【327709】2022年吉林省长春市中考数学真题

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2022年吉林省长春市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（       ）

A．
B．
C．
D．

2.长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

3.不等式 的解集是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．

5.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B， 垂直地面，垂足为点D， ，垂足为点C．设 ，下列关系式正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．

6.如图，四边形 是 的内接四边形．若 ，则 的度数为（       ）

A．138°
B．121°
C．118°
D．112°

7.如图，在 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．

8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数 （ ， ）的图象上，其纵坐标为2，过点P作 // 轴，交x轴于点Q，将线段 绕点Q顺时针旋转60°得到线段 ．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（       ）

A．
B．
C．
D．4

评卷人 得分

二、填空题

9.分解因式： _______．

10.若关于x的方程 有两个相等的实数根，则实数c的值为_______．

11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________．

12.将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若 厘米，则 的长度为________厘米．（结果保留 ）

13.跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形 和等边三角形 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若 厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．

14.已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．

评卷人 得分

三、解答题

15.先化简，再求值： ，其中 ．

16.抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”．正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．

17.为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？

18.如图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)网格中 的形状是________；
(2)在图①中确定一点D，连结 、 ，使 与 全等：
(3)在图②中 的边 上确定一点E，连结 ，使 ：
(4)在图③中 的边 上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结 ，使 ，且相似比为1：2．

19.如图，在Rt 中， ， ．点D是 的中点，过点D作 交 于点E.延长 至点F，使得 ，连接 、 、 ．

(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，则 的值为_______．

20.党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
(1)长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是________年：
(2)长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是_______；
(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了_______件，专利授权量年增长率提高了_______个百分点；（注：1%为1个百分点）
(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．
①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．（       ）
②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率 ，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．（       ）
③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．（       ）

21.已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．

(1) _______， _______；
(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

22.(探索发现)在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 上，点B的对应点为点E，折痕为 ；再沿过点F的直线折叠，使点C落在 上，点C的对应点为点H，折痕为 ；然后连结 ，沿 所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 ．

(问题解决)
(1)小亮对上面 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠可知， ， ．
∴ ．
∴ ．
请你补全余下的证明过程．
(结论应用)
(2) 的度数为________度， 的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段 上，且 ，点Q在线段 上，连结 、 ，如图②，设 ，则 的最小值为_________．（用含a的代数式表示）

23.如图，在 中， ， ，点M为边 的中点，动点P从点A出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，连结 ．作点A关于直线 的对称点 ，连结 、 ．设点P的运动时间为t秒．

(1)点D到边 的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段 的长；
(3)连结 ，当线段 最短时，求 的面积；
(4)当M、 、C三点共线时，直接写出t的值．

24.在平面直角坐标系中，抛物线 （b是常数）经过点 ．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（ ）．以点A为中心，构造正方形 ， ，且 轴．
(1)求该抛物线对应的函数表达式：
(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接 ．当 时，求点B的坐标；
(3)若 ，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
(4)当抛物线与正方形 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 时，直接写出m的值．

参考答案

1.A

【解析】
根据三视图的概念，从正面看到的图形就是主视图，再根据小正方体的个数和排列进行作答即可．
正面看，其主视图为：

故选：A．

2.B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：1800000=1.8×10⁶，
故选：B．

3.C

【解析】
直接移项解一元一次不等式即可．
，
，
，
故选：C．

4.B

【解析】
观察数轴得： ，再逐项判断即可求解．
解：观察数轴得： ，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；
∴ ，故C错误，不符合题意；
∴ ，故D错误，不符合题意；
故选：B

5.D

【解析】
根据正弦三角函数的定义判断即可．
∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴ ，
故选：D．

6.C

【解析】
由圆内接四边形的性质得 ，再由圆周定理可得 ．
解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C

7.B

【解析】
根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是 的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是 的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．

8.C

【解析】
作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，

∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（ ，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN= ，QN= ，
∴ ，
即： ，
解得：k= ，
故选：C．

9.

