专题
1.8
二次根式的加减（基础篇）
一、单选题
1．下列二次根式中，与
是同类二次根式的是（ ）
A．
； B．
； C．
； D．
．
2．下列二次根式中与
互为有理化因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．“□”覆盖了等式“
□
＝3”中的运算符号，则“□”覆盖的是（ ）
A．＋ B．
C．
D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．估计
的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．化简（
）2022•（
）2023的结果为（ ）
A．﹣
﹣2 B．
﹣2 C．
+2 D．﹣1
8．已知
，
，则代数式
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如果最简根式
与
是同类二次根式，那么使
有意义的x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．计算：
（ ）
A．1 
B．
C．
D．
二、填空题
11．化简：
__．
12．化简：
______．
13．若最简二次根式
与
是同类二次根式，则
________．
14．计算：
＝__．
15．比较大小：
_______
(填“
”“
”或“=”)．
16．已知
，
，则
_____．
17．若
，则
的值为______．
18．如图，数轴上与1，
对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则
＝______．
三、解答题
19．已知二次根式
．
（1）如果该二次根式
，求
的值；
（2）已知
为最简二次根式，且与
能够合并，求
的值，并求出这两个二次根式的积．
20．计算：
(1)
； (2)
.
21．计算：
(1)
； (2)
．
22．计算：
(1)
； (2)
．
23．已知
，
，求
的值
24．两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．
例如：
与
、
与
等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：
；
……
请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：
（n为正整数）利用有理化因式比较
与
的大小，并说明理由．
参考答案
1．C
【分析】将各个选项化简为最简二次根式即可进行解答．
解：A．
与
不是同类二次根式，故A不符合题意；
B．
，与
不是同类二次根式，故B不符合题意；
C．
，与
是同类二次根式，故C不符合题意；
D．
与
不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式．
2．C
【分析】两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，据此得出答案即可．
解：
，
与二次根式
互为有理化因式的是
．
故选：C
【点拨】本题考查了互为有理化因式的概念，熟记其定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据二次根式的加减乘除运算，逐个判断即可．
解：A、
，选项错误，不符合题意；
B、
，选项错误，不符合题意；
C、
，选项正确，符合题意；
D、
，选项错误，不符合题意；
故选：C
【点拨】此题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
4．D
【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．
解：A、
，则此项不符合题意；
B、
，则此项不符合题意；
C、
，则此项不符合题意；
D、
，则此项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除法则是解题关键．
5．C
【分析】由合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的性质逐项分析判断即可．
解：A、
与
不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
B、
，原计算错误，该选项不符合题意；
C、
正确，该选项符合题意；
D、
原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的性质，掌握以上知识是解题关键．
6．B
【分析】下根据二次根式的乘法计算，再估算结果的大小，即可求解．
解：
，
∵
，
∴
，
∴
的值应在4和5之间．
故选：B
【点拨】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法．
7．C
【分析】根据二次根式的乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案．
解：原式＝[（
﹣2）（
+2）]2022•（
+2）
＝（3﹣4）2022•（
+2）
＝1×（
+2）
＝
+2，
故选：C．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型．
8．C
【分析】计算出
及
的值，再运用完全平方公式可把根号内的算式用
及
的代数式表示，整体代入即可完成求值．
解：∵
，
，
∴
，
，
∴
故选：C．
【点拨】本题主要考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，对被开方数进行变形并运用整体代入法求值，是解题的关键．
9．D
【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a的值，代入
，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵最简根式
与
是同类二次根式，
∴
，
∴
，
使
有意义，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：D．
【点拨】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：
概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；
性质：被开方数为非负数．
10．D
【分析】先化简绝对值，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
解：原式＝
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了化简绝对值和二次根式的加减法法则，掌握相关基础知识和法则是解题的关键．
11．
【分析】进行分母有理化运算即可．
解：
．
故答案为：
．
【点拨】此题考查分母有理化运算，掌握分母有理化是解题的关键．
12．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．
解：
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查的是二次根式的性质和减法运算，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
13．
##0.75
【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解方程即可得到答案．
解：∵最简二次根式
与
是同类二次根式，
∴
，
解得：
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同是解题的关键．
14．
【分析】先计算二次根式的除法，再计算减法即可．
解：
＝
．
故答案为：
．
【点拨】此题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法比较大小即可．
解：
，
，
∵
，
∴
，
即
故答案为：
【点拨】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
16．
##
【分析】先化简，后代入求值即可．
解：因为
，
，
，
所以
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练化简是解题的关键．
17．
##
【分析】把
直接代入
计算即可．
解：把
代入
，得
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．
【分析】先根据对称的性质即可确定x的值，代入所求代数式计算即可解决问题．
解：∵A，B两点的分别为1，
，
∴C点所表示的数是
．
根据绝对值的意义进行化简：
原式＝
＝
＝
＝
．
故答案为：
．
【点拨】此题考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的混合运算，解题时要求能够熟练计算数轴上两点间的距离及掌握分母有理化的方法．
19．（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5．
【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可；
（2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案．
解：（1）∵
∴a+2=32
解得a=7
（2）化简，得
∵
为最简二次根式，且与
能够合并
∴
解得a=8
∴两个二次根式的积为
.
【点拨】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
20．(1)
；(2)
；
【分析】（1）直接利用绝对值的性质化简，进而合并得出答案．
（2）直接利用立方根的性质、绝对值的性质、有理数的乘除运算法则分别化简，进而合并得出答案．
解：（1）原式
，
．
（2）原式
，
，
．
【点拨】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先算乘方，零指数幂，去绝对值，再算乘法，最后合并即可；
（2）先展开（平方差和完全平方公式），再合并即可．
解：（1）原式
（2）原式
【点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据实数的混合运算法则，先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减；
（2）根据二次根式的混合运算法则，先计算乘方、乘法，再计算加法．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式、算术平方根、立方根、绝对值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式、算术平方根、立方根、绝对值、完全平方公式是解决本题的关键．
23．
【分析】根据
，对
进行化简，然后把
，
的值代入，即可．
解：∵
；
把
，
代入
，
∴
．
【点拨】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的化简，分母有理化，平方差公式，完全平方公式．
24．(1)
(2)
，见分析
【分析】（1）仿照例题，利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）仿照例题，利用分子有理化，进行计算即可解答．
（1）解：
；
（2）解：
，
，
∵
，
∴
，即
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键．