绝密·启用前

2023年湖北省鄂州市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.10的相反数是（       ）
A．－10
B．10
C．
D．

2.下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

3.中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（　　）
A．
B．
C．
D．

4.下列立体图形中，主视图是圆的是（   ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，直线 ， 于点E．若 ，则 的度数是（　　）
       
A．
B．
C．
D．

6.已知不等式组 的解集是 ，则 （　　）
A．0
B．
C．1
D．2023

7.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点 的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）
   
A．
B．
C．
D．

8.如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，以 为圆心， 长为半径作半圆，交 于点 ，则图中阴影部分的面积是（　　）
   
A．
B．
C．
D．

9.如图，已知抛物线 的对称轴是直线 ，且过点 ，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：① ；② ；③ ；④若 ， （其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ，其中正确的选项是（　　）

A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④

10.如图，在平面直角坐标系中， 为原点， ，点 为平面内一动点， ，连接 ，点 是线段 上的一点，且满足 ．当线段 取最大值时，点 的坐标是（　　）
   
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.计算： =_______．

12.为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是___________．

13.实数m，n分别满足 ，且 ，则 的值是_______．

14.如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，原点O是位似中心，且 ．若 ，则 点的坐标是___________．
   

15.如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 （其中 ）相交于 ， 两点，过点B作 轴，交y轴于点P，则 的面积是___________．
   

16.2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（ ）拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ，连接 和 ， 与 、 、 分别相交于点P、O、Q，若 ，则 的值是___________．
   

评卷人 得分

三、解答题

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.如图，点E是矩形 的边 上的一点，且 ．
   
(1)尺规作图（请用 铅笔）：作 的平分线 ，交 的延长线于点F，连接 ．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断四边形 的形状，并说明理由．

19.为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．

20.鄂州市莲花山是国家 级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为 ；接着他沿自动扶梯 到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且 ；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为 ．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线， ， ）．
       
(1)求自动扶梯 的长度；
(2)求大型条幅 的长度．（结果保留根号）

21.1号探测气球从海拔 处出发，以 的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以 的速度竖直上升．两个气球都上升了 ．1号、2号气球所在位置的海拔 ， （单位：m）与上升时间x（单位： ）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
   
(1) ___________， ___________；
(2)请分别求出 ， 与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为 ？

22.如图， 为 的直径，E为 上一点，点C为 的中点，过点C作 ，交 的延长线于点D，延长 交 的延长线于点F．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径长．

23.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点 的距离 ，始终等于它到定直线l： 的距离 （该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线， 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为 的中点， ．例如，抛物线 ，其焦点坐标为 ，准线方程为l： ，其中 ， ．
   
(基础训练)
(1)请分别直接写出抛物线 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
(技能训练)
(2)如图2，已知抛物线 上一点 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
(能力提升)
(3)如图3，已知抛物线 的焦点为F，准线方程为l．直线m： 交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为 ，到直线m的距离为 ，请直接写出 的最小值；
(拓展延伸)
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 平移至 ．抛物线 内有一定点 ，直线l过点 且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线 上的动点P到点 的距离等于点P到直线l： 的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点 是第二象限内一定点，点P是抛物线 上一动点，当 取最小值时，请求出 的面积．

24.如图1，在平面直角坐标系中，直线 轴，交y轴的正半轴于点 ，且 ，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接 ．
   

(1)请直接写出点A的坐标；
(2)如图2，若动点B满足 ，点C为 的中点， 点为线段 上一动点，连接 ．在平面内，将 沿 翻折，点B的对应点为点P， 与 相交于点Q，当 时，求线段 的长；
(3)如图3，若动点B满足 ， 为 的中位线，将 绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
(4)如图4， 平分 交 于点 ， 于点 ，交 于点 ， 为 的一条中线．设 ， ， 的周长分别为 ， ， ．试探究：在B点的运动过程中，当 时，请直接写出点B的坐标．

参考答案

1.A

【解析】
根据相反数的定义直接求解．
解：10的相反数是－10．
故选：A．

2.B

【解析】
根据同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些公式进行运算即可．
A选项， 和 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B选项， ，正确，故符合题意；
C选项， ，不正确，故不符合题意；
D选项， ，不正确，故不符合题意．
故选：B

3.B

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
解：
故选B．

4.D

【解析】
分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．

5.B

【解析】
延长 ，与 交于点 ，根据平行线的性质，求出 的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出 ．
解：延长 ，与 交于点 ，
   