【解析】
原式提取公因式m即可得到结果．
解：
故答案为： ．

10. ##0.25

【解析】
根据方程 有两个相等的实数根，可得 ，计算即可．
关于x的方程 有两个相等的实数根，
，
解得 ，
故答案为： ．

11.8

【解析】
设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可．
设店中共有x间房，
由题意得， ，
解得 ，
所以，店中共有8间房，
故答案为：8．

12. ##

【解析】
直接根据弧长公式进行计算即可．
，
，
故答案为： ．

13.54

【解析】
设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．
设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，

∵六边形MNGHPO是正六边形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FNM=60°，
∴△FMN是等边三角形，
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等边△ABC≌等边△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案为：54．

14. ##

【解析】
先把函数解析式化为顶点式可得当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若 ；若 ，即可求解．
解： ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
若 ，当 时，y随x的增大而减小，
此时当 时，函数值y最小，最小值为 ，不合题意，
若 ，当 时，函数值y最小，最小值为1，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
综上所述，a的值为 ．
故答案为：

15. ，

【解析】
根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将 代入求值即可求解．
解：原式＝

当 时，原式

16.

【解析】
采用列表法列举即可求解．
根据题意列表如下：

由表可知，总的可能结果有4种，两次之和不大于3的情况有3种，
故所求概率为：3÷4= ，
即两次分数之和不大于3的概率为 ．

17.乙班每小时挖400千克的土豆

【解析】
设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解．
设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，
根据题意有： ，
解得：x=400，
经检验，x=400是原方程的根，
故乙班每小时挖400千克的土豆．

18.(1)直角三角形
(2)见解析（答案不唯一）
(3)见解析
(4)翙解析

【解析】
（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论；
（2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出 与 全等：
（3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知 ：
（4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求．
(1)
∵
∴ ,
∴ 是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
(2)
如图，点D即为所求作，使 与 全等：

(3)
如图所示，点E即为所作，且使 ：

(4)
如图，点P，Q即为所求，使得 ，且相似比为1：2．

19.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；
（2）设 ，则 ，根据菱形的性质可得 ， ，勾股定理求得 ，根据 ， ，即可求解．
(1)
证明： ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
四边形 是菱形；
(2)
解： ，
设 ，则 ，
四边形 是菱形；
， ，
，
在 中， ，
，
故答案为： ．

20.(1)2020
(2)18.1%
(3)5479，30.2
(4)①×，②√，③√

【解析】
（1）观察统计图可得专利授权量最多的是2020年，即可求解；
（2）先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；
（3）分别用2020年长春市专利授权量减去2019年长春市专利授权量，2020年专利授权量年增长率减去2019年专利授权量年增长率，即可求解；
（4）①根据题意可得2017年的的专利授权量的增长量低于2019年的，可得①错误；②根据专利授权量年增长率 ，可得②正确；③观察统计图可得从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，可得③正确，即可求解．
(1)
解：根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年；
故答案为：2020
(2)
解：把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，
位于正中间的是18.1%，
∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%；
故答案为：18.1%
(3)
解：与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373-11894=5479件；
专利授权量年增长率提高了46.0%-15.8%=30.2%，
专利授权量年增长率提高了30.2个百分点；
故答案为：5479，30.2
(4)
解：①因为2017年的专利授权量的增长量为8190-7062=1128件；2019年的专利授权量的增长量11894-10268=1626件，
所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误；
故答案为：×
②因为专利授权量年增长率 ，
所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确；
故答案为：√
根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，
所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确；
故答案为：√

21.(1)2.6
(2)甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式
(3)300千米

【解析】
（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值；
（2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可；
（3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论．
(1)
根据题意得， （时）
（时）
故答案为：2.6；
(2)
由（1）得（2，200）和（6，440），
设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为
则有： ，
解得，
甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式
(3)
甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米，
∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时）
∴乙车行完全程用时为：440÷120= （时）
∵
∴当 时， 千米，
即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米

