绝密·启用前
2023年黑龙江省龙东地区中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
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一、选择题 |
1.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4.已知一组数据
的平均数是1，则这组数据的众数是（ ）
A．
B．5
C．
和5
D．1和3
5.如图，在长为
，宽为
的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是
，则小路的宽是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
6.已知关于x的分式方程
的解是非负数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
7.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．5种
B．6种
C．7种
D．8种
8.如图，
是等腰三角形，
过原点
，底边
轴，双曲线
过
两点，过点
作
轴交双曲线于点
，若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.如图，在平面直角坐标中，矩形
的边
，将矩形
沿直线
折叠到如图所示的位置，线段
恰好经过点
，点
落在
轴的点
位置，点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.如图，在正方形
中，点
分别是
上的动点，且
，垂足为
，将
沿
翻折，得到
交
于点
，对角线
交
于点
，连接
，下列结论正确的是：①
；②
；③若
，则四边形
是菱形；④当点
运动到
的中点，
；⑤
．（ ）
A．①②③④⑤
B．①②③⑤
C．①②③
D．①②⑤
|
二、填空题 |
11.据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________．
12.函数y=
中，自变量x的取值范围是____________．
13.如图，在矩形
中对角线
，
交于点
，请添加一个条件______________，使矩形
是正方形（填一个即可）
14.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．
15.关于
的不等式组
有3个整数解，则实数
的取值范围是__________．
16.如图，
是
的直径，
切
于点A，
交
于点
，连接
，若
，则
__________
．
17.已知圆锥的母线长
，侧面积
，则这个圆锥的高是__________
．
18.在
中，
，点
是斜边
的中点，把
绕点
顺时针旋转，得
，点
，点
旋转后的对应点分别是点
，点
，连接
，
，在旋转的过程中，
面积的最大值是__________．
19.矩形
中，
，将矩形
沿过点
的直线折叠，使点
落在点
处，若
是直角三角形，则点
到直线
的距离是__________．
20.如图，在平面直角坐标系中，
的顶点A在直线
上，顶点B在x轴上，
垂直
轴，且
，顶点
在直线
上，
；过点
作直线
的垂线，垂足为
，交x轴于
，过点
作
垂直x轴，交
于点
，连接
，得到第一个
；过点
作直线
的垂线，垂足为
，交x轴于
，过点
作
垂直x轴，交
于点
，连接
，得到第二个
；如此下去，……，则
的面积是__________．
|
三、解答题 |
21.先化简，再求值：
，其中
．
22.如图，在平面直角坐标系中，已知
的三个顶点坐标分别是
，
．
(1)将
向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到
，请画出
．
(2)请画出
关于
轴对称的
．
(3)将
着原点
顺时针旋转
，得到
，求线段
在旋转过程中扫过的面积（结果保留
）．
23.如图，抛物线
与
轴交于
两点，交
轴于点
．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点
，使得
，若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
24.某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)这次学校抽查的学生人数是__________人；
(2)将条形图补充完整；
(3)扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________
；
(4)如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．
25.已知甲，乙两地相距
，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距
，货车继续出发
后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离
与货车行驶时间
之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中
的值是__________；
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离
与行驶时间
之间的函数关系式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距
．
26.如图①，
和
是等边三角形，连接
，点F，G，H分别是
和
的中点，连接
．易证：
．
若
和
都是等腰直角三角形，且
，如图②：若
和
都是等腰三角形，且
，如图③：其他条件不变，判断
和
之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
27.2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
28.如图，在平面直角坐标系中，菱形
的边
在x轴上，
，
的长是一元二次方程
的根，过点C作x轴的垂线，交对角线
于点D，直线
分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿
向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿
向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求直线
的解析式．
(2)连接
，求
的面积S与运动时间t的函数关系式．
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
【解析】
分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．
解：A.
，原式计算错误；
B.
，原式计算错误；
C.
，计算正确；
D.
，原式计算错误．
故选：C．
2.A
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转
，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
3.B
【解析】
在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.
