【324058】2024八年级数学下册 专题1.8以二次根式为载体的材料阅读题大题专练（重难点培优）（

专题1.8以二次根式为载体的材料阅读题大题专练（重难点培优）

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一．解答题（共24小题）

1．（盂县月考）阅读与计算：

古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，则三角形的面积为： （海伦公式），若 中， ， ， ，请利用上面公式求出 的面积．

【分析】先求出 ，再代入海伦公式中计算即可．

【解析】 ， ， ，

，

．

2．（罗湖区校级期中）在解决问题：“已知 ，求 的值”．

，

，

，

，

．

请你根据小明的解答过程，解决下列问题：

（1）化简： ；

（2）若 ，求 的值．

【分析】（1）根据平方差公式计算；

（2）利用分母有理化把 化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．

【解析】（1） ；

（2） ，

则

．

3．（薛城区期中）阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．继续进行以下的探索：设 （其中 ， ， ， 都是正整数），则有 ． ， ，这样就得出了把类似 的式子化为平方式的方法．

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

（1）当 ， ， ， 都是正整数时，若 ，用含 ， 的式子分别表示 ， ，得 　 　， 　　；

（2）利用上述方法，填空： 　　 　　 ；

（3）如果 ，且 ， ， 都是正整数，求 的值．

【分析】（1）仿照阅读理解解答；

（2）根据完全平方公式计算即可；

（3）分 ， 或 ， 两种情况，根据（1）的结论计算，得到答案．

【解析】（1） ， ；

（2） ；

（3） ，

，而 ， 都为正整数，

， 或 ， ，

当 ， 时， ，

当 ， 时， ，

综上所述， 的值为14或46，

故答案为：（1） ； ；

（2）1；2．

4．（西湖区校级月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．

设 （其中 、 、 、 均为正整数），则有 ， ， ．这样可以把部分 的式子化为平方式的方法．

请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

（1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得： 　 　， 　　．

（2）利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空：　　 　　 　　 　　 ；

（3）化简

【分析】（1）将 用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；

（2）设 ，则 ，比较完全平方式右边的值与 ，可将 和 用 和 表示出来，再给 和 取特殊值，即可得答案；

（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．

【解析】（1） ，

，

故答案为： ， ．

（2）设

则

，

若令 ， ，则 ，

故答案为：21，4，1，2．

（3）

5．（安岳县校级月考）在二次根式中如： ， ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： ， ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1） 的有理化因式可以是　 　， 分母有理化得　　．

（2）计算：

①已知 ，求 的值；

② ．

【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；

（2）①将 与 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．

②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．

【解析】（1） 的有理化因式可以是 ，

．

故答案为： ， ；

（2）①当 ，

时，

．

②原式 ．

6．（丰台区校级期中）观察下列等式：

第1个等式： ，

第2个等式： ，

第3个等式： ，

第4个等式： ，

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第 个等式： 　 　；

（2） 　　．

【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．

（2）利用分母有理化得到 、 、 的值，再利用计算的结果找出变化规律得到 ，最后根据二次根式加减法计算即可．

【解析】（1） ；

故答案为： ．

（2）

．．

故答案为：

7．（市中区校级一模）观察下面的式子：

， ，

（1）计算： 　 　， 　　；猜想 　　（用 的代数式表示）；

（2）计算： （用 的代数式表示）．

【分析】（1）分别求出 ， ， 的值，再求出其算术平方根即可；

（2）根据（1）的结果进行拆项得出 ，再转换成

即可求出答案．

【解答】（1）解： ，

；

，

；

，

；

，

，

故答案为： ， ， ；

（2）解：

，

．

8．（沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明进行了以下探索：

设 （其中 、 、 、 均为整数），则有： ， ， ，这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 得： 　 　， 　　；

（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出： 　　．

（3）请化简：

【分析】（1）利用完全平方公式展开得到 ，从而可用 、 表示 、 ；

（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；

（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．

【解析】（1） ，

， ．

故答案为 ， ；

（2） ；

故答案为： ；

（3） ，

．

9．（乐亭县期末）先阅读，再解答

由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题：

（1） 的有理化因式是　 　；

（2）化去式子分母中的根号： 　　， 　　．

（3） 　　 （填 或

（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：

【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；

（2）利用分母有理化计算；

（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到 ； ，然后进行大小比较；

（4）先根据规律 化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．

【解析】（1） 的有理化因式是 ．

故答案为 ；

（2） ， ．

故答案为 ， ；

（3） ， ，

，

，

．

故答案为 ；

（4）原式

．

10．（惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：

，验证： ；

，验证： ．

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．

（2）针对上述各式反映的规律，写出用 为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

【分析】（1）利用已知，观察 ， ，可得 的值；

（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；

【解析】（1） ， ，

，

验证： ，正确；

（2）由（1）中的规律可知 ， ， ，

，

验证： ；正确；

11．阅读材料：小聪在学习二次根式后，发现含根号的式子 可以写成另一个式子 的平方，即 ．

（1）将 写成另一个式子的平方；

（2）化简： ；

（3）化简： ．

【分析】（1）根据题意给出的方法即可求出答案．

（2） （3）根据题意给出的方法以及完全平方公式即可求出答案．

【解析】（1） ；

（2）原式 、

（3）原式

12．观察下列各式及验证过程：

验证：

验证：

（1）通过对上述两个等式及其验证过程的分析研究，你发现了什么规律？并证明你的发现．

（2）自己想一个数，验证你的发现．

【分析】（1）由上述两个等式及其验证过程的分析研究可知 ， ，根据二次根式的性质可以总结出一般规律；

（2） 进行验证即可．

【解析】（1）由题目可知 ， ，

验证： ．

（2） ．

13．（芜湖期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如 ，然后小明以进行了以下探索：设 （其中 ， ， ， 均为整数），则有 ，所以 ， ，这样小明找到了一种类似 的式子化为平方式的方法．