22.(1)见解析
(2)22.5°，
(3)

【解析】
（1）根据折叠的性质可得AD=AF， ，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得 证明 是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ；
（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR= ，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
(1)
证明：四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠可知， ， ．
∴ ．
∴ ．
由折叠得， ，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
(2)
由折叠得，∠
又∠
∴∠
由 得，∠
∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
设 则
∴
∴
∴
(3)
如图，连接

∵
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作 交AD于点R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在 中，
∴
∴ 的最小值为

23.(1)3
(2)当0≤t≤1时， ；当1＜t≤2时， ；
(3)
(4) 或

【解析】
（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；
（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段 最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得 ，从而得到 ，在 中，由勾股定理可得 ，即可求解；
（4）分两种情况讨论：当点 位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点 （ ）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．
(1)
解：如图，连接DM，

∵AB=4， ，点M为边 的中点，
∴AM=BM=2，DM⊥AB，
∴ ，
即点D到边 的距离为3；
故答案为：3
(2)
解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，
；
当1＜t≤2时，点P在BD边上， ；
综上所述，当0≤t≤1时， ；当1＜t≤2时， ；
(3)
解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，

∵作点A关于直线 的对称点 ，
∴A′M=AM=2，
∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，
∴当点D、A′、M三点共线时，线段 最短，此时点P在AD上，
∴ ，
根据题意得： ， ，
由（1）得：DM⊥AB，
∵PE⊥DM，
∴PE∥AB，
∴△PDE∽△ADM，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ；
(4)
解：如图，

当点M、 、C三点共线时，且点 位于M、C之间时，此时点P在AD上，
连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM，
∵AB为直径，
∴∠A =90°，即A A′⊥A′B，
∴PM∥A′B，
∴∠PMF=∠AB A′，
过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，
在 中，AB∥DC，
∵DM⊥AB，
∴DM∥CN，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=DM=3，MN=CD=4，
∴CM=5，
∴ ，
∵ M=2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即PF=3FM，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即AF=2FM，
∵AM=2，
∴ ，
∴ ，解得： ；
如图，当点 （ ）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上， ，
过点 作 于点G′，则 ，取 的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T，

同理： ，
∵HK⊥AB， ，
∴HK∥A′′G′，
∴ ，
∵点H是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即MT=3PT，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵MT+BT=BM=2，
∴ ，
∴ ，解得： ；
综上所述，t的值为 或 ．

24.(1)
(2)
(3) 或
(4) 或 或 ．

【解析】
（1）将点 代入 ，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设 ，根据对称性可得 ，根据 ，即可求解；
（3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形 点 在 轴上时，此时 与 点重合，当 经过抛物线的对称轴 时，进而观察图像即可求解；
（4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．
(1)
解：∵抛物线 （b是常数）经过点
∴
解得

(2)
如图，

由
则对称轴为直线 ，
设 ，则

解得

(3)
点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（ ）．以点A为中心，构造正方形 ， ，且 轴
，且 在 轴上，如图，

①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形 点 在 轴上时，此时 与 点重合，


的解析式为
，将 代入
即
解得


观察图形可知，当 时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当 经过抛物线的对称轴 时，



解得 ，
观察图形可知，当 时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
综上所述，m的取值范围为 或
(4)
①如图，设正方形与抛物线的交点分别为 ，当 时，则
是正方形 的中心，

即

②如图，当 点在抛物线左侧， 轴右侧时，




交点的纵坐标之差为 ，
的纵坐标为
的横坐标为

在抛物线 上，

解得
③当 在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为 ， ，设直线 交 轴于点 ，如图，

则

即
设直线 解析式为
则
解得
直线 解析式为
联立
解得 （舍去）
即 的横坐标为 ，即 ，
综上所述， 或 或 ．