【327809】2023年黑龙江省龙东地区中考数学真题

绝密·启用前

2023年黑龙江省龙东地区中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ）
A．    
B．    
C．        
D．    

3.一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（       ）

A．4
B．5
C．6
D．7

4.已知一组数据 的平均数是1，则这组数据的众数是（       ）
A．
B．5
C． 和5
D．1和3

5.如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是（       ）
   
A．
B．
C． 或
D．

6.已知关于x的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是（       ）
A．
B．
C． 且
D． 且

7.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（       ）
A．5种
B．6种
C．7种
D．8种

8.如图， 是等腰三角形， 过原点 ，底边 轴，双曲线 过 两点，过点 作 轴交双曲线于点 ，若 ，则 的值是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

9.如图，在平面直角坐标中，矩形 的边 ，将矩形 沿直线 折叠到如图所示的位置，线段 恰好经过点 ，点 落在 轴的点 位置，点 的坐标是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

10.如图，在正方形 中，点 分别是 上的动点，且 ，垂足为 ，将 沿 翻折，得到 交 于点 ，对角线 交 于点 ，连接 ，下列结论正确的是：① ；② ；③若 ，则四边形 是菱形；④当点 运动到 的中点， ；⑤ ．（       ）
   
A．①②③④⑤
B．①②③⑤
C．①②③
D．①②⑤

11.据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________．

12.函数y= 中，自变量x的取值范围是____________．

13.如图，在矩形 中对角线 ， 交于点 ，请添加一个条件______________，使矩形 是正方形（填一个即可）

14.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．

15.关于 的不等式组 有3个整数解，则实数 的取值范围是__________．

16.如图， 是 的直径， 切 于点A， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 __________ ．

17.已知圆锥的母线长 ，侧面积 ，则这个圆锥的高是__________ ．

18.在 中， ，点 是斜边 的中点，把 绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接 ， ，在旋转的过程中， 面积的最大值是__________．

19.矩形 中， ，将矩形 沿过点 的直线折叠，使点 落在点 处，若 是直角三角形，则点 到直线 的距离是__________．

20.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在直线 上，顶点B在x轴上， 垂直 轴，且 ，顶点 在直线 上， ；过点 作直线 的垂线，垂足为 ，交x轴于 ，过点 作 垂直x轴，交 于点 ，连接 ，得到第一个 ；过点 作直线 的垂线，垂足为 ，交x轴于 ，过点 作 垂直x轴，交 于点 ，连接 ，得到第二个 ；如此下去，……，则 的面积是__________．

21.先化简，再求值： ，其中 ．

22.如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是 ， ．
   
(1)将 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到 ，请画出 ．
(2)请画出 关于 轴对称的 ．
(3)将 着原点 顺时针旋转 ，得到 ，求线段 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．

23.如图，抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ．

(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

24.某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
   
(1)这次学校抽查的学生人数是__________人；
(2)将条形图补充完整；
(3)扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________ ；
(4)如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．

25.已知甲，乙两地相距 ，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 ，货车继续出发 后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离 与货车行驶时间 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
   
(1)图中 的值是__________；
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 与行驶时间 之间的函数关系式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距 ．

26.如图①， 和 是等边三角形，连接 ，点F，G，H分别是 和 的中点，连接 ．易证： ．
若 和 都是等腰直角三角形，且 ，如图②：若 和 都是等腰三角形，且 ，如图③：其他条件不变，判断 和 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
   

27.2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．

28.如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在x轴上， ， 的长是一元二次方程 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 于点D，直线 分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿 向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿 向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
   
(1)求直线 的解析式．
(2)连接 ，求 的面积S与运动时间t的函数关系式．
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

参考答案

1.C

【解析】
分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．
解：A. ，原式计算错误；
B. ，原式计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原式计算错误．
故选：C．

2.A

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．

3.B

【解析】
在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.
解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：

所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，
故选：B．

4.C

【解析】
先根据平均数的定义列出关于 的方程，求出 的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解即可．
解：∵数据 的平均数是1，
∴ ，
解得 ，
则 ，
∴这组数据的众数是 和5，
故选：C．

5.A

【解析】
设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面积，根据花草的种植面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面积，
依题意得：
解得： ， （不合题意，舍去），
∴小路宽为 ．
故选A．

6.C

【解析】
解分式方程求出 ，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
解：分式方程去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是非负数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
故选：C．

7.B

【解析】
设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中 且 均为整数，根据题意得，
，
整理得， ，
①当 时， ，
∴
∵ 且 均为整数，
∴当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
②当 时， ，
∴
∵ 且 均为整数，
∴当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B．

8.C

【解析】
设 ，根据反比例函数的中心对称性可得 ，然后过点A作 于E，求出 ，点D的横坐标为 ，再根据 列式求出 ，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出 的值．
解：由题意，设 ，
∵ 过原点 ，
∴ ，
过点A作 于E，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，点D的横坐标为 ，
∵底边 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴点D的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
   