解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，
故选：B．
4.C
【解析】
先根据平均数的定义列出关于
的方程，求出
的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解即可．
解：∵数据
的平均数是1，
∴
，
解得
，
则
，
∴这组数据的众数是
和5，
故选：C．
5.A
【解析】
设小路宽为
，则种植花草部分的面积等于长为
，宽为
的矩形的面积，根据花草的种植面积为
，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设小路宽为
，则种植花草部分的面积等于长为
，宽为
的矩形的面积，
依题意得：
解得：
，
（不合题意，舍去），
∴小路宽为
．
故选A．
6.C
【解析】
解分式方程求出
，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
解：分式方程去分母得：
，
解得：
，
∵分式方程
的解是非负数，
∴
，且
，
∴
且
，
故选：C．
7.B
【解析】
设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中
且
均为整数，根据题意得，
，
整理得，
，
①当
时，
，
∴
∵
且
均为整数，
∴当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；
②当
时，
，
∴
∵
且
均为整数，
∴当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B．
8.C
【解析】
设
，根据反比例函数的中心对称性可得
，然后过点A作
于E，求出
，点D的横坐标为
，再根据
列式求出
，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出
的值．
解：由题意，设
，
∵
过原点
，
∴
，
过点A作
于E，
∵
是等腰三角形，
∴
，
∴
，点D的横坐标为
，
∵底边
轴，
轴，
∴
，
∴
，
∴点D的纵坐标为
，
∴
，
∴
，
解得：
，
故选：C．
9.D
【解析】
首先证明
，求出
，连结
，设
与
交于点F，然后求出
，可得
，再用含
的式子表示出
，最后在
中，利用勾股定理构建方程求出
即可解决问题．
解：∵矩形
的边
，
，
∴
，
，
，
由题意知
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
由折叠知
，
，
∴
，
∴
，即
，
连接
，设
与
交于点F，
∴
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∴
，
由折叠知
，
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
，
解得：
，
∴点
的坐标是
，
故选：D．
10.B
【解析】
利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．
解：
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确，
将
沿
翻折，得到
，
，
∵
，
，故②正确，
当
时，
，
，
，即
在同一直线上，
，
，
通过翻折的性质可得
，
，
∴
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
平行四边形
是菱形，故③正确，
当点
运动到
的中点，如图，
设正方形
的边长为
，则
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，故④错误，
，
，
，
，
，
根据翻折的性质可得
，
，
，
，故⑤正确；
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B．
11.
【解析】
科学记数法的表示形式为
的形式，其中
，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同
当原数绝对值
时，n是正数；当原数的绝对值
时，n是负数．
5699万
，
故答案为：
．
12.
13.
或
【解析】
根据正方形的判定定理可知：邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形.
∵邻边相等的矩形是正方形，
∴可添加条件
或者∵对角线互相垂直的矩形是正方形
∴还可以添加条件
14.
##0.6
【解析】
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：列表得：
|
红1 |
红2 |
红3 |
白1 |
白2 |
红1 |
|
（红1，红2） |
（红1，红3） |
（红1，白1） |
（红1，白2） |
红2 |
（红2，红1） |
|
（红2，红3） |
（红2，白1） |
（红2，白2） |
红3 |
（红3，红1） |
（红3，红2） |
|
（红3，白1） |
（红3，白2） |
白1 |
（白1，红1） |
（白1，红2） |
（白1，红3） |
|
（白1，白2） |
白2 |
（白2，红1） |
（白2，红2） |
（白2，红3） |
（白2，白1） |
|
由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种，
∴恰好是一红一白的概率是
，
故答案为：
．
15.
##
【解析】
解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得
的取值范围．
解：解不等式组
得：
，
∵关于
的不等式组
有3个整数解，
∴这3个整数解为
，
，
，
∴
，
解得：
，
故答案为：
．
16.34
【解析】
首先根据等边对等角得到
，然后利用外角的性质得到
，利用切线的性质得到
，最后利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
切
于点A，
∴
，
∴
．
故答案为：34．
17.12
【解析】
利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．
解：根据圆锥侧面积公式
变形可得
，
根据圆锥母线公式
，可得
，
故答案为：12．
18.
