【327796】2022年重庆市中考数学真题B卷

绝密·启用前

2022年重庆市中考数学真题(B卷)

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1. 的相反数是（   ）
A．
B．2
C．
D．

2.下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.如图，直线 ，直线m与a，b相交，若 ，则 的度数为（       ）

A．115°
B．105°
C．75°
D．65°

4.如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为（       ）

A．3时
B．6时
C．9时
D．12时

5.如图， 与 位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则 与 的周长之比是（       ）

A．1∶2
B．1∶4
C．1∶3
D．1∶9

6.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（       ）

A．15
B．13
C．11
D．9

7.估计 的值在（       ）
A．6到7之间
B．5到6之间
C．4到5之间
D．3到4之间

8.学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

9.如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点O． E、F分别为 、 上一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数为（       ）

A．50°
B．55°
C．65°
D．70°

10.如图， 是 的直径，C为 上一点，过点C的切线与 的延长线交于点P，若 ，则 的长为（       ）

A．
B．
C．
D．3

11.关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为 ，则所有满足条件的整数a的值之和是（       ）
A．13
B．15
C．18
D．20

12.对多项式 任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如： ， ，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（       ）
A．0
B．1
C．2
D．3

13. _________．

14.不透明的袋子中装有 个红球和 个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是________．

15.如图，在矩形 中， ， ，以B为圆心， 的长为半径画弧，交 于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留 ）

16.特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________．

17.计算：
(1) ；
(2) ．

18.我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为 ．想法是：以 为边作矩形 ，点A在边 上，再过点A作 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作 的垂线 交 于点D．（只保留作图痕迹）

在 和 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴______①____．
∵ ，
∴______②_____．
又∵____③______．
∴ （ ）．
同理可得：_____④______．
．

19.在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（阅读时长记为x， ，记为6； ，记为7； ，记为8；…以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，
七年级抽取的学生课外阅读时长：
6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11，

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ______________， ______________， ______________．
(2)该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数．
(3)根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由，（写出一条理由即可）

20.反比例函数 的图象如图所示，一次函数 （ ）的图象与 的图象交于 ， 两点，

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式 的解集；
(3)一次函数 的图象与x轴交于点C，连接 ，求 的面积．

21.为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？

22.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．

(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据： ）；
(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）

23.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵ ，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵ ，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且 ．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 ，最小的两位数记为 ，若 为整数，求出满足条件的所有数A．

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线 上方抛物线上一动点，过点P作 轴于点Q，交 于点M，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点 与点P关于抛物线 的对称轴对称．将抛物线 向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、 、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．

25.在 中， ， ，D为 的中点，E，F分别为 ， 上任意一点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转90°得到线段 ，连接 ， ．

(1)如图1，点E与点C重合，且 的延长线过点B，若点P为 的中点，连接 ，求 的长；
(2)如图2， 的延长线交 于点M，点N在 上， 且 ，求证： ；
(3)如图3，F为线段 上一动点，E为 的中点，连接 ，H为直线 上一动点，连接 ，将 沿 翻折至 所在平面内，得到 ，连接 ，直接写出线段 的长度的最小值．

参考答案

1.B

【解析】
根据相反数的定义可得结果．
因为-2+2=0，所以-2的相反数是2，
故选：B．

2.C

【解析】
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
A.不是轴对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.是轴对称图形，故C正确；
D.不是轴对称图形，故D错误．
故选：C．

3.A

【解析】
根据两直线平行，同位角相等即可求得结果．
∵ ，
∴ =115°（两直线平行同位角相等），
故选：A．

4.C

【解析】
分析图象的变化趋势和位置的高低，即可求出答案．
解：∵ 观察小颖0到12时的心跳速度变化图，可知大约在9时图象的位置最高，
∴在0到12时内心跳速度最快的时刻约为9时，
故选：C

5.A

【解析】
根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
解：∵ 与 位似
∴
∵ 与 的位似比是1:2
∴ 与 的相似比是1:2
∴ 与 的周长比是1:2
故选：A．

