【327695】2022年湖南省常德市中考数学试卷

绝密·启用前

2022年湖南省常德市中考数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数的个数为（       ）
A．2
B．3
C．4
D．5

2.国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.计算 的结果是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.下列说法正确的是（       ）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式

5.从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（       ）
A．
B．
C．
D．

6.关于 的一元二次方程 无实数解，则 的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点A、B的对应点分别是 ， ，点 是边 的中点，连接 ， ， ．则下列结论错误的是（       ）

A．
B． ，
C．
D．

8.我们发现： ， ， ，…， ，一般地，对于正整数 ， ，如果满足 时，称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完美方根数对．则下面4个结论：① 是完美方根数对；② 是完美方根数对；③若 是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则点 在抛物线 上．其中正确的结论有（       ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9.|－6|＝______．

10.分解因式： ________．

11.使式子 有意义的 的取值范围是______．

12.方程 的解为________．

13.如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是________．

14.今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分．

15.如图，已知 是 内的一点， ， ，若 的面积为2， ， ，则 的面积是________．

16.剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．

17.计算：

18.求不等式组 的解集．

19.化简：

20.小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？

21.如图，已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．

(1)求 的解析式并直接写出 时 的取值范围；
(2)以 为一条对角线作菱形，它的周长为 ，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．

22.2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．下图是根据此次调查结果得到的统计图．

请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
(2)若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
(3)请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．

23.第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道 米，弧形跳台的跨度 米，顶端 到 的距离为40米， ， ， ， ．求此大跳台最高点 距地面 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ）

24.如图，已知 是 的直径， 于 ， 是 上的一点， 交 于 ， ，连接 交 于 ．

(1)求证：CD是 的切线；
(2)若 ， ，求 、 的长．

25.如图，已经抛物线经过点 ， ，且它的对称轴为 ．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，当 的面积为15时，求 的坐标；
(3)在（2）的条件下， 是抛物线上的动点，当 的值最大时，求 的坐标以及 的最大值

26.在四边形 中， 的平分线 交 于 ，延长 到 使 ， 是 的中点， 交 于 ，连接 ．

(1)当四边形 是矩形时，如图，求证：① ；② ．
(2)当四边形 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．

参考答案

1.A

【解析】
根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数即可判断．
解：在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数为 和 ，共2个．
故选：A．

2.B

【解析】
根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．
解：A不是中心对称图形，故A错误；
B是中心对称图形，故B正确；
C不是中心对称图形，故C错误；
D不是中心对称图形，故D错误；
故选B．

3.C

【解析】
根据同底数幂的乘法进行计算即可得出结果．
解： ，故C正确．
故选：C．

4.D

【解析】
根据统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查逐项分析判断即可求解．
解：A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；
B. “煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；
D. 为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；
故选：D．

5.B

【解析】
根据列表法求概率即可求解．
解：列表如下，

共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，
则其和为偶数的概率为
故选B

6.A

【解析】
根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
解：∵关于 的一元二次方程 无实数解，
∴
解得：
故选：A．

7.D

【解析】
根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D．
A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B．∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF= AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA= AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，

∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确．
C．∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴ ，故C正确；
D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG= CG，
∴CG=2FG．
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG．故D错误．
故选D．

8.C

【解析】
根据定义逐项分析判断即可．
解： ，
是完美方根数对；
故①正确；

不是完美方根数对；
故②不正确；
若 是完美方根数对，则
即
解得 或
是正整数
则
故③正确；
若 是完美方根数对，则
,
即
故④正确
故选C

9.6

【解析】
根据绝对值的意义，直接求解即可．

故答案为6．

10.

【解析】
先提取公因式，然后再根据平方差公式即可得出答案．
原式= ．
故答案为： ．

11.

【解析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：根据题意，得： ，
解得：x＞4，
故答案为：x＞4．

12.

【解析】
根据方程两边同时乘以 ，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
解：方程两边同时乘以 ，


解得
经检验， 是原方程的解
故答案为：

13.月

【解析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”．
故答案为：月．

14.87.4

【解析】
根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
解：根据题意得
她的最后得分是为： （分）；
故答案为：87.4．

15.12

【解析】
延长EF、DF分布交AC于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、CN之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．
解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，

， ， ， ，
，
，
令 ，则 ，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
求出 ,
，
故答案为：12．

16.6

【解析】
根据多边形的内角和进行即可求解．
解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为 ，
，
解得 ．
故答案为： ．

17.

