
点C是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：①如图，连接 ，
   
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为 ；
②由（1）可知， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．

22.(1) ，
(2) 时， ，当 时，
(3)7天

【解析】
（1）利用待定系数法求待定系数；
（2）根据“销售额=售价×销售量”列出函数关系式，
（3）利用二次函数和一次函数的性质分析求解.
（1）解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，
∴ ，解得 ，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意当 时， ，
当 时， ，
（3）解：由题意当 时， ，
∵ ，
∴当 时， 最大为 ，
当 时， ，
由 时，解得 ，
又∵x为整数，且 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴第 至 天，销售额超过1000元，共7天．

23.(1)①等边；②两点之间线段最短；③ ；④A．
(2)
(3)

【解析】
（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，即可得出可知当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，在根据 可证明 ，由勾股定理求 即可，
（3）由总的铺设成本 ，通过将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，得到等腰直角 ，得到 ，即可得出当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，即 取最小值为 ，然后根据已知和旋转性质求出 即可．
（1）解：∵ ，
∴ 为等边三角形；
∴ ， ，
又 ，故 ，
由两点之间线段最短可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，
最小值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③ ；④ ．
（2）将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由（1）可知当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，
   
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
由旋转性质可知： ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
（3）∵总的铺设成本
∴当 最小时，总的铺设成本最低，
将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转性质可知： ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，即 取最小值为 ，
   
过点 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
的最小值为
总的铺设成本 （元）
故答案为：

24.(1)抛物线： ；直线 ：
(2) 或 或
(3) ， 或 ， 或 ，

【解析】
（1）由题得抛物线的解析式为 ，将点 代入求 ，进而得抛物线的解析式；设直线 的解析式为 ，将点 ， 的坐标代入求 ， ，进而得直线 的解析式．
（2）由题得 ，分别求出 ， ， ，对等腰 中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；
（3）对点 在点 左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解 ，进而可得 ， 的坐标．
（1）解： 抛物线过点 ， ，
抛物线的表达式为 ，
将点 代入上式，得 ，
．
抛物线的表达式为 ，即 ．
设直线 的表达式为 ，
将点 ， 代入上式，
得 ，
解得 ．
直线 的表达式为 ．
（2）解： 点 在直线 上，且 ，
点 的坐标为 ．
， ， ．
当 为等腰三角形时，
①若 ，则 ，
即 ，
解得 ．
②若 ，则 ，
即 ，
解得 或 （舍去）．
③若 ，则 ，
即 ，
解得 （舍去）或 ．
综上， 或 或 ．
（3）解： 点 与点 相对应，
或 ．
①若点 在点 左侧，
则 ， ， ．
当 ，即 时，
直线 的表达式为 ，
，解得 或 （舍去）．
，即 ．
，即 ，
解得 ．
， ．
当 ，即 时，
， ，
，即 ，
解得 （舍去）或 （舍去）．
②若点 在点 右侧，
则 ， ．
当 ，即 时，
直线 的表达式为 ，
，解得 或 （舍去），
，
，即 ，
解得 ．
， ．
当 ，即 时，
， ．
，即 ，
解得 或 （舍去）．
， ．
综上， ， 或 ， 或 ， ．