绝密·启用前

2023年黑龙江省大庆市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.搭载神舟十六号载人飞船的长征二号 遥十六运载火箭于 年 月 日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮 名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（        ）
A．    
B．    
C．         
D．    

3.大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

4.一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（       ）
   
A．    
B．    
C．
D．    

5.已知 ， ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（       ）
   
A．9，9，
B．9，9，
C．8，8，
D．9，8，

7.下列说法正确的是（       ）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差

8.端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（       ）
A．
B．
C．
D．

9.将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若 ， ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

10.如图1，在平行四边形 中， ，已知点 在边 上，以1m/s的速度从点 向点 运动，点 在边 上，以 的速度从点 向点 运动．若点 ， 同时出发，当点 到达点 时，点 恰好到达点 处，此时两点都停止运动．图2是 的面积 与点 的运动时间 之间的函数关系图象（点 为图象的最高点），则平行四边形 的面积为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）．

12.一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为________．

13.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片 如图所示，点 在边 上，现将矩形折叠，折痕为 ，点 对应的点记为点 ，若点 恰好落在边 上，则图中与 一定相似的三角形是________．
   

14.已知 ，则x的值为_____．

15.新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________．

16.若关于 的不等式组 有三个整数解，则实数 的取值范围为________．

17.1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
       
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， 展开的多项式中各项系数之和为____．

18.如图，在 中，将 绕点A顺时针旋转 至 ，将 绕点A逆时针旋转 至 ，得到 ，使 ，我们称 是 的“旋补三角形”， 的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________．

① 与 面积相同；
② ；
③若 ，连接 和 ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.先化简，再求值： ，其中 ．

21.为营造良好体育运动氛围，某学校用 元购买了一批足球，又用 元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的 倍，但单价降了 元，请问该学校两批共购买了多少个足球?

22.某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点 出发，途经点 后到达山顶 ，其中 米， 米，且 段的运行路线与水平方向的夹角为 ， 段的运行路线与水平方向的夹角为 ，求垂直高度 ．（结果精确到 米，参考数据： ， ， ）
   

23.为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
       
(1)本次接受调查的学生人数为________，扇形统计图中的 ________；
(2)求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
(3)学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．

24.如图，在平行四边形 中， 为线段 的中点，连接 ， ，延长 ， 交于点 ，连接 ， ．

(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．

25.一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，点 的坐标为 ．
   
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)过动点 作 轴的垂线 ， 与一次函数 和反比例函数 的图象分别交于 ， 两点，当 在 的上方时，请直接写出 的取值范围．

26.某建筑物的窗户如图所示，上半部分 是等腰三角形， ， ，点 、 、 分别是边 、 、 的中点；下半部分四边形 是矩形， ，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设 米， 米．

(1)求 与 之间的函数关系式，并求出自变量 的取值范围；
(2)当 为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．

27.如图， 是 的直径，点 是圆上的一点， 于点 ， 交 于点 ，连接 ，若 平分 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，延长 ， 交于点 ．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的值．

28.如图，二次函数 的图象与 轴交于A， 两点，且自变量 的部分取值与对应函数值 如下表：

                                                            备用图
(1)求二次函数 的表达式；
(2)若将线段 向下平移，得到的线段与二次函数 的图象交于 ， 两点（ 在 左边）， 为二次函数 的图象上的一点，当点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 时，求 的值；
(3)若将线段 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数 的图象只有一个交点，其中 为常数，请直接写出 的取值范围．

参考答案

1.B

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解： 的相反数是 ，
故选：B．

2.C

【解析】
根据中心对称图形的定义判断即可．
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为： ．

3.A

【解析】
科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数．
解：数字1268000000用科学记数法表示为： ，
故选：A．

4.A

【解析】
根据几何体三视图的画法解答．
解：该几何体的俯视图是    ，
故选：A．

5.D

【解析】
由 ， ，得出 ，再逐项分析即可得到答案．
解： ，
同号，
，
，
A. 在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B. 在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C. 在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D. 在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；
故选：D．

6.B

【解析】
利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，
出现次数最多的数是9，所以众数为9，
位于中间位置的数是9，所以中位数是9，
平均数为
故选：B．