6.C

【解析】
根据第①个图案中菱形的个数： ；第②个图案中菱形的个数： ；第③个图案中菱形的个数： ；…第n个图案中菱形的个数： ，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
解：∵第①个图案中菱形的个数： ；
第②个图案中菱形的个数： ；
第③个图案中菱形的个数： ；
…
第n个图案中菱形的个数： ，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为： ，故C正确．
故选：C．

7.D

【解析】
根据49＜54＜64，得到 ，进而得到 ，即可得到答案．
解：∵49＜54＜64，
∴ ，
∴ ，即 的值在3到4之间，
故选：D．

8.B

【解析】
第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可．
第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程： ．
故选：B．

9.C

【解析】
根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
解：在正方形 中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵ ，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵ ，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．

10.D

【解析】
连接 ，根据 ， ，证出 ，求出 ，在 中， , ，解得 、 的长度即可求出 的长度．
解：连接 ，如图所示，

∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
故选D．

11.A

【解析】
先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
由分式方程的解为整数可得：
解得：
又题意得： 且
∴ 且 ，
由 得：
由 得：
∵解集为
∴
解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13
故选：A．

12.D

【解析】
给 添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得 的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得 的符号为负号
∴②说法正确
∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是 、 、 、 ；
当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是 、 、 ；
当括号中有四个字母，共有1种情况，
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．

13.3

【解析】
先计算绝对值和零指数幂，再进行计算即可求解．
解：
故答案为：3．

14.

【解析】
画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
所以两次都摸到红球的概率为 ，
故答案为： ．

15.

【解析】
先根据特殊角的锐角三角函数值，求出 ，进而求出 ，再根据扇形的面积公式求解即可．
解：∵矩形 ，
，
以B为圆心， 的长为半轻画弧，交 于点E， ，
，
在 中， ，
，
，
，
S_阴影 ．
故答案为： ．

16.4：3

【解析】
设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得 ，计算可得．
解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得
，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案为：4：3．

17.(1)
(2)

【解析】
（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．
(1)
解：
=
=
(2)
解：
=
=
=

18.图见解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE

【解析】
根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到∠ADC=∠F，根据平行线的性质得到∠1=∠2，即可证明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到结论．
解：如图，AD即为所求，

在 和 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴∠ADC=∠F．
∵ ，
∴∠1=∠2．
又∵AC=AC．
∴ （ ）．
同理可得：△ABD≌△BAE．
．
故答案为：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．

19.(1) ， ，
(2)160名
(3)八年级阅读积极性更高.理由：七年级和八年级阅读时长平均数一样，八年级阅读时长的众数和中位数都比七年级高（合理即可）

【解析】
（1）根据众数、中位数、百分比的意义求解即可；
（2）用400名学生乘七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上所占的百分比即可求解；
（3）根据七年级阅读时长为8小时及以上所占百分比比八年级高进行分析即可．
(1)
解：∵七年级学生阅读时长出现次数最多是8小时
∴众数是8，即
∵将八年级学生阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为
∴八年级学生阅读时长的中位数为 ，即
∵八年级学生阅读时长为8小时及以上的人数为13
∴八年级学生阅读时长为8小时及以上所占百分比为 ，即
综上所述： ， ，
(2)
解： （名）
答：估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数为160名．
(3)
解：∵七年级和八年级阅读时长平均数一样，八年级阅读时长众数和中位数都比七年级高
∴八年级阅读积极性更高（合理即可）

20.(1)一次函数的表达式为 ；函数图象见解析；
(2) 或
(3)2

【解析】
（1）把 ， 分别代入 求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可；
（2）根据交点坐，结合函数图象即可解答；
（3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
(1)
∵一次函数 （ ）的图象与 的图象交于 ， 两点，
∴把 ， 分别代入 ，得，
，
解得， ，
∴ ， ，
把 ， 代入 ，得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为 ；
画出函数图象如下图：

(2)
∵直线 与反比例函数 交于点A（1，4），B（-2，-2）
∴当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式 的解集为 或 ；
(3)
如图，