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．

6.B

【解析】
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得 ，再结合已知可得 ， ，然后进行计算可求出 ， 的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
∵不等式组的解集是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．

7.A

【解析】
利用待定系数法求解一次函数即可得解．
解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点 ，
   
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ，
∵ 过点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ，
故选A．

8.C

【解析】
连接 ， ，作 交 于点 ，首先根据勾股定理求出 的长度，然后利用解直角三角形求出 、 的长度，进而得到 是等边三角形， ，然后根据 角直角三角形的性质求出 的长度，最后根据 进行计算即可．
解：如图所示，连接 ， ，作 交 于点
   
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵点 为 的中点，以 为圆心， 长为半径作半圆，
∴ 是半圆的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．

9.D

【解析】
根据二次函数的性质可得 ， ， ，可判断结论①；由 处的函数值可判断结论②；由 处函数值可判断结论③；根据 得到点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离可判断结论④．
解：二次函数开口向下，则 ，
二次函数对称轴为 ，则 ， ， ，
∴ ，故①正确；
∵过点 ，
∴由对称性可得二次函数与 轴的另一交点为 ，
由函数图象可得 时 ，
，故②正确；
时 ，
，
代入得： ，故③错误；
∵对称轴是直线 ，
∴若 ，即 时， ，
∴当 时，
点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离
∵二次函数开口向下
∴ ，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④．
故选： D．

10.D

【解析】
由题意可得点 在以点 为圆心， 为半径的 上，在 轴的负半轴上取点 ，连接 ，分别过 、 作 ， ，垂足为 、 ，先证 ，得 ，从而当 取得最大值时， 取得最大值，结合图形可知当 ， ， 三点共线，且点 在线段 上时， 取得最大值，然后分别证 ， ，利用相似三角形的性质即可求解．
解：∵点 为平面内一动点， ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的 上，
在 轴的负半轴上取点 ，连接 ，分别过 、 作 ， ，垂足为 、 ，
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 取得最大值时， 取得最大值，结合图形可知当 ， ， 三点共线，且点 在线段 上时， 取得最大值，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴 轴， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
解得 ，
同理可得， ，
∴ 即 ，
解得 ，
∴ ，
∴当线段 取最大值时，点 的坐标是 ，
故选D．

11.4

【解析】
根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
解：原式= =4．
故答案为4．

12.90

【解析】
众数是在一组数据中，出现次数最多的数据．
众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现2次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．
故答案为：90．

13.

【解析】
直接利用根与系数的关系进行求解即可．
解：由题可知，m和n是 的两个根，
所以 ，
所以 ；
故答案为： ．

14.

【解析】
直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
解∶设
∵ 与 位似，原点 是位似中心，且 ．若 ，
∴位似比为 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴
故答案为：

15.

【解析】
把 代入到 可求得 的值，再把 代入双曲线函数的表达式中，可求得 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
∵直线 与双曲线 （其中 ）相交于 ， 两点，
∴
∴ ，
∴双曲线的表达式为： ， ，
∵过点 作 轴，交 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．

16.

【解析】
设 ， ，则 ，证明 ，利用相似三角形的性质求出 ，可得 ， ，利用勾股定理求出 和 ，进而可得 的长，再证明 ，可得 ，然后根据正方形的性质求出 ，即可得出答案．
解：设 ， ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

17. ， ．

【解析】
根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将 代入即可得解．
解：原式

，
当 时，原式 ．

18.(1)见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析

【解析】
（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出 ，结合角平分线的定义可得 ，则 ，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
（1）解：如图所示：
   
（2）四边形 是菱形；
理由：∵矩形 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是菱形．

19.（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）

【解析】
（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
；
（3） ，
故答案为： ；
（4）列表如下：

小明 小丽	A	B	C	D
A
B
C
D

由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题） ．

20.(1)25米
(2) 米

【解析】
（1）过D作 于M，由 可得 ，求出 的长，利用勾股定理即可求解；
（2）过点D作 于N，则四边形 是矩形，得 ， ，由已知计算得出 的长度，解直角三角形得出 的长度，在 中求得 的长度，利用线段的和差，即可解决问题．
（1）解：过D作 于M，如图：
   
在 中， ，
∵ (米)，
∴ (米)，
由勾股定理得 (米)
（2）如图，过点D作 于N，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ (米)， (米)，
由题意， (米)，
∵ ，
∴ ，
∴ (米)， （米），
由题意， ， (米)，
∴ ，
∴ (米)，
∴ 米