【解析】
根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．
解：原式＝
．

18. ＜x≤1．

【解析】
要求不等式组的解，只需要求出这两个不等式得解，然后根据不等式的解的公共部分确定不等式组的解．
解：
由①得：x＞ ，
由②得：x≤1，
所以原不等式组的解集为 ＜x≤1．

19.

【解析】
原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别因式分解，进而约分得到最简结果即可．
解：原式



．

20.240千米

【解析】
平常速度行驶了 的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
解：设小强家到他奶奶家的距离是 千米，则平时每小时行驶 千米，减速后每小时行驶 千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得： ，
解得： ，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．

21.(1) 或
(2) 或 或 或

【解析】
（1）由点 可求出反比例函数 的解析式，根据反比例函数的对称性可求出 ，从而求解出 时 的取值范围；
（2）由菱形的性质和判定可知另外两个点在直线 的图象上且两个点关于原点对称，从而可求出这两个点的坐标即可求解．
(1)
解：设 ，
在反比例函数 的图象上，
，
，
由反比例函数图象的性质对称性可知：A与B关于原点对称，即 ，
当 或 时， ；
(2)
如图所示，菱形的另外两个点设为M、N，

由菱形的性质和判定可知M、N在直线 的图象上且两个点关于原点对称，
不妨设 ，则 ，
菱形AMBN的周长为 ，
,
， ，
，
，即 ， ，
设直线AM的解析式为： ,
则： ，解得： ，
AM的解析式为： ，
同理可得AN的解析式为： ，
BM的解析式为： ，
BN的解析式为： ．

22.(1)
(2) 人
(3)见解析

【解析】
（1）由条形统计图求出平均每周劳动时间不少于3小时的人数，然后代入即可得出答案；
（2）由扇形统计图得木工所占比例为16%，然后代入即可得出答案；
（3）对学校来说应该多增加一些与学生生活息息相关的劳动课程，锻炼生活技能；对学生来说应该在学习的同时多多参加课外劳动课程，学一些与生活有关的技能，增加生活经验．
(1)
由条形统计图可知：平均每周劳动时间不少于3小时的人数为 人，
故平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为 ．
(2)
由扇形统计图得木工所占比例为 ，
故最喜欢的劳动课程为木工的有 人．
(3)
对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容；
对学生：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等

23.70

【解析】
过点 作 ，交 于点 ，则四边形 是矩形，可得 ，在 中，求得 ，根据 ， ，求得 ，进而求得 ，根据 即可求解．
如图，过点 作 ，交 于点 ，则四边形 是矩形，
，

， ，
在 中， 米，
，

， ，

，
解得 ，
顶端 到 的距离为40米，即 米
米．
米．

24.(1)证明见详解
(2)

【解析】
（1）连接OD，由 可以推出 ，从而证明 即可；
（2）作 交BC于点M，根据勾股定理求出BC的长，然后再根据平行得到 即可求解．
(1)
证明：连接OD，如图所示：











OD为经过圆心的半径
CD是 的切线．
(2)
如图所示：作 交BC于点M

， ，


令 ，
在
，解得：

25.(1)
(2)
(3) 的最大值为

【解析】
（1）根据题意可设抛物线为 再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线 为： 解得： 可得直线 为： 则 利用 列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时 最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
(1)
解： 抛物线经过点 ，
∴设抛物线为：
抛物线过 ，且它的对称轴为 ．
解得：
∴抛物线为：
(2)
解：如图，点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，
设 且 记OA与对称轴的交点为Q，

设直线 为：
解得：
直线 为：



解得： 或
∵ 则

(3)
如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时 最大，



设AB为： 代入A、B两点坐标，

解得：
∴AB为：

解得：

26.(1)证明见详解
(2)证明见详解

【解析】
（1）①证明 即可；②连接BG，CG，证明 ， 即可证明；
（2）①的结论和（1）中证明一样，证明 即可；②的结论，作 ，证明 即可．
(1)
证明：①证明过程：
四边形ABCD为矩形，

平分

为等腰直角三角形






②证明：连接BG，CG，

G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，


平分 ，










(2)
作 ，如图所示


由（1）同理可证：

四边形ABCD为平行四边形



G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得
，