【327659】2022年广西贵港市中考数学真题

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2022年广西贵港市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.-2的倒数是（ ）
A．-2
B．
C．
D．2

2.一个圆锥如右图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（       ）

A．主视图与俯视图相同
B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．三个视图完全相同

3.一组数据3，5，1，4，6，5的众数和中位数分别是（       ）
A．5，4.5
B．4.5，4
C．4，4.5
D．5，5

4.据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到 ．已知 ，则 用科学记数法表示是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.下例计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.若点 与点 关于y轴对称，则 的值是（       ）
A．
B．
C．1
D．2

7.若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（       ）
A．0，
B．0，0
C． ，
D． ，0

8.下列命题为真命题的是（       ）
A．
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形

9.如图，⊙ 是 的外接圆， 是⊙ 的直径，点P在⊙ 上，若 ，则 的度数是（       ）

A．
B．
C．
D．

10.如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为 ，在点B处测得树顶C的仰角为 ，且A，B，D三点在同一直线上，若 ，则这棵树 的高度是（       ）

A．
B．
C．
D．

11.如图，在 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 的顶点均是格点，则 的值是（       ）

A．
B．
C．
D．

12.如图，在边长为1的菱形 中， ，动点E在 边上（与点A、B均不重合），点F在对角线 上， 与 相交于点G，连接 ，若 ，则下列结论错误的是（       ）

A．
B．
C．
D． 的最小值为

评卷人 得分

二、填空题

13.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．

14.因式分解： ________．

15.从 ， ，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．

16.如图，将 绕点A逆时针旋转角 得到 ，点B的对应点D恰好落在 边上，若 ，则旋转角 的度数是______．

17.如图，在 中， ，以点A为圆心、 为半径画弧交 于点E，连接 ，若 ，则图中阴影部分的面积是_______．

18.已知二次函数 ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，对称轴为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③ ；④ （其中 ）；⑤若 和 均在该函数图象上，且 ，则 ．其中正确结论的个数共有_______个．

评卷人 得分

三、解答题

19.（1）计算： ；
（2）解不等式组：

20.尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作 ，使 ．

21.如图，直线 与反比例函数 的图像相交于点A和点 ，与x轴的正半轴相交于点B．

(1)求k的值；
(2)连接 ，若点C为线段 的中点，求 的面积．

22.在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生共有________人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是_______；
(4)若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．

23.为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
(1)绳子和实心球的单价各是多少元？
(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

24.图，在 中， ，点D是 边的中点，点O在 边上，⊙ 经过点C且与 边相切于点E， ．

(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求⊙ 的半径及 的长．

25.如图，已知抛物线 经过 和 两点，直线 与x轴相交于点C，P是直线 上方的抛物线上的一个动点， 轴交 于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若 轴交 于点E，求 的最大值；
(3)若以A，P，D为顶点的三角形与 相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．

26.已知：点C，D均在直线l的上方， 与 都是直线l的垂线段，且 在 的右侧， ， 与 相交于点O．

(1)如图1，若连接 ，则 的形状为______， 的值为______；
(2)若将 沿直线l平移，并以 为一边在直线l的上方作等边 ．
①如图2，当 与 重合时，连接 ，若 ，求 的长；
②如图3，当 时，连接 并延长交直线l于点F，连接 ．求证： ．

参考答案

1.B

【解析】
根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．
解：-2的倒数是- ，
故选：B．

2.B

【解析】
根据三视图的定义即可求解．
解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆，
故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同，
故选：B．

3.A

【解析】
把这组数按照从小到大的顺序排列，第3、4两个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是5，从而得到这组数据的众数．
解：把这组数按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6，
第3、4两个数的平均数是 ，
所以中位数是4.5，
在这组数据中出现次数最多的是5，即众数是5．
故选：A．

4.C

【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：∵ ，
∴28nm=2.8×10^-8m．
故选：C．

5.D

【解析】
分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．
解：A. 2a−a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. (-a³)²=a⁶，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．

6.A

【解析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
∵点 与点 关于y轴对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a-b=-1，
故选A．

7.B

【解析】
直接把 代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则
，
解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故选：B

8.C

【解析】
根据判断命题真假的方法即可求解．
解：当 时， ，故A为假命题，故A选项错误；
当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；
三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；
三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，
故选：C．

9.C

【解析】
根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到 的度数．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∴
∴ ，
故选：C．

10.A

【解析】
设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ，
即： ，
解得 ，
故选A．

11.C

【解析】
过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，

∵每个小正方形的边长为1，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ,
在 中， ,
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：C．

12.D

【解析】
先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG △CEB得 ，即可判断C项答案正确，由 ，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG= ，即可判断D项错误．
解：∵四边形ABCD是菱形， ，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC= ∠BAD= = ，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故C项答案正确，
∵ ，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
   
∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴ ，AF= AC= ，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG²=GF²+AF²，
∴ 解得AG= ，故D项错误，
故应选：D

13.

【解析】
二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数．
解：由题意得：
，
解得 ，
故答案为： ．

14.a(a+1)(a-1)

【解析】
先找出公因式 ，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
解：


故答案为： .

15.

【解析】
列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可．
解：∵从 ， ，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（ ， ），（ ，2），（ ，2），（ ， ），（2， ），（2， ），共6个点；在第三象限的点有（ ， ），（ ， ），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是 ；
故答案为： ．

16.