21.(1) ，30
(2) ， ；
(3) 或

【解析】
（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得 与 函数图象的交点坐标为 ，分别代入计算即可；
（3）由题意可得 或 ，分别计算即可．
（1）解： ， ，
故答案为： ，30；
（2）由（1）可得 与 函数图象的交点坐标为 ，
设 ， ，
将 分别代入可得： ，
解得： ， ，
∴ ， ；
（3）由题意可得 或 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
∴当上升 或 时，两个气球的海拔竖直高度差为 ．

22.(1)证明见解析
(2)

【解析】
（1）连接 ，根据弦、弧、圆周角的关系可证 ，根据圆的性质得 ，证明 ，得到 ，根据切线的判定定理证明；
（2）连接 ， ，根据勾股定理得到 的长，根据等弧对等弦得到 ，根据圆内接四边形对角互补得 ，推出 ，证明 ，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：连接 ，
     
∵点C为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 切线；
（2）解：连接 ， ，
   
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，

∴ 的半径长为 ．

23.(1) ， ；
(2) ；
(3)
(4)

【解析】
（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得 ，然后根据 ，求出 ，进而可得 ，问题得解；
（3）过点 作 直线 交于点 ，过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知 ， ，根据两点之间线段最短可得当 ， ， 三点共线时， 的值最小；待定系数法求直线 的解析式，求得点 的坐标为 ，根据点 是直线 和直线m的交点，求得点 的坐标为 ，即可求得 和 的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知 ，则 ，根据两点之间线段最短可得当 ， ， 三点共线时， 的值最小；求得 ，即可求得 的面积．
（1）解：∵抛物线 中 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：由（1）知抛物线 的焦点F的坐标为 ，
∵点 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴ ，整理得： ，
又∵ ，
∴
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：过点 作 直线 交于点 ，过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知 ， ，如图：
   
若使得 取最小值，即 的值最小，故当 ， ， 三点共线时， ，即此刻 的值最小；
∵直线 与直线 垂直，故设直线 的解析式为 ，
将 代入解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 是直线 和抛物线 的交点，
令 ，解得： ， （舍去），
故点 的坐标为 ，
∴ ，
∵点 是直线 和直线m的交点，
令 ，解得： ，
故点 的坐标为 ，
∴ ，
．
即 的最小值为 ．
（4）解：∵抛物线 中 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，
过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知 ，则 ，如图：
   
若使得 取最小值，即 的值最小，故当 ， ， 三点共线时， ，即此刻 的值最小；如图：
   
∵点 的坐标为 ， 准线 ，
∴点 的横坐标为 ，代入 解得 ，
即 ， ，
则 的面积为 ．

24.(1)
(2)
(3) 或
(4)

【解析】
（1）根据 ，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；
（2）根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出 ， ，再过点D作 ，得出 ， 解三角形即可求出 ，从而求出 ，
（3）将 绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，有两种情况，当将 绕点B在平面内逆时针旋转 ，可得点 、F恰好落在x轴， ，从而可得直线 与x轴交点的坐标；当将 绕点B在平面内逆时针旋转到 上方时，可得 ，从而得出 ， ，继而可求 ，再由 即可求出交点坐标．
（4）由已知可证明 ，进而可得 ，由此可得 ，延长 交 于H点，可得 ， ，然后由双勾股求出 ，进而求出点B坐标．
（1）解：∵ ，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为 ，
（2）∵ ，直线 轴， ，
∴ ， ，
∵点C为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由折叠可知：
∴ ，
如解（2）图，过点D作 ，
   
∴ ，
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 为 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ，
I．如图，将 绕点B在平面内逆时针旋转 ，到如解（3）-1图所示位置时，
   
∴ ，直线 轴，
∴
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴点 、F恰好落在x轴， ，
此时直线EB与x轴交点的坐标为 ，
II．如图，将 绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，，如解（3）-2图所示位置时，
   
延长 交x轴于点K，
∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，即： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 轴，
∴直线 轴，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为 ，
综上所述：将 绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线 与x轴交点的坐标为 或 ；
（4）直线 轴， 于点D，
∴ ， ，
又∵ 平分 交 于点 ，即： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的一条中线．
∴ ，即： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴设 ， ， 的周长分别为 ， ， ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长 交 于H点，如解（4）图，
   
∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴
解得： （不合题意，舍去）， ，
故 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以点B坐标为 ．