##
【解析】
过点A作
交
的延长线于点G，求出
，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心
的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线
的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可．
解：如图，在
中，
，
，点
是斜边
的中点，
∴
，
，
，
∴
，
过点A作
交
的延长线于点G，
∴
，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心
的长为半径的圆上运动，
，
∴点F到直线
的距离的最大值为
，（如图，G、A、F三点共线时）
∴
面积的最大值
，
故答案为：
．
19.6或
或
【解析】
由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，
长为半径的圆上运动，延长
交
的另一侧于点E，则此时
是直角三角形，易得点
到直线
的距离；当过点D的直线与圆相切于点E时，
是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．
解：由题意矩形
沿过点
的直线折叠，使点
落在点
处，
可知点E在以点A为圆心，
长为半径的圆上运动，
如图，延长
交
的另一侧于点E，则此时
是直角三角形，
点
到直线
的距离为
的长度，即
，
当过点D的直线与圆相切与点E时，
是直角三角形，分两种情况，
①如图，过点E作
交
于点H，交
于点G，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∵
，
，
，
由勾股定理可得
，
∵
，
∴
，
∴
到直线
的距离
，
②如图，过点E作
交
于点N，交
于点M，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∵
，
，
，
由勾股定理可得
，
∵
，
∴
，
∴
到直线
的距离
，
综上，6或
或
，
故答案为：6或
或
．
20.
【解析】
解直角三角形得出
，
，求出
，证明
，
，得出
，
，总结得出
，从而得出
．
解：∵
，
∴
，
∵
轴，
∴点A的横坐标为
，
∵
，
∴点A的纵坐标为
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴设
，则
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
平分
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
轴，
轴，
∴
，
，
∵
轴，
轴，
轴，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
同理
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
21.
，原式
【解析】
先根据分式的混合运算法则化简，然后求出
，最后代值计算即可．
解：
，
∵
，
∴原式
．
22.(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】
（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（3）画出旋转后的图形，根据
即可得出答案．
（1）解：如图所示，
即为所求；
（2）如图所示，
即为所求；
（3）将
着原点
顺时针旋转
，得到
，
设
所在圆交
于点D，交
于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故线段
在旋转过程中扫过的面积为
．
23.(1)
(2)存在，点
的坐标为
或
【解析】
（1）采用待定系数法，将点
和点
坐标直接代入抛物线
，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段
的中点
，且与
平行的直线上的点与点
，点
连线组成的三角形的面积都等于
，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．
（1）解：因为抛物线
经过点
和点
两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为：
．
（2）解：如图，设线段
的中点为
，可知点
的坐标为
，过点
作与
平行的直线
，假设与抛物线交于点
，
（
在
的左边），（
在图中未能显示）．
设直线
的函数解析式为
．
因为直线
经过点
和
，所以
，
解得
，
所以，直线
的函数解析式为：
．
又
，
可设直线
的函数解析式为
，
因为直线
经过点
，所以
．
解得
．
所以，直线
的函数解析式为
．
根据题意可知，
．
又
，
所以，直线
上任意一点
与点
，点
连线组成的
的面积都满足
．
所以，直线
与抛物线
的交点
，
即为所求，可得
，
化简，得
，
解得
，
所以，点
的坐标为
，点
的坐标为
．
故答案为：存在，点
的坐标为
或
．
24.(1)40
(2)见解析
(3)
(4)220人
【解析】
（1）用A：优秀的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；
（2）先求出C：合格的人数，再补全统计图即可；
（3）用360度乘以C组对应人数占比即可得到答案；
（4）用2200乘以样本中D组对应的人数占比即可得到答案．
（1）解：
人，
∴这次学校抽查的学生人数是
人，
故答案为：40；
（2）解：由（1）得C：合格的人数为
人，
补全统计图如下所示：
（3）解：
，
∴扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是
，
故答案为：
；
（4）解：
人，
∴估计该校不合格的人数为220人．
25.(1)120
(2)
(3)
或
【解析】
（1）利用待定系数法求得
的解析式，将
代入解析式，解方程即可解答；
（2）根据题意可得
的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距
，可求出装货时间，即点
的坐标，再根据货车继续出发
后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线
的解析式中
的值，最后将点B坐标代入直线
的解析式，利用待定系数法即可解答；
（3）根据（2）中直线
的解析式求得点
的坐标，结合题意，可得点
的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距
时；②出租车和货车第二次相遇后，距离
时，分别进行解答即可．
（1）解：结合图象，可得
，
设直线
的解析式为
，
将
代入解析式，可得
，解得
，
直线
的解析式为
，
把
代入