【解析】
先求出 ，由旋转的性质，得到 ， ，则 ，即可求出旋转角 的度数．
解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
由旋转的性质，则 ， ，
∴ ，
∴ ；
∴旋转角 的度数是50°；
故答案为：50°．

17.

【解析】
过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S_阴影=S_▱ABCD−S_扇形ADE−S_△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
解：过点D作DF⊥AB于点F，

∵ ，
∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB−AE= ，
∴S_阴影=S_▱ABCD−S_扇形ADE−S_△EBC

=
故答案为： ．

18.3

【解析】
根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴 ，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得： ，再根据抛物线开口朝下，可得 ，进而可得 ， ，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
∵抛物线的对称轴为： ，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，
∴代入(-2,0)、(1,0)得： ，
解得： ，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程 有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式 ，故②正确；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，故④正确；
∵抛物线的对称轴为： ，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数 ，在 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．

19.（1）4；（2）

【解析】
（1）根据绝对值的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）先分别求解出不等式①和不等式②的解集，再找这个两个解集的公共部分即可．
（1）解：原式 ；
（2）解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组的解集为 ．

20.见解析

【解析】
作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取 ；作 ；即可得到 ．
解：如图所示： 为所求．

注：（1）作直线l及l上一点A；
（2）过点A作l的垂线；
（3）在l上截取 ；
（4）作 ．

21.(1)6
(2)

【解析】
（1）直接把点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出答案；
（2）由题意，先求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，求出点B的坐标，再求出 的面积即可．
(1)
解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：∵ 是线段 的中点，点B在x轴上，
∴点A的纵坐标为4，

∵点A在 上，
∴点A的坐标为 ，
∵ ，
设直线AC为 ，则
，解得 ，
∴直线 为 ，
令 ，则 ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ．

22.(1)90
(2)见解析
(3)
(4)300人

【解析】
（1）用劳技实践（E）社团人数除以所占的百分比求解；
（2）先用总人数分别减去传统国学（A）、科技兴趣（B）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E）社团的人数计算出民族体育（C）社团的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用360度乘传统国学（A）社团所占的比例来求解；
（4）用2700乘艺术鉴赏（D）社团所占的比例来求解．
(1)
解：本次调查的学生人数为：
（人）．
故答案为：90；
(2)
解：民族体育（C）社团人数为： （人），
补全条形统计图如下：

(3)
解：在扇形统计图中，传统国学（A）社团对应扇形的圆心角度数是
．
故答案为： ；
(4)
解：该校有2700名学生，本学期参加艺术鉴赏（D）社团活动的学生人数为
（人）．

23.(1)绳子的单价为7元，实心球的单价为30元
(2)购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个

【解析】
（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为 元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题；
（2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题．
(1)
解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为 元，
根据题意，得： ，
解分式方程，得： ，
经检验可知 是所列方程的解，且满足实际意义，
∴ ，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
(2)
设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为 条，
根据题意，得： ，
解得
∴
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．

24.(1)见解析
(2) ，

【解析】
（1）作 ，垂足为H，连接 ，先证明 是 的平分线，然后由切线的判定定理进行证明，即可得到结论成立；
（2）设 ，由勾股定理可求 ，设 的半径为r，然后证明 ，结合勾股定理即可求出答案．
(1)
证明：如图，作 ，垂足为H，连接 ，

∵ ，D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴ ，即 是 的平分线，
∵O在 上， 与 相切于点E，
∴ ，且 是 的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
(2)
解：如（1）图，∵在 中， ，
∴可设 ，
∴ ，
则 ，
设 的半径为r，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，则 ，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得 ，又 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ．

25.(1)
(2)最大值为
(3) 或 ，

【解析】
（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点C的坐标为 ，然后证明 ，设点P的坐标为 ，其中 ，则点D的坐标为 ，分别表示出 和 ，再由二次函数的最值性质，求出答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行当 ∽ 时；当 ∽ 时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
(1)
解：（1）∵抛物线 经过 和 两点，
∴
解得： ， ，
∴抛物线的表达式为 ．
(2)
解：∵ ，
∴直线 表达式为 ，
∵直线 与x轴交于点C，
∴点C的坐标为 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
设点P的坐标为 ，其中 ，
则点D的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，且最大值为 ．
(3)
解：根据题意，
在一次函数 中，令 ，则 ，
∴点C的坐标为（2，0）；
当 ∽ 时，如图

此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵ 轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为： ，
∴点P的坐标为（2，3）；
当 ∽ 时，如图，则 ，

设点 ，则点P为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，点P的坐标为 ；
∴满足条件的点P，点D的坐标为 或 ， ．

26.(1)等腰三角形，
(2)① ；②见解析

【解析】
（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．
（2）①过点E作 于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得 ，根据等边三角形的性质可得 ，再利用勾股定理即可求解．
②连接 ，根据 ，得 ，即 是等边三角形，把 旋转得 ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到 ，则可得 ，根据三角形相似的性质即可求证结论．
(1)
解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：

∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴ 的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即 ，
，
故答案为：等腰三角形， ．
(2)
①过点E作 于点H，如图所示：

∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴ ，
∵ 是等边三角形，且 与 重合，
∴∠EAD=60°，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又由（1）知 ，
∴ ，则 ，
∴在 中，由勾股定理得： ．
②连接 ，如图3所示：

∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形，
∴ 是等边三角形，
又∵ 是等边三角形，
∴ 绕点D顺时针旋转 后与 重合，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．