9.D

【解析】
首先证明 ，求出 ，连结 ，设 与 交于点F，然后求出 ，可得 ，再用含 的式子表示出 ，最后在 中，利用勾股定理构建方程求出 即可解决问题．
解：∵矩形 的边 ， ，
∴ ， ， ，
由题意知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠知 ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
连接 ，设 与 交于点F，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
由折叠知 ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标是 ，
故选：D．
   

10.B

【解析】
利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．
解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，故①正确，
将 沿 翻折，得到 ，
，
∵ ，
，故②正确，
当 时， ，
，
，即 在同一直线上，
，
，
通过翻折的性质可得 ， ，
∴ ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形，故③正确，
当点 运动到 的中点，如图，
   
设正方形 的边长为 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
在 中， ，故④错误，
，
，
， ，
，
根据翻折的性质可得 ，
，
，
，故⑤正确；
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B．

11.

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
5699万 ，
故答案为： ．

12.

【解析】
解：由题意得， ，
解得 ．

13. 或

【解析】
根据正方形的判定定理可知：邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形.
∵邻边相等的矩形是正方形，
∴可添加条件
或者∵对角线互相垂直的矩形是正方形
∴还可以添加条件

14. ##0.6

【解析】
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：列表得：

由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种，
∴恰好是一红一白的概率是 ，
故答案为： ．

15. ##

【解析】
解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得 的取值范围．
解：解不等式组 得： ，
∵关于 的不等式组 有3个整数解，
∴这3个整数解为 ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．

16.34

【解析】
首先根据等边对等角得到 ，然后利用外角的性质得到 ，利用切线的性质得到 ，最后利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 切 于点A，
∴ ，
∴ ．
故答案为：34．

17.12

【解析】
利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．
解：根据圆锥侧面积公式 变形可得 ，
根据圆锥母线公式 ，可得 ，
故答案为：12．

18. ##

【解析】
过点A作 交 的延长线于点G，求出 ，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线 的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可．
解：如图，在 中， ， ，点 是斜边 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
过点A作 交 的延长线于点G，
∴ ，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动， ，
∴点F到直线 的距离的最大值为 ，（如图，G、A、F三点共线时）
∴ 面积的最大值 ，
故答案为： ．
   

19.6或 或

【解析】
由折叠的性质可得点E在以点A为圆心， 长为半径的圆上运动，延长 交 的另一侧于点E，则此时 是直角三角形，易得点 到直线 的距离；当过点D的直线与圆相切于点E时， 是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．
解：由题意矩形 沿过点 的直线折叠，使点 落在点 处，
可知点E在以点A为圆心， 长为半径的圆上运动，
如图，延长 交 的另一侧于点E，则此时 是直角三角形，
点 到直线 的距离为 的长度，即 ，
   
当过点D的直线与圆相切与点E时， 是直角三角形，分两种情况，
①如图，过点E作 交 于点H，交 于点G，
   
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ， ，
由勾股定理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 到直线 的距离 ，
②如图，过点E作 交 于点N，交 于点M，
   
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ， ，
由勾股定理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 到直线 的距离 ，
综上，6或 或 ，
故答案为：6或 或 ．

20.

【解析】
解直角三角形得出 ， ，求出 ，证明 ， ，得出 ， ，总结得出 ，从而得出 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴点A的横坐标为 ，
∵ ，
∴点A的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴

，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴， 轴，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．

21. ，原式

【解析】
先根据分式的混合运算法则化简，然后求出 ，最后代值计算即可．
解：


，
∵ ，
∴原式 ．

22.(1)见解析
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（3）画出旋转后的图形，根据 即可得出答案．
（1）解：如图所示， 即为所求；
   
（2）如图所示， 即为所求；
（3）将 着原点 顺时针旋转 ，得到 ，
   
设 所在圆交 于点D，交 于点E，
， ，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
故线段 在旋转过程中扫过的面积为 ．

23.(1)
(2)存在，点 的坐标为 或

【解析】
（1）采用待定系数法，将点 和点 坐标直接代入抛物线 ，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段 的中点 ，且与 平行的直线上的点与点 ，点 连线组成的三角形的面积都等于 ，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．
（1）解：因为抛物线 经过点 和点 两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为： ．
（2）解：如图，设线段 的中点为 ，可知点 的坐标为 ，过点 作与 平行的直线 ，假设与抛物线交于点 ， （ 在 的左边），（ 在图中未能显示）．

