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2023年河北省中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.代数式 的意义可以是（       ）
A． 与x的和
B． 与x的差
C． 与x的积
D． 与x的商

2.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，则淇淇家位于西柏坡的（       ）
   
A．南偏西 方向
B．南偏东 方向
C．北偏西 方向
D．北偏东 方向

3.化简 的结果是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

5.四边形 的边长如图所示，对角线 的长度随四边形形状的改变而变化．当 为等腰三角形时，对角线 的长为（       ）
   
A．2
B．3
C．4
D．5

6.若k为任意整数，则 的值总能（       ）
A．被2整除
B．被3整除
C．被5整除
D．被7整除

7.若 ，则 （       ）
A．2
B．4
C．
D．

8.综合实践课上，嘉嘉画出 ，利用尺规作图找一点C，使得四边形 为平行四边形．图1~图3是其作图过程．

（1）作 的垂直平分线交 于点O；

（2）连接 ，在 的延长线上截取 ；

（3）连接 ， ，则四边形 即为所求．

在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（       ）
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等

9.如图，点 是 的八等分点．若 ，四边形 的周长分别为a，b，则下列正确的是(       )
   
A．
B．
C．
D．a，b大小无法比较

10.光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 ．下列正确的是（       ）
A．
B．
C． 是一个12位数
D． 是一个13位数

11.如图，在 中， ，点M是斜边 的中点，以 为边作正方形 ，若 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．12
D．16

12.如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至还需再放这样的正方体（       ）
   
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

13.在 和 中， ．已知 ，则 （       ）
A．
B．
C． 或
D． 或

14.如图是一种轨道示意图，其中 和 均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且 ．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 和 ．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

15.如图，直线 ，菱形 和等边 在 ， 之间，点A，F分别在 ， 上，点B，D，E，G在同一直线上：若 ， ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

16.已知二次函数 和 （m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（       ）
A．2
B．
C．4
D．

评卷人 得分

二、填空题

17.如图，已知点 ，反比例函数 图像的一支与线段 有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．
   

18.根据下表中的数据，写出a的值为_______．b的值为_______．

x 结果 代数式	2	n
	7	b
	a	1

19.将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） ______度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为______（结果保留根号）．
   

评卷人 得分

三、解答题

20.某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：

投中位置	A区	B区	脱靶
一次计分（分）	3	1

在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
   
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．

21.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示 ．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为 ．

(1)请用含a的式子分别表示 ；当 时，求 的值；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．

22.某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
   
(1)求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于 分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？

23.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分．
   
(1)写出 的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．

24.装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以 为直径的半圆 ， ，如图1和图2所示， 为水面截线， 为台面截线， ．
计算：在图1中，已知 ，作 于点 ．
（1）求 的长．
操作：将图1中的水面沿 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当 时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为 ， 与半圆的切点为 ，连接 交 于点 ．
   
探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段 与 的长度，并比较大小．

25.在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点 移动到点 称为一次甲方式：从点 移动到点 称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点 ；若都按乙方式，最终移动到点 ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 ．
   
(1)设直线 经过上例中的点 ，求 的解析式；并直接写出将 向上平移9个单位长度得到的直线 的解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 ．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示 ；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为 ，在图中直接画出 的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线 上分别有一个动点 ，横坐标依次为 ，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．

26.如图1和图2，平面上，四边形 中， ，点 在 边上，且 ．将线段 绕点 顺时针旋转 到 的平分线 所在直线交折线 于点 ，设点 在该折线上运动的路径长为 ，连接 ．
   
(1)若点 在 上，求证： ；
(2)如图2．连接 ．
①求 的度数，并直接写出当 时， 的值；
②若点 到 的距离为 ，求 的值；
(3)当 时，请直接写出点 到直线 的距离．（用含 的式子表示）．

参考答案

1.C

【解析】
根据代数式赋予实际意义即可解答．
解： 的意义可以是 与x的积．
故选C．

2.D

【解析】
根据方向角的定义可得答案．
解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东 方向．
   
故选D．

3.A

【解析】
根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．
解： ，
故选：A．

4.B

【解析】
根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．
解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到的花色是黑桃的概率为 ，抽到的花色是红桃的概率为 ，抽到的花色是梅花的概率为 ，抽到的花色是方片的概率为 ，
∴抽到的花色可能性最大的是红桃，
故选B．

5.B

【解析】
利用三角形三边关系求得 ，再利用等腰三角形的定义即可求解．
解：在 中， ，
∴ ，即 ，
当 时， 为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若 时， 为等腰三角形，
故选：B．

6.B

【解析】
用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
解：

，
能被3整除，
∴ 的值总能被3整除，
故选：B．

7.A

【解析】
把 代入计算即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
故选：A．

8.C

【解析】
根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
解：根据图1，得出 的中点 ，图2，得出 ，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形 为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．

9.A

【解析】
连接 ，依题意得 ， ， 的周长为 ，四边形 的周长为 ，故 ，根据 的三边关系即可得解．
连接 ，
   
∵点 是 的八等分点，即
∴ ，
∴
又∵ 的周长为 ，
四边形 的周长为 ，
∴

在 中有
∴
故选A．

10.D

【解析】
根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．

11.B

【解析】
根据正方形的面积可求得 的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边 的长，利用勾股定理求得 的长，根据三角形的面积公式即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 中，点M是斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．