，得
，
故答案为：120；
（2）解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距
，
可得此时出租车距离乙地为
，
出租车距离甲地为
，
把
代入
，可得
，解得
，
货车装完货时，
，可得
，
根据货车继续出发
后与出租车相遇，可得
（出租车的速度
货车的速度）
，
根据直线
的解析式为
，可得出租车的速度为
，
相遇时，货车的速度为
，
故可设直线
的解析式为
，
将
代入
，可得
，解得
，
直线
的解析式为
，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离
与行驶时间
之间的函数关系式为
；
（3）解：把
代入
，可得
，解得
，
，
，
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得
,
，
出租车返回时的速度为
，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距
，
此时货车距离乙地为
，出租车距离乙地为
，
①出租车和货车第二次相遇前，相距
时；
可得
，
解得
，
②出租车和货车第二次相遇后，相距
时；
可得
，
解得
，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发
或
与出租车相距
．
26.图②中
，图③中
，证明见解析
【解析】
图②：如图②所示，连接
，先由三角形中位线定理得到
，
，再证明
得到
，则
，进一步证明
，即可证明
是等腰直角三角形，则
；
图③：仿照图②证明
是等边三角形，则
．
解：图②中
，图③中
，
图②证明如下：
如图②所示，连接
，
∵点F，G分别是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
同理可得
，
∵
和
都是等腰直角三角形，且
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
；
图③证明如下：
如图③所示，连接
，
∵点F，G分别是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
同理可得
，
∵
和
都是等腰三角形，且
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
．
27.(1)A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
(2)一共有六种购买方案
(3)
【解析】
（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件
元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫
件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；
（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫
件，求出
，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出
．
（1）解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件
元，
由题意得，
，
解得
，
检验，当
时，
，
∴
是原方程的解，
∴
，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；
（2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫
件，
由题意得，
，
解得
，
∵a是正整数，
∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，
∴一共有六种购买方案；
（3）解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫
件，
由题意得，
，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴W的取值与a的值无关，
∴
，
∴
．
28.(1)
；
(2)
；
(3)存在，点Q的坐标是
或
．
【解析】
（1）过点A作
于H，解方程可得
，然后解直角三角形求出
、
和
的长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）首先证明
是等边三角形，求出
，然后分情况讨论：①当点N在
上，即
时，过点N作
于P，②当点N在
上，即
时，过点N作
于T，分别解直角三角形求出
和
，再利用三角形面积公式列式即可；
（3）分情况讨论：①当
是直角边时，则
，过点N作
于K，首先求出
，然后解直角三角形求出
和
，再利用平移的性质得出点Q的坐标；②当
是对角线时，则
，过点N作
于L，证明
，可得
，然后解直角三角形求出
，再利用平移的性质得出点Q的坐标．
（1）解：解方程
得：
，
，
∴
，
∵四边形
是菱形，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
过点A作
于H，
∵
，
∴
，
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
代入
，
得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
；
（2）解：由（1）知在
中，
，
，
∴
，
，
∵直线
与
y轴交于点E，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
①当点N在
上，即
时，
由题意得：
，
，
过点N作
于P，
则
，
∴
；
②当点N在
上，即
时，
由题意得：
，
，
过点N作
于T，
则
，
∴
；
综上，
；
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当
是直角边时，则
，过点N作
于K，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴将点N向左平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度得到点Q，
∵
，
∴
；
②如图，当
是对角线时，则
，过点N作
于L，
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移
个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移
个单位长度得到点Q，
∵
，
∴
；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是
或
．
