第19章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.内角和为360° B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2.[2023·南阳三中月考]如图，在矩形ABCD中，AO＝3 cm，则BD的长为( )
(第2题)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.如图是用尺规过点P作直线l垂线的两种方法，其中a，b，m，n分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是( )
(第3题)
A.若a＝b，方法Ⅰ中的四边形为正方形
B.若a⊥b，方法Ⅰ中的四边形为矩形
C.若m＝n，方法Ⅱ中的四边形为菱形
D.若m⊥n，方法Ⅱ中的四边形为正方形
4.如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝
(x＞0)的图象经过点A，则此反比例函数的表达式为( )
(第4题)
A.y＝
(x＞0) B.y＝－
(x＞0) C.y＝－
(x＞0) D.y＝
(x＞0)
5.(母题：教材P121习题T3)如图，在正方形ABCD的内部，作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为( )
(第5题)
A.60° B.65° C.70° D.75°
6.[2022·赤峰]如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是( )
(第6题)
A.四边形ABCD的周长不变 B.AD＝CD
C.四边形ABCD的面积不变 D.AD＝BC
7.
翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为( )
(第7题)
A.30° B.45° C.50° D.60°
8.如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )
(第8题)
A.28° B.52° C.62° D.72°
9.[2023·河南南阳模拟]在学习《图形与坐标》的课堂上，老师让同学们自主编题，梅英同学编的题目是：“已知正方形ABCD(边长自定)，请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形ABCD各顶点的坐标.”同桌魏华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标，若在魏华同学建立的平面直角坐标系中，正方形ABCD关于x轴对称，但不关于y轴对称，点A的坐标为(－3，2)，则点C的坐标为( )
A.(3，－2) B.(2，－3) C.(－3，－2) D.(1，－2)
10.
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10
cm，BC＝8
cm，点P从点D出发，以1
cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是( )
(第10题)
A.当t＝4时，四边形ABMP为矩形
B.当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD＝PM时，t＝4
D.当CD＝PM时，t＝4或6
二、填空题(每题3分，共24分)
11.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α为 时，两条对角线长度相等.
(第11题)
12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为 .
(第12题)
13.(母题：教材P100例2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是 .
(第13题)
14.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为 .
(第14题)
15.[2023·滨州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 .
(第15题)
16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为 .
(第16题)
17.(母题：教材P118习题T2)如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为 .
(第17题)
18.
在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2，正方形A4B4C4C3，…，正方形AnBnCnCn－1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，An均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…，Cn均在x轴上.若点B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，则点An的坐标为 .
(第18题)
三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)
19.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.
求证：DE＝DF.
20.[2023·张家界]如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
(1)求证：AE∥BF；
(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形.
21.如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点.
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)求△AEF的面积.
22.[2023·河南师大附中期末]如图，已知平行四边形ABCD.
(1)若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若∠BAD＝120°，CD＝1，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积.
23.
如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE.
(1)BF与DE有怎样的数量关系？请证明你的结论.
(2)在其他条件都保持不变的情况下，当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是什么特殊四边形？请证明你的结论.
24.
已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连结AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连结CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证：AB＝CG＋CE.
(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；
(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系.
答案
一、1.C
2.D 【点拨】根据矩形的性质可知AC＝BD且AO＝CO，根据AO＝3 cm，求出AC，进一步求BD即可.
3.C 4.D 5.D 6.D
7.D 【点拨】由矩形的性质可得∠D＝∠C＝90°，进而可得∠HGC＝∠IJD＝60°，再根据三角形内角和定理可得∠GMJ＝60°，然后再证四边形NUMV是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠VNU＝∠GMJ＝60°，最后由对顶角相等即可解答.
8.C
9.D 【点拨】∵正方形ABCD关于x轴对称，
∴x轴经过AB，CD中点E，F，∴直线EF为x轴.
∵点A的坐标为(－3，2)，∴点A到y轴距离为3，点A到x轴距离为2，∴正方形ABCD的边长为4.
建立平面直角坐标系，如图.
∵正方形ABCD关于x轴对称，
点A的坐标为(－3，2)，
∴点B的坐标为(－3，－2).
又∵BC＝4，
∴点C的坐标为(1，－2).
故选D.
10.D
二、11.90° 12.30 13.2.5 14.13
15.
【点拨】如图，过A作AN⊥BD于点N，过B作BM⊥AC于点M，
∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝
BD，OA＝
AC，AC＝BD.∴OB＝OA.
∵S△AOB＝
OB·AN＝
OA·BM，∴AN＝BM.
又∵AE＝BF，∴Rt△ANE≌Rt△BMF.
∴FM＝EN.
设FM＝EN＝x.∵AF＝1，BE＝3，
∴BN＝3－x，AM＝1＋x.易知AM＝BN，
∴3－x＝1＋x.∴x＝1.∴FM＝1.∴AM＝2.
又∵AB＝5，∴BM＝
＝
.
∴BF＝
＝
＝
.
16.6
17.2.4
【点拨】易知四边形AEPF为矩形，∵M为EF中点，∴AM＝
AP.当AP⊥BC时，AM最小，此时AM＝
×
＝2.4.
18.(2n－1－1，2n－1)【点拨】本题运用从特殊到一般的思想，由题意，得点A1(0，1)，A2(1，2)，A3(3，4)，A4(7，8)，…，根据以上总结规律，可得An(2n－1－1，2n－1).
三、19.【证明】连结DB.∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC.
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.
20.【证明】(1)∵AD＝BC，
∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD.
∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△AEC≌△BFD，
∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.
(2)∵△AEC≌△BFD，
∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF.
∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形.
∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形.
21.(1)【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC＝CB，∠D＝∠B＝90°.
∵E，F分别为DC，BC的中点，
∴DE＝
DC，BF＝
BC.∴DE＝BF.
∴△ADE≌△ABF(S.A.S.).
(2)【解】由题意知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝CE＝CF＝
×4＝2，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－
×4×2－
×4×2－
×2×2＝6.
22.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M，N满足BM＝DN，
∴OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形.
(2)【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝1，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝
＝
，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC·AB＝
×1＝
.
23.【解】(1)BF＝DE.证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°.
∵AF⊥AC，∴∠BAF＝90°－∠BAC＝45°＝∠DAC.
又∵AB＝AD，AF＝AE，
∴△AFB≌△AED.∴BF＝DE.
(2)四边形AFBE是正方形.证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是AC的中点，
∴AE＝BE.
在△ABF和△ABE中，
∴△ABF≌△ABE.∴BF＝BE.
∴AE＝BE＝BF＝AF.∴四边形AFBE是菱形.
又∵AF⊥AE，∴四边形AFBE是正方形.
24.【解】(1)AB＝CG－CE.证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.
∴AB＝AC.
∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAG.
又∵四边形AEFG是菱形，∴AE＝AG.
在△ABE和△ACG中，
∴△ABE≌△ACG.∴BE＝CG.
∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE.
(2)AB＝CE－CG.