12.B

【解析】
利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案．
解：由题意画出草图，如图，
   
平台上至还需再放这样的正方体2个，
故选：B．

13.C

【解析】
过A作 于点D，过 作 于点 ，求得 ，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
   
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
   
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
综上， 的值为 或 ．
故选：C．

14.D

【解析】
设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为 ，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离是直径 ，当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是 ，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离是直径 ，保持不变，
当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．

15.C

【解析】
如图，由平角的定义求得 ，由外角定理求得， ，根据平行性质，得 ，进而求得 ．
如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴        
故选：C．
   

16.A

【解析】
先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
解：令 ，则 和 ，
解得 或 或 或 ，
不妨设 ，
∵ 和 关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
   
∴ 与原点关于点 对称，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∵抛物线 的对称轴为 ，抛物线 的对称轴为 ，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．

17.4（答案不唯一，满足 均可）

【解析】
先分别求得反比例函数 图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
解：当反比例函数 图像过 时， ；
当反比例函数 图像过 时， ；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足 均可）．

18.         

【解析】
把 代入得 ，可求得a的值；把 分别代入 和 ，据此求解即可．
解：当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
∴ ，
故答案为： ；

19.         

【解析】
（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；
（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求 ，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出 即可求解．
解：（1）作图如下：
   
根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得 ，
，
故答案为： ；
（2）取中间正六边形的中心为 ，作如下图形，
   
由题意得： ， , ，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
在 中， ，
由图1知 ，
由正六边形的结构特征知： ，
，
，
，
又 ，
，

故答案为： ．

20.(1)珍珍第一局的得分为6分；
(2) ．

【解析】
（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
（1）解：由题意得 (分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得 ，
解得： ．

21.(1) ， ，当 时，
(2) ，理由见解析

【解析】
（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到 ， ，将 代入用 a表示 的等式中求值即可；
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， ；
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．

22.(1)中位数为 分，平均数为 分，不需要整改
(2)监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由 分变成4分

【解析】
（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可；
（2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解．
（1）解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；
∴客户所评分数的中位数为： (分)
由统计图可知，客户所评分数的平均数为： (分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
（2）设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：

解得：
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵ ，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由 分变成4分．

23.(1) 的最高点坐标为 ， ， ；
(2)符合条件的n的整数值为4和5．

【解析】
（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令 ，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为 ，求得n的取值范围，即可求解．
（1）解：∵抛物线 ，
∴ 的最高点坐标为 ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，解得： ，
∴抛物线 的解析式为 ，令 ，则 ；
（2）解：∵到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为 ，
当经过 时， ，
解得 ；
当经过 时， ，
解得 ；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．

24.（1） ；（2） ；（3） ， ， ．

【解析】
（1）连接 ，利用垂径定理计算即可；
（2）由切线的性质证明 进而得到 ，利用锐角三角函数求 ，再与（1）中 相减即可；
（3）由半圆的中点为 得到 ，得到 分别求出线段 与 的长度，再相减比较即可．
解：（1）连接 ，
∵ 为圆心， 于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，
．
   
（2）∵ 与半圆的切点为 ，
∴
∵
∴ 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴操作后水面高度下降高度为：
．
（3）∵ 于点 ，
∴ ，
∵半圆的中点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ．

25.(1) 的解析式为 ； 的解析式为 ；
(2)① ；② 的解析式为 ，图象见解析；
(3)

【解析】
（1）根据待定系数法即可求出 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线 的解析式；
（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为 ，再得出点 按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线 的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线 的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果．
（1）设 的解析式为 ，把 、 代入，得
，解得： ，
∴ 的解析式为 ；
将 向上平移9个单位长度得到的直线 的解析式为 ；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了 次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为 ；
∴点 按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ；
②由于 ，
∴直线 的解析式为 ；
函数图象如图所示：
   
（3）∵点 的横坐标依次为 ，且分别在直线 上，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把A、B两点坐标代入，得
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴ ，
整理得： ；
即a，b，c之间的关系式为： ．

26.(1)见解析
(2)① ， ；② 或
(3)

【解析】
（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到 ， ，然后证明出 ，即可得到 ；
（2）①首先根据勾股定理得到 ，然后利用勾股定理的逆定理即可求出 ；首先画出图形，然后证明出 ，利用相似三角形的性质求出 ， ，然后证明出 ，利用相似三角形的性质得到 ，进而求解即可；
②当 点在 上时， ， ，分别求得 ，根据正切的定义即可求解；②当 在 上时，则 ，过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，证明 ，得出 ， ，进而求得 ，证明 ，即可求解；
（3）如图所示，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，证明 ，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）∵将线段 绕点 顺时针旋转 到 ，
∴
∵ 的平分线 所在直线交折线 于点 ，
∴
又∵
∴
∴ ；
（2）①∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
如图所示，当 时，
   
∵ 平分
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，即
∴解得
∴ ．
②如图所示，当 点在 上时， ，
   
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ；
如图所示，当 在 上时，则 ，过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，
   
∵ ，
∴ ，
∴
∴
即
∴ ， ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴
∴
解得：
∴ ，
综上所述， 的值为 或 ；
（3）解：∵当 时，
∴ 在 上，
如图所示，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，设 ，
即
∴ ，
∴
整理得
即点 到直线 的距离为 ．