7.C

【解析】
根据正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念对各选项进行判断，选出正确答案即可．
解：A、一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；
故选：C．

8.A

【解析】
设粽子的成本为a元，设降价幅度为x，根据降价出售后不亏本即售价不低于进价列出不等式，解不等式即可得到答案．
解：设粽子的成本为a（a是常数且 ）元，设降价幅度为x，
则 ，
解得 ，
即为了不亏本，降价幅度最多为 ．
故选：A．

9.D

【解析】
由题意可得 ，由菱形的性质可得 ，由平行线的性质可得 ，进行计算即可得到答案．
解：根据题意可得： ，
四边形 为菱形，
，
，

，
，
故选：D．

10.C

【解析】
根据题意可得： ， ，设 ，则 ，作 交 的延长线于点 ，作 交 的延长线于点 ，则可得 ， ，从而得到 ，根据 的最大值为3，求出 的值，从而得到 ，最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．
解：根据题意可得： ， ，
设 ，则 ，
作 交 的延长线于点 ，作 交 的延长线于点 ，
   ，
，
，
， ，
，
由图象可得 的最大值为3，
，
解得： 或 （舍去），
，
，
平行四边形 的面积为： ，
故选：C．

11.抽样调查

【解析】
根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可．
解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．

12.

【解析】
根据圆锥的体积= ×底面积×高，即可求解．
解：∵圆锥的底面半径为5，高为12，
∴它的体积 ，
故答案为： ．

13.

【解析】
由矩形的性质得 ，从而得到 ，由折叠的性质可得： ，从而得到 ，由此推断出 ．
解： 四边形 是矩形，
，
，
由折叠的性质可得： ，
，
，
，
，
故答案为： ．

14. ，1，3

【解析】
由已知可分三种情况：当 时， ；当 时， ；当 时， ，此时 ，等式成立．
解：∵ ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，此时 ，等式成立；
故答案为： ，1，3．

15.

【解析】
表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
解：根据题意列出表格如下：

	思想政治	地理	化学	生物
思想政治		思想政治，地理	思想政治，化学	思想政治，生物
地理	地理，思想政治		地理，化学	地理，生物
化学	化学，思想政治	化学，地理		化学，生物
生物	生物，思想政治	生物，地理	生物，化学

由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果，
某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为： ，
故答案为： ．

16.

【解析】
首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于 的不等式组求得 的范围．

解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为 ，0、1，
则 ，
解得 ．
故答案为： ．

17.

【解析】
仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
根据题意得： 展开后系数为： ，
系数和： ，
展开后系数为： ，
系数和： ，
展开后系数为： ，
系数和： ，
故答案为： ．

18.①②③

【解析】
延长 ，并截取 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，根据 ， ，得出 ，证明 ，得出 ，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出 ，根据 ，得出 ，判断②正确；根据 时， ，
得出 ， ， ， ，根据四边形内角和得出
，求出 ，判断③正确；根据②可知， ，根据勾股定理得出 ，求出 ，判断④错误．
解：延长 ，并截取 ，连接 ，如图所示：

∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据旋转可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 面积相同，故①正确；
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
当 时， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故③正确；

∵ ，
∴根据②可知， ，
∵当 时， ， 为中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．

19.1

【解析】
首先去绝对值符号、代入特殊角的三角函数值以及负整数幂的运算，然后进行加减法．
解：原式＝﹣1+ ﹣2× +2
＝﹣1+ +2
=1．

20. ，

【解析】
先通分，再计算加减，再把 代入进行计算即可．
解：





，
当 时，原式 ．

21. ．

【解析】
设第一批足球单价为 元，则第二批足球单价为 元，再根据题意列出分式方程即可．
设第一批足球单价为 元，则第二批足球单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
则第二批足球单价为： ，
∴该学校两批共购买了 ，
答：该学校两批共购买了 个．

22.垂直高度 约为 米

【解析】
过点 作 于 ，作 于 ，则四边形 为矩形，在 中利用正弦函数求出 长度，在 中， ，可以求出 长度，即可求出 ．
解：过点 作 于 ，作 于 ，则四边形 为矩形，
   
