第18章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1.在▱ABCD中，∠A＝50°，则∠C等于( )
A.130° B.40° C.50° D.60°
2.[2023·南阳三中月考]已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB＝CD，BC∥AD，BC＝AD.从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是( )
A.AB∥CD，AB＝CD B.AB∥CD，BC∥AD
C.AB∥CD，BC＝AD D.AB＝CD，BC＝AD
3.如图，在▱ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于( )
(第3题)
A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.2 cm
4.(母题：教材P78例6)如图，已知▱ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的坐标原点，点A的坐标为(－2，3)，则点C的坐标为( )
(第4题)
A.(－3，2) B.(－2，－3) C.(3，－2) D.(2，－3)
5.如图，在▱ABCD中，AD∶AB＝3∶5，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连结BE.若▱ABCD的面积为10，则△BEC的面积为( )
(第5题)
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
6.
阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即F1和F2的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图.
解决问题：设两个共点力的合力为F，现保持两力的夹角θ(0°＜θ＜90°)不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则( )
(第6题)
A.合力F一定增大 B.合力F的大小可能不变
C.合力F可能增大，也可能减小 D.合力一定减小
7.[2023·苏州]如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是( )
(第7题)
A.连结AB，则AB∥PQ B.连结BC，则BC∥PQ
C.连结BD，则BC⊥PQ D.连结AD，则AD⊥PQ
8.(母题：教材P79例8)已知▱ABCD的对角线相交于点O，点O到AB的距离为1，且AB＝6，BC＝4，则点O到BC的距离为( )
A.
B.1 C.
D.2
9.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的F点处，若△FDE的周长为14，△FCB的周长为22，则FC的长度为( )
(第9题)
A.4 B.6 C.5 D.3
10.如图①，已知动点P在▱ABCD的边上沿B→C→D→A的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度，连结AP，记点P的运动时间为t秒，△ABP的面积为S.如图②是S关于t的函数图象，则下列说法中错误的是( )
(第10题)
A.a的值13 B.▱ABCD的周长为16
C.t＝2.5时，线段AP最短 D.▱ABCD的面积为12
二、填空题(每题3分，共24分)
11.
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形： (只填一个即可).
(第11题)
12.如图，翠屏公园有一块长为12 m，宽为6 m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2 m的石子路(两条石子路的任何地方的水平宽度都是2 m)，剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为 m2.
(第12题)
13.如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是 .
(第13题)
14.如图，把平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在点D1处，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝ .
(第14题)
15.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC的度数是 .
(第15题)
16.
定义：在平面直角坐标系xOy中，若点M关于直线x＝m的对称点M'在▱ABCD的内部(不包含边界)，则称点M是▱ABCD关于直线x＝m的“伴随点”.如图，已知A(－2，0)，B(3，0)，C(4，4)三点，连结BC，以AB，BC为邻边作▱ABCD.若在直线y＝x＋n上存在点N，使得点N是▱ABCD关于直线x＝2的“伴随点”，则n的取值范围是 .
(第16题)
17.如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 .
(第17题)
18.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝2BC，BC＝6
cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以2
cm/s的速度由A向D运动，Q以1
cm/s的速度由C向B运动，设运动时间为x
s，则当x＝ 时，四边形CDPQ是平行四边形.
三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)
19.[2023·北大附中期中]如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：DF＝BE.
20.[2022·株洲]如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连结CE并延长，交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE.
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形.
21.如图，在▱ABCD中，顶点A的坐标是(0，1)，AD∥x轴，一次函数y＝x－1与反比例函数y＝
的图象都经过B(－1，a)，D两点.
(1)求k的值；
(2)求平行四边形ABCD的面积.
22.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为点E.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的结论.
23.如图①，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，且交AD于点F，交CB于点E.
(1)OE与OF有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图②，若EF经过点O，与BA的延长线交于点E，与DC的延长线交于点F，OE与OF还有上述关系吗？为什么？
24.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8
cm，AD＝12
cm，BC＝18
cm，点P从点A出发以2
cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1
cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动.设点P，Q运动的时间为ts.
(1)当t取何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(2)在运动过程中，是否存在以CD为腰的等腰三角形DQC？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由.
答案
一、1.C 2.C 3.C 4.D
5.A 【点拨】∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠EAB.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE.
又∵AD∶AB＝3∶5，
∴DE∶AB＝3∶5，则CE∶AB＝2∶5.
∵▱ABCD的面积为10，
∴△ABE的面积为5，
∴△BEC的面积为2.故选A.
6.D 【点拨】已知两边及其夹角，可以确定一个平行四边形及其对角线，而两边的夹角不变，某一边不变，另一边减小时，平行四边形的对角线也在减小.所以两力的夹角θ(0°＜θ＜90°)不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，那么合力F一定减小.故选D.
