绝密·启用前

2022年广西北部湾经济区中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数是（　　）
A．
B．
C．3
D．-3

2.2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（       ）

A．
B．
C．
D．

3.空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（　　）
A．折线图
B．条形图
C．直方图
D．扇形图

4.如图，数轴上的点A表示的数是 ，则点A关于原点对称的点表示的数是（       ）

A．
B．0
C．1
D．2

5.不等式 的解集是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.如图，已知a∥b，∠1=55°，则∠2的度数是(        )．

A．35°
B．45°
C．55°
D．125°

7.下列事件是必然事件的是（       ）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况

8.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（       ）

A． 米
B． 米
C． 米
D． 米

9.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

10.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（       ）

A．
B．
C．
D．

11.如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 并延长交AB于点D，当 时， 的长是（       ）

A．
B．
C．
D．

12.已知反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ）

A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.化简：（1） =_____．

14.当 ______时，分式 的值为零．

15.如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是________．

16.古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．

17.阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知 ，求代数式 的值．”可以这样解： ．根据阅读材料，解决问题：若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数式 的值是________．

18.如图，在正方形ABCD中， ，对角线 相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作 ，分别交 于点F、G，连接BF，交AC于点H，将 沿EF翻折，点H的对应点 恰好落在BD上，得到 若点F为CD的中点，则 的周长是_________．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.先化简，再求值 ，其中 ．

21.如图，在 中，BD是它的一条对角线，

(1)求证： ；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若 ，求 的度数．

22.综合与实践
(问题情境)数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，
(实践发现)同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
芒果树叶的长宽比	3.8	3.7	3.5	3.4	3.8	4.0	3.6	4.0	3.6	4.0
荔枝树叶的长宽比	2.0	2.0	2.0	2.4	1.8	1.9	1.8	2.0	1.3	1.9

(实践探究)分析数据如下：

	平均数	中位数	众数	方差
芒果树叶的长宽比	3.74	m	4.0	0.0424
荔枝树叶的长宽比	1.91	2.0	n	0.0669

(问题解决)
(1)上述表格中， ________， ________；
(2)①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号）
(3)现有一片长 ，宽 的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由．

23.打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示．

(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润．

24.如图，在 中， ，以AC为直径作 交BC于点D，过点D作 ，垂足为E，延长BA交 于点F．

(1)求证：DE是 的切线
(2)若 ，求 的半径．

25.已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

(1)求点A，点B的坐标；
(2)如图，过点A的直线 与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接 ，设点P的纵坐标为m，当 时，求m的值；
(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线 与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．

26.已知 ，点A，B分别在射线 上运动， ．

(1)如图①，若 ，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为 ，连接 ．判断OD与 有什么数量关系?证明你的结论：
(2)如图②，若 ，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若 ，当点A，B运动到什么位置时， 的面积最大?请说明理由，并求出 面积的最大值．

参考答案

1.A

【解析】
试题根据相反数的意义知： 的相反数是 .
故选：A．
(考点)

2.D

【解析】
根据平移的特点分析判断即可．
根据题意，得
不能由 平移得到，
故A不符合题意；
不能由 平移得到，
故B不符合题意；
不能由 平移得到，
故C不符合题意；
能由 平移得到，
故D符合题意；
故选D．

3.D

【解析】
解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选D．

4.C

【解析】
根据数轴上表示一对相反数的点关于原点对称即可求得答案．
∵数轴上的点A表示的数是−1，
∴点A关于原点对称的点表示的数为1，
故选：C．

5.B

【解析】
先移项，合并同类项，再不等式的两边同时除以2，即可求解．
，
，
，
故选：B．

6.C

【解析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1=55°，再根据对顶角相等即可求得答案.
∵a//b，
∴∠3=∠1=55°，
∴∠2=∠3=55°．
故选C．

7.A

【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．

8.A

【解析】
在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα= ，代入AB值即可求解．
解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米），
故选：A．