请仿照小明的方法探索解决下列问题：

（1）当 ， ， ， 均为整数时，若 ，则 　 　， 　　；

（2）请找一组正整数，填空：　　 　　 　　 　　 ；

（3）若 ，且 ， ， 均为正整数，求 的值．

【分析】（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出 、 的值；

（2）根据（1）可令 ， ，那么 ， ，即可求解；

（3）由（1）可得 ，那么 ，根据 ， 均为正整数，得出 ， 或 ， ，分别代入 ，计算即可．

【解析】（1） ，

，

， ．

故答案为 ， ；

（2）令 ， ，

由（1）可得 ， ，

．

故答案为9，4，2，1（答案不唯一）；

（3）由（1）可得 ， ，

，

， 均为正整数，

， 或 ， ，

，或 ．

14．（遂溪县期末）阅读下列解题过程： ；请回答下列问题：

（1）观察上面的解题过程，化简：① ②

（2）利用上面提供的解法，请计算： ．

【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．

（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．

【解析】（1）① ；

② ；

（2）

．

15．（饶平县校级期中）已知： ， ，分别求下列代数式的值：

（1） （2） ．

【分析】（1）求出 和 的值，把所求代数式化成含有 和 的形式，代入即可；

（2）通分后把 和 的值代入求出即可．

【解析】 ， ，

，

，

（1）

（2） ．

16．（庐阳区校级期中）观察下列等式：

① ② ③

（1）写出式⑤：　 　；

（2）试用含 为自然数，且 的等式表示这一规律，并加以验证．

【分析】（1）根据规律解答即可；

（2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可．

【解析】（1）式⑤： ．

故答案为： ．

（2）第 个等式为 ．

为自然数，且 ，

．

17．（昭通期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算： ， ，不难发现，结果都是7．

（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；

（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．

【分析】（1）直接选择一组数据代入计算得出答案；

（2）利用3个数据之间的关系进而计算得出答案．

【解答】（1）解：答案不唯一，如：

；

（2）证明：设中间那个数为 ，则：

，

．

18．（渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如：当 时，求 的值．

为解答这道题，若直接把 代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法：将条件变形，因 ，得 ，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．

由 ，可得 ，即 ， ．

原式 ．

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

（1）若 ，求 的值；

（2）已知 ，求 的值．

【分析】（1）变形已知条件得到 ，两边平方得到 ，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为 ，然后把 的值代入计算即可；

（2）变形已知条件，利用平方的形式得到 或 ，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．

【解析】（1） ，

，

，

即 ，

，

原式

；

（2） ，

，

，

即 ，

或 ，

原式

．

19．（吴江区期中）阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．

在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如： ， ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： ， ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1） 的有理化因式可以是　 　， 分母有理化得　　．

（2）计算：

①已知 ，求 的值；

② ．

【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；

（2）①将 与 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．

②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．

【解析】（1） 的有理化因式可以是 ，

，

故答案为： ， ；

（2）①当 ，

时，

．

②原式

．

20．（曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如： ， ，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解： ， ．

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．

解决下列问题：

（1）将 分母有理化得　 　； 的有理化因式是　　；

（2）化简： 　　；

（3）化简： ．

【分析】（1）分子、分母都乘以 即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；

（2）分子、分母都乘以 求解可得；

（3）原式变形为 ，再进一步斤算可得．

【解析】（1） ，

，即 的有理化因式是 ，

故答案为： ， ；

（2） ，

故答案为： ．

（3）原式

．

21．小琪在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如：

．

（1）在括号内填上适当的数：

　3　 　　 　　 ；

（2）若 ，求 的值．

【分析】（1）把16分成7和9，写成一个完全平方公式形式即可；

（2）展开平方项，进而可以求出 的值．

【解析】（1） （3） ；

故答案为3； ；

（2） ，

即 ．

22．（永安市期中）阅读下列解题过程： ； ； ；

则：（1） 　 　；

（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子 　　；

（3）利用这一规律计算： 的值

【分析】（1）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值；

（2）根据题目中的例子，可以写出所求式子的值；

（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．

【解析】（1） ，

故答案为： ；

（2） ，

故答案为： ；

（3）

．

23．（新罗区校级月考）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：

设 （其中 、 、 、 均为正整数），则有 ， ， ．这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得： 　 　， 　　；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空：

　　 　　 　　 　　 ；

（3）化简： 　　．

【分析】（1）模仿例题可以解决问题；

（2）取 ，可得 ， ；（答案不唯一）

（3）根据 ，即可解决问题；

【解析】（1） ，

，

， ．

故答案为 ， ．

（2）取 ，可得 ， ；

故答案为：4，2，1，1；

（3） ，

，

故答案为 ．

24．（孟村县期末）观察下列各式， ， ， ，

（1）化简以上各式，并计算出结果；

（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果

（3）用含 的整数）的式子写出第 个式子及结果，并给出证明的过程．

【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；

（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；

（3）根据（1）的规律可得 ，然后分母有理化，求出结果即可．

【解析】（1） ，

，

，

，

（2） ，

（3） ．