7.B 【点拨】如图①，连结AB，取PQ与格线的交点为K，连结AP，BK，则AP∥BK，而AP≠BK，
∴四边形ABKP不是平行四边形，
∴AB，PQ不平行，故A不符合题意；
如图②，取格点N，连结BC，QC，BN，
由勾股定理可得QN＝BC＝
，QC＝BN＝
，
∴四边形QCBN是平行四边形，
∴BC∥PQ，故B符合题意；
如图③，取格点M，T，
根据网格图的特点可得BM⊥PQ，AT⊥QP，
根据垂线的性质可得BD⊥PQ，AD⊥PQ都错误，故C，D不符合题意.故选B.
8.C 9.A
10.C 【点拨】∵当P在BC上时，△ABP的面积S随t的增大而增大，
∴根据点(5，6)可以得到BC＝5，S△ABC＝6，
∴A到BC的距离为
，∴▱ABCD的面积为5×
＝12，故D不符合题意.
∵当P在CD上时，S不变，∴CD＝8－5＝3，
∴a＝5＋3＋5＝13，▱ABCD的周长为2×(5＋3)＝16，故A，B都不符合题意.
当AP⊥BC时，AP最短，根据勾股定理，此时
BP＝
＝
≠2.5，故C符合题意.故选C.
二、11.DF＝BE(答案不唯一)
12.48 【点拨】由图可得石子路可拼成一个底为4，高为6的平行四边形，从而求解.
13.(7，4) 14.55° 15.24°
16.－6＜n＜4 【点拨】对于y＝x＋n，
当x＝0时，y＝n，当y＝0时，x＝－n，
∴直线经过点(0，n)，(－n，0).
(0，n)，(－n，0)关于x＝2对称的点为(4，n)，(4＋n，0).
设直线y＝x＋n关于x＝2对称的直线为y＝kx＋b，
将点(4，n)，(4＋n，0)代入得
解得
∴y＝－x＋n＋4.
当y＝－x＋n＋4经过A(－2， 0)时，n＝－6；
当y＝－x＋n＋4经过C(4，4)时，n＝4.
∵点N的对称点在▱ABCD的内部(不包含边界)，
∴－6＜n＜4.
17.5
18.4 【点拨】当运动时间为x s时，AP＝2x cm，DP＝(12－2x)cm，QC＝x cm，因为四边形CDPQ是平行四边形，所以DP＝CQ，即12－2x＝x，解得x＝4.
三、19.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，∴∠DCF＝∠BAE.
在△CDF和△ABE中，
∴△CDF≌△ABE，∴DF＝BE.
20.【证明】(1)在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC.
(2)∵△AEF≌△DEC，∴∠AFE＝∠DCE，∴AB∥CD.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形.
21.【解】(1)∵点A的坐标是(0，1)，AD∥x轴，
∴点D的纵坐标为1.
∵一次函数y＝x－1图象经过点D，
∴令x－1＝1，解得x＝2.
∴D(2，1)，将点D(2，1)的坐标代入反比例函数y＝
，
得2＝
，∴k＝2.
(2)由题意，把B(－1，a)代入一次函数y＝x－1，
得a＝－1－1＝－2，
∴B(－1，－2) .
∵四边形ABCD是平行四边形，∴点E的坐标是(0，－2).
由(1)知A(0，1)，D(2，1)，
∴AD＝2，AE＝3.
又∵AD∥x轴，∴AE为▱ABCD的高，
∴平行四边形ABCD的面积等于2×3＝6.
22.(1)【证明】因为AB＝AC，
所以∠B＝∠ACB.
因为AE∥BC，所以∠EAC＝∠ACB，
所以∠B＝∠EAC.
因为AD是BC边上的中线，
所以AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
因为CE⊥AE，所以∠CEA＝90°，
所以∠ADB＝∠CEA.
又因为AB＝CA，
所以△ABD≌△CAE.
(2)【解】AB∥DE且AB＝DE.
证明：由△ABD≌△CAE可得BD＝AE.
又因为AE∥BD，所以四边形ABDE是平行四边形，
所以AB∥DE且AB＝DE.
23.【解】(1)OE＝OF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC.
∴∠OAF＝∠OCE.
又∵∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE.∴OE＝OF.
(2)有.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD.∴∠E＝∠F.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
24.【解】(1)∵PD∥QC，∴当PD＝QC时，四边形PQCD是平行四边形.
由题意知AP＝2t cm，CQ＝t cm，
∴PD＝(12－2t) cm.
∴12－2t＝t，解得t＝4.
∴当t＝4时，四边形PQCD是平行四边形.
(2)存在.过点D作DE垂直BC于点E，由题意得DE＝AB＝8 cm，BE＝AD＝12 cm，∴EC＝18－12＝6(cm).
根据勾股定理得DC＝
＝10
cm.
当CQ＝CD时，t＝10；
当DQ＝CD时，CQ＝2CE＝12 cm，此时t＝12.
∵当点P到达点C时，点Q也停止运动，
∴t最大＝
＝11.
综上，t＝10.