9.D

【解析】
根据各自的运算，依据法则计算判断即可．
∵ 不是同类项，
∴无法计算，不符合题意；
∵ ，
∴计算错误，不符合题意；
∵ ，
∴计算错误，不符合题意；
∵ ，
∴符合题意；
故选D．

10.D

【解析】
设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．

11.B

【解析】
先证 ，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得 ．
解： ，
，
是 绕点A逆时针旋转 得到，
， ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
的长= ，
故选：B．

12.D

【解析】
先由反比例函数图象得出b＞0，再分当a＞0，a＜0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
解：∵反比例函数 的图象在第一和第三象限内，
∴b＞0，
若a＜0，则- ＞0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a＞0，则- ＜0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c＜0，
又∵a＞0，则-a＜0，当c＜0,a＞0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．

13.

【解析】
根据 ，计算出结果即可．
解： ．
故答案为： ．

14.0

【解析】
根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．

15.

【解析】
由题意知，一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，标有奇数的三角形有3个，用奇数的个数除以数字的总数即为这个数是一个奇数的概率．
解：一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，上面分别标有奇数的三角形有3个，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数，这个数是一个奇数的概率是： ．
故答案为： ．

16.134

【解析】
在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：134．

17.

【解析】
先根据 是关于x的一元一次方程 的解，得到 ，再把所求的代数式变形为 ，把 整体代入即可求值．
解：∵ 是关于x的一元一次方程 的解，
∴ ，
∴


．
故答案为：14．

18. ##

【解析】
过点E作PQ AD交AB于点P，交DC于点Q，得到BP=CQ，从而证得 ≌ ，得到BE=EF，再利用 ，F为中点，求得 ，从而得到 ，再求出 ，再利用AB FC，求出 ，得到 ，求得 ， ，从而得到EH=AH-AE= ，再求得 得到 ，求得EG= ，OG=1， 过点F作FM⊥AC 于点M，作FN⊥OD于点N，求得FM=2，MH= ，FN=2，证得Rt ≌Rt 得到 ，从而得到ON=2，NG=1， ，从而得到答案．
解：过点E作PQ AD交AB于点P，交DC于点Q，

∵AD PQ，
∴AP=DQ， ，
∴BP=CQ，
∵ ，
∴BP=CQ=EQ，
∵EF⊥BE，
∴
∵
∴ ，
在 与 中   

∴ ≌ ，
∴BE=EF，
又∵ ，F为中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，   
∴ ，
∴AE=AO-EO=4-2=2，
∵AB FC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，   
∴ ，
，
∴EH=AH-AE= ，
∵ ，
，
∴ ，
又∵ ，   
∴
∴ ，
，
∴EG= ，OG=1，
过点F作FM⊥AC 于点M，
∴FM=MC== ，
∴MH=CH-MC= ，   
作FN⊥OD于点N，
，
在Rt 与Rt 中

∴Rt ≌Rt
∴ ，
∴ON=2，NG=1，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

19.3

【解析】
先计算括号内的，并计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可．
解：原式=1×3+4-4
=3+4-4
=3．

20.x³-2xy+x，1

【解析】
首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．
解：
=x(x²-y²)+xy²-2xy+x
=x³-xy²+xy²-2xy+x
=x³-2xy+x，
当x=1，y= 时，原式=1³-2×1× +1=1．

21.(1)见解析
(2)见解析
(3)50°

【解析】
（1）由平行四边形的性质得出 ，可利用“SSS”证明三角形全等；
（2）根据垂直平分线的作法即可解答；
（3）根据垂直平分线的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，再根据三角形外角的性质求解即可．
(1)
四边形ABCD是平行四边形，
，
，