对于 ，当 时， ，
解得， ，
∴点C的坐标为（-1，0）
∵A（1，4）
∴

21.(1)100米
(2)90米

【解析】
（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案．
(1)
解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 米，
则有
解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)
∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 米，即1.2y米
则有
解得
经检验， 是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．

22.(1)湖岸A与码头C的距离为1559米
(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船

【解析】
（1）过点 作 垂线，交 延长线于点 ，设 ，则 ， ， ，在 中， ，即可求出 ，根据 中， 即可求出湖岸 与码头 的距离；
（2）设快艇将游客送上救援船时间为 分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= ，列出方程，求出时间 ，再和5分钟进行比较即可求解．
(1)
解：过点 作 垂线，交 延长线于点 ，如图所示，

由题意可得： ， ， 米，则 ，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
在 中， ，
∴ （米），
∴湖岸 与码头 的距离为1559米；
(2)
解：设快艇将游客送上救援船时间为 分钟，
由题意可得： ，
，
∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．

23.(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
(2)数A可能为732或372或516或156

【解析】
（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出 ，根据 ， 是最大的两位数， 是最小的两位数，得出 ， （k为整数），结合 得出 ，根据已知条件得出 ，从而得出 或 ，然后进行分类讨论即可得出答案．
(1)
解：∵ ，
∴357不是15“和倍数”；
∵ ，
∴441是9的“和倍数”．
(2)
∵三位数A是12的“和倍数”，
∴ ，
∵ ，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数 ，最小的两位数 ，
∴ ，
∵ 为整数，
设 （k为整数），
则 ，
整理得： ，
根据 得： ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得：
，
整理得： ，
∵ ，k为整数，
∴ 或 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ， ，
， ， ，或 ， ， ，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”；
当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ，
∵ ，
∴ 不是12的“和倍数”，
∵ ，
∴ 不是12的“和倍数”；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
， ， ，组成的三位数为516或156，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．

24.(1)
(2) 最大值为： ，
(3) 、 、

【解析】
（1）将 、 代入抛物线 ，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据 得到 ，推出 ，即可得到 ，则 ，求出直线 的解析式为： ，设 ，则 ， ，求出 ，即可求解；
（3）先求出平移后新抛物线解析式： ， ， ，设 ， ，再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求解即可．
(1)
解：将 、 代入抛物线 可得： ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为： ；
(2)
解：∵ 、 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
将 、 代入可得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
设 ，则 ， ，
∴
∵ ， ，
∴当 时，存在 最大值，最大值为： ，此时 ；
(3)
解：∵对称轴为： ，
∴ ，
∵直线 ： ，
∴抛物线向右平移 个单位，
∴ ，
， ，设 ， ，
①以 、 为对角线时， ，解得
∴ ；
②以 、 为对角线时， ，解得
∴ ；
③以 、 为对角线时， ，解得
∴ ．

25.(1)2
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）根据已知条件可得 为 的中点，证明 ，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ， ，可得 ，进而根据 ， 即可得出结论，
（3）根据（2）可知 ，当点 在线段 上运动时，点 在平行于 的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解．
(1)
如图，连接

将线段 绕点E顺时针旋转90°得到线段 ，
是等腰直角三角形，
P为FG的中点，
，
，
，
，D为 的中点， ，
， ，
，
在 中， ；
(2)
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，

，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 与 中，   

，
，
，
，
又 ， ，   
，
，
，
，
，   
又 ，
，
,
，
，
，
，
；
(3)
由（2）可知 ，
则当点 在线段 上运动时，点 在平行于 的线段上运动，
将 沿 翻折至 所在平面内，得到 ，
E为 的中点，
，
，
则点 在以 为圆心 为半径的圆上运动，当 三点共线时， 最小，
如图，当 运动到与 点重合时， 取得最小值， ．

如图，当点 运动到与 点重合时， 取得最小值，
此时 ，则 ．

综上所述， 的最小值为 ．