设直线 的函数解析式为 ．
因为直线 经过点 和 ，所以
，
解得 ，
所以，直线 的函数解析式为： ．       
又 ，
可设直线 的函数解析式为 ，
因为直线 经过点 ，所以
．
解得 ．
所以，直线 的函数解析式为 ．
根据题意可知，
．
又 ，
所以，直线 上任意一点 与点 ，点 连线组成的 的面积都满足 ．
所以，直线 与抛物线 的交点 ， 即为所求，可得
，
化简，得
，
解得 ，
所以，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
故答案为：存在，点 的坐标为 或 ．

24.(1)40
(2)见解析
(3)
(4)220人

【解析】
（1）用A：优秀的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；
（2）先求出C：合格的人数，再补全统计图即可；
（3）用360度乘以C组对应人数占比即可得到答案；
（4）用2200乘以样本中D组对应的人数占比即可得到答案．
（1）解： 人，
∴这次学校抽查的学生人数是 人，
故答案为：40；
（2）解：由（1）得C：合格的人数为 人，
补全统计图如下所示：
   
（3）解： ，
∴扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是 ，
故答案为： ；
（4）解： 人，
∴估计该校不合格的人数为220人．

25.(1)120
(2)
(3) 或

【解析】
（1）利用待定系数法求得 的解析式，将 代入解析式，解方程即可解答；
（2）根据题意可得 的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 ，可求出装货时间，即点 的坐标，再根据货车继续出发 后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线 的解析式中 的值，最后将点B坐标代入直线 的解析式，利用待定系数法即可解答；
（3）根据（2）中直线 的解析式求得点 的坐标，结合题意，可得点 的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距 时；②出租车和货车第二次相遇后，距离 时，分别进行解答即可．
（1）解：结合图象，可得 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入解析式，可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
把 代入 ，得 ，
故答案为：120；
（2）解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 ，
可得此时出租车距离乙地为 ，
出租车距离甲地为 ，
把 代入 ，可得 ，解得 ，
货车装完货时， ，可得 ，
根据货车继续出发 后与出租车相遇，可得 （出租车的速度 货车的速度） ，
根据直线 的解析式为 ，可得出租车的速度为 ，
相遇时，货车的速度为 ，
故可设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 与行驶时间 之间的函数关系式为 ；
（3）解：把 代入 ，可得 ，解得 ，
，
，
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得 ,
，
出租车返回时的速度为 ，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距 ，
此时货车距离乙地为 ，出租车距离乙地为 ，
①出租车和货车第二次相遇前，相距 时；
可得 ，
解得 ，
②出租车和货车第二次相遇后，相距 时；
可得 ，
解得 ，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发 或 与出租车相距 ．

26.图②中 ，图③中 ，证明见解析

【解析】
图②：如图②所示，连接 ，先由三角形中位线定理得到 ， ，再证明 得到 ，则 ，进一步证明 ，即可证明 是等腰直角三角形，则 ；
图③：仿照图②证明 是等边三角形，则 ．
解：图②中 ，图③中 ，
图②证明如下：
如图②所示，连接 ，
∵点F，G分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴




，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
   
图③证明如下：
如图③所示，连接 ，
∵点F，G分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ 和 都是等腰三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴





，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
   

27.(1)A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
(2)一共有六种购买方案
(3)

【解析】
（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件 元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；
（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，求出 ，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出 ．
（1）解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件 元，
由题意得， ，
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴ ，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；
（2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，
由题意得， ，
解得 ，
∵a是正整数，
∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，
∴一共有六种购买方案；
（3）解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，
由题意得，
，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴W的取值与a的值无关，
∴ ，
∴ ．

28.(1) ；
(2) ；
(3)存在，点Q的坐标是 或 ．

【解析】
（1）过点A作 于H，解方程可得 ，然后解直角三角形求出 、 和 的长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）首先证明 是等边三角形，求出 ，然后分情况讨论：①当点N在 上，即 时，过点N作 于P，②当点N在 上，即 时，过点N作 于T，分别解直角三角形求出 和 ，再利用三角形面积公式列式即可；
（3）分情况讨论：①当 是直角边时，则 ，过点N作 于K，首先求出 ，然后解直角三角形求出 和 ，再利用平移的性质得出点Q的坐标；②当 是对角线时，则 ，过点N作 于L，证明 ，可得 ，然后解直角三角形求出 ，再利用平移的性质得出点Q的坐标．
（1）解：解方程 得： ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点A作 于H，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入 ， 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
   
（2）解：由（1）知在 中， ， ，
∴ ， ，
∵直线 与 y轴交于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
①当点N在 上，即 时，
由题意得： ， ，
过点N作 于P，
则 ，
∴ ；
   
②当点N在 上，即 时，
由题意得： ， ，
过点N作 于T，
则 ，
∴ ；
综上， ；
   
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当 是直角边时，则 ，过点N作 于K，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴将点N向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点Q，
∵ ，
∴ ；
   
②如图，当 是对角线时，则 ，过点N作 于L，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点Q，
∵ ，
∴ ；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是 或 ．