(2)
如图，EF即为所求；

(3)
BD的垂直平分线为EF，
，
，
，
，
．

22.(1)3.75，2.0
(2)②
(3)这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析

【解析】
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比；
（3）计算该树叶的长宽比即可判断来自哪颗树．
(1)
芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为 ，因此中位数m=3.75；
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0；
故答案为：3.75，2.0；
(2)
合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍；
故答案为：②；
(3)
这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
这片树叶长 ，宽 ，长宽比大约为2.0，
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树．

23.(1)y= -5x+500，50＜x＜100
(2)75元，3125元

【解析】
（1）设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得 ，确定解析式，结合图像，确定自变量取值范围是50＜x＜100．
（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意构造二次函数，根据函数的最值计算即可．
(1)
设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得
，
解得
∴ 函数的解析式为y= -5x+500，
当y=0时，-5x+500=0，
解得x=100，
结合图像，自变量取值范围是50＜x＜100．
(2)
设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得：
W=（x-50）(-5x+500)
= ，
∵-5＜0，
∴ w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125，
故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大；最大利润是3125元．

24.(1)见解析
(2)13

【解析】
（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得CF=2DE,设AE=2x，DE=3k，则CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得 (4k+10)²=10²+(6k)²，
解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得 的半径OA长，即可求解．
(1)
证明：连接OD；

∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴OD AB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
(2)
解：连接CF，

由（1）知OD⊥DE，
∵DE⊥AB，
∴OD AB，
∵OA=OC，
∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，
∵AC是 的直径，
∴∠CFA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠CFA=∠BED=90°，
∴DE CF，
∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，
∴CF=2DE,
∵ ，
∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，
∵AF=10，
∴BE=EF=AE+AF=2k+10，
∴AC=BA=EF+AE=4k+10，
在Rt△ACF中，由勾股定理，得
AC²=AF²+CF²，即(4k+10)²=10²+(6k)²，
解得：k=4，
∴AC=4k+10=4×4+10=26，
∴OA=13,
即 的半径为13．

25.(1)A（-1，0），B（3，0）
(2)-3
(3) 或 或

【解析】
（1）令 ，由抛物线解析式可得 ，解方程即可确定点A，点B的坐标；
（2）由抛物线解析式确定其对称轴为 ，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解方程组可确定点C坐标，由 列方程求解即可；
（3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5），令 ，整理可得 ，根据一元二次方程的根的判别式为可知 ，然后分情况讨论 时以及 结合图像分析a的取值范围．
(1)
解：抛物线解析式 ，令 ，
可得 ，
解得 ， ，
故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
(2)
对于抛物线 ，其对称轴为 ，
∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
将直线l与抛物线解析式联立，可得
，可解得 或 ，
故点C坐标为（4，-5），
∴ ，
，
当 时，可得 ，
解得 ；
(3)
将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
令 ，整理可得 ，
其判别式为 ，
①当 时，解得 ，此时抛物线 与线段MN只有一个交点；
②当 即时，解方程 ，
可得 ，
即 ， ，
若 时，如图1，
由 ，可解得 ，

此时有 ，且 ，
解得 ；
②当 时，如图2，
由 ，可解得 ，

此时有 ，且 ，
解得 ；
综上所述，当抛物线 与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为 或 或 ．

26.(1) ，证明见解析
(2)
(3)当 时， 的面积最大；理由见解析， 面积的最大值为

【解析】
（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD= AB，OD′= A′B′，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；
（3）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果．
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知，当 时，OC最大，当 时，此时OT最大，即 的面积最大，由勾股定理等进行求解即可．
(1)
解： ，证明如下：
，AB中点为D，
，
为 的中点， ，
，
，
；
(2)
解：如图1，

作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′=AB=6，
OC_最大=CO′=CD+DO′= AB+ BO′=3+3 ；
(3)
解：如图2，作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，

∴AI= AB=3 ，∠AOB= ∠AIB＝45°，
则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，
此时△AOB的面积最大，
∵OC=CI+OI= AB+3 =3+3 ，
∴S_△AOB最大= ×6×(3+3 )=9+9 ．