，
在 中， ， ，
则 （米），
米，
在 中， ， 米，
则 米，
米．
答：垂直高度 约为 米．

23.(1)40，25
(2)7
(3)我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人

【解析】
（1）直接根据条形统计图和扇形统计图中的数据进行计算即可；
（2）根据平均数的定义进行计算即可得到答案；
（3）先求出本学期参加志愿服务不少于7次的学生人数所占的百分比，再乘以1000，即可得到答案．
（1）解：根据题意可得：
本次接受调查的学生人数为： （人），
扇形统计图中的 的值为： ，
故答案为：40，25；
（2）解：根据题意可得：
所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为： （次）；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人．

24.(1)证明，见解析
(2)

【解析】
（1）根据平行四边形的性质，得 ，根据平行线的性质，得 ， ；再根据 为线段 的中点，全等三角形的判定，则 ，根据矩形的判定，即可；
（2）过点 作 于点 ，根据勾股定理，求出 的长，再根据四边形 的面积等于 ，即可．
（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形．
（2）过点 作 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积等于 ，
∵ ， ，
∵点 是对角线的中心，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 的面积为： ．

25.(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为
(2)
(3) 或

【解析】
（1）把 分别代入一次函数和反比例函数求出 的值即可得到答案；
（2）联立 求出点 的坐标，令直线 与 交于点 ，由直线 求出点 的坐标，最后由 ，进行计算即可得到答案；
（3）直接由函数图象即可得到答案．
（1）解：把 代入一次函数 ，
得 ，
解得： ，
一次函数的解析式为： ，
把 代入反比例函数 ，
得 ，
解得： ，
反比例函数的解析式为： ；
（2）解：联立 ，
解得： 或 ，
，
令直线 与 交于点 ，如图，
   ，
当 时， ，
解得： ，
，

（3）解：由图象可得：
       ，
当 在 的上方时， 的取值范围为： 或 ．

26.(1)
(2)当 时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为 ．

【解析】
（1）由 可表示出 的长，由 ， 可表示出 ， ， ， ， ， 的长，进而可求出 与 之间的函数关系式；
（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答．
（1）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， 是边 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵点 、 、 分别是边 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设面积为S，
则

，
∴当 时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为 ．

27.(1)证明，见解析
(2)证明，见解析
(3)

【解析】
（1）连接 ，根据 平分 ，则 ，根据 ，得 ，根据平行线的判定和性质，即可；
（2）由（1）得， ，根据 ， ，相似三角形的判定和性质，即可；
（3）根据 ，则 ，设 的半径为 ，则 ，根据勾股定理求出 ；根据 ， ，根据勾股定理求出 ，再根据 ，在根据勾股定理求出 ，根据 ，即可．
（1）连接
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
   
（2）证明，如下：
由（1）得， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵ ，
∴ ，
设 的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．

28.(1)
(2)
(3) 且 或

【解析】
（1）利用待定系数法求出二次函数 的表达式即可；
（2）连接 ， ，过点R作 交 的延长线于点M，分别表示出 、 的长，根据正切的定义即可得到 的值；
（3）分 和 两种情况讨论求解即可．
（1）解：由表格可知，二次函数 的图象经过点 ， ， ，代入 得到
，
解得 ，
∴二次函数 的表达式为 ；
（2）如图，连接 ， ，过点R作 交 的延长线于点M，

∵点 的横坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵点P与点Q关于直线 对称，
设点 ，
则 ，解得 ，
∴点P的坐标为 ，
当 时， ，
即 ，
则 ，
∴ ，
，
∴ ，
即 的值为 ；
（3）由表格可知点 、 ，
将线段 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到 、 ，
由题意可得，二次函数 ，与线段 只有一个交点，
当 时，抛物线 开口向上，顶点 在 下方，
当 时， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
此时满足题意，
当 时，抛物线 开口向下，顶点 在 上时， ，
解得 ，
此时满足题意，
将点 代入 得到 ，解得 ，
将点 代入 得到 ，解得 ，
∴ ，此时满足题意，

综上可知， 且 或 ．