专题1.8以二次根式为载体的材料阅读题大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（盂县月考）阅读与计算：
古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为
，
，
，记
，则三角形的面积为：
（海伦公式），若
中，
，
，
，请利用上面公式求出
的面积．
【分析】先求出
，再代入海伦公式中计算即可．
【解析】
，
，
，
，
．
2．（罗湖区校级期中）在解决问题：“已知
，求
的值”．
，
，
，
，
．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
（1）化简：
；
（2）若
，求
的值．
【分析】（1）根据平方差公式计算；
（2）利用分母有理化把
化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解析】（1）
；
（2）
，
则
．
3．（薛城区期中）阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．继续进行以下的探索：设
（其中
，
，
，
都是正整数），则有
．
，
，这样就得出了把类似
的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当
，
，
，
都是正整数时，若
，用含
，
的式子分别表示
，
，得
，
；
（2）利用上述方法，填空：
；
（3）如果
，且
，
，
都是正整数，求
的值．
【分析】（1）仿照阅读理解解答；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）分
，
或
，
两种情况，根据（1）的结论计算，得到答案．
【解析】（1）
，
；
（2）
；
（3）
，
，而
，
都为正整数，
，
或
，
，
当
，
时，
，
当
，
时，
，
综上所述，
的值为14或46，
故答案为：（1）
；
；
（2）1；2．
4．（西湖区校级月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．
设
（其中
、
、
、
均为正整数），则有
，
，
．这样可以把部分
的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当
、
、
、
均为正整数时，若
，用含
、
的式子分别表示
、
，得：
，
．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数
、
、
、
填空： 
；
（3）化简
【分析】（1）将
用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
（2）设
，则
，比较完全平方式右边的值与
，可将
和
用
和
表示出来，再给
和
取特殊值，即可得答案；
（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．
【解析】（1）
，
，
故答案为：
，
．
（2）设
则
，
若令
，
，则
，
故答案为：21，4，1，2．
（3）
5．（安岳县校级月考）在二次根式中如：
，
，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：
，
．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）
的有理化因式可以是 
，
分母有理化得 ．
（2）计算：
①已知
，求
的值；
②
．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①将
与
分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【解析】（1）
的有理化因式可以是
，
．
故答案为：
，
；
（2）①当
，
时，
．
②原式
．
6．（丰台区校级期中）观察下列等式：
第1个等式：
，
第2个等式：
，
第3个等式：
，
第4个等式：
，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第
个等式：
；
（2）
．
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．
（2）利用分母有理化得到
、
、
的值，再利用计算的结果找出变化规律得到
，最后根据二次根式加减法计算即可．
【解析】（1）
；
故答案为：
．
（2）
．．
故答案为：
7．（市中区校级一模）观察下面的式子：
，
，
（1）计算：
，
；猜想
（用
的代数式表示）；
（2）计算：
（用
的代数式表示）．
【分析】（1）分别求出
，
，
的值，再求出其算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项得出
，再转换成
即可求出答案．
【解答】（1）解：
，
；
，
；
，
；
，
，
故答案为：
，
，
；
（2）解：
，
．
8．（沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
，善于思考的小明进行了以下探索：
设
（其中
、
、
、
均为整数），则有：
，
，
，这样小明就找到了一种把类似
的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当
、
、
、
均为正整数时，若
，用含
、
的式子分别表示
、
得：
，
；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：
．
（3）请化简：
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到
，从而可用
、
表示
、
；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解析】（1）
，
，
．
故答案为
，
；
（2）
；
故答案为：
；
（3）
，
．
9．（乐亭县期末）先阅读，再解答
由
可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
（1）
的有理化因式是 
；
（2）化去式子分母中的根号：
，
．
（3）
（填
或
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到
；
，然后进行大小比较；
（4）先根据规律
化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【解析】（1）
的有理化因式是
．
故答案为
；
（2）
，
．
故答案为
，
；
（3）
，
，
，
，
．
故答案为
；
（4）原式
．
10．（惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：
，验证：
；
，验证：
．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用
为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【分析】（1）利用已知，观察
，
，可得
的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解析】（1）
，
，
，
验证：
，正确；
（2）由（1）中的规律可知
，
，
，
，
验证：
；正确；
11．阅读材料：小聪在学习二次根式后，发现含根号的式子
可以写成另一个式子
的平方，即
．
（1）将
写成另一个式子的平方；
（2）化简：
；
（3）化简：
．
【分析】（1）根据题意给出的方法即可求出答案．
（2）
（3）根据题意给出的方法以及完全平方公式即可求出答案．
【解析】（1）
；
（2）原式
、
（3）原式
12．观察下列各式及验证过程：
验证：
验证：
（1）通过对上述两个等式及其验证过程的分析研究，你发现了什么规律？并证明你的发现．
（2）自己想一个数，验证你的发现．
【分析】（1）由上述两个等式及其验证过程的分析研究可知
，
，根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
（2）
进行验证即可．
【解析】（1）由题目可知
，
，
验证：
．
（2）
．
13．（芜湖期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如
，然后小明以进行了以下探索：设
（其中
，
，
，
均为整数），则有
，所以
，
，这样小明找到了一种类似
的式子化为平方式的方法．
请仿照小明的方法探索解决下列问题：
（1）当
，
，
，
均为整数时，若
，则
，
；
（2）请找一组正整数，填空：
；
（3）若
，且
，
，
均为正整数，求
的值．
【分析】（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出
、
的值；
（2）根据（1）可令
，
，那么
，
，即可求解；
（3）由（1）可得
，那么
，根据
，
均为正整数，得出
，
或
，
，分别代入
，计算即可．
【解析】（1）
，
，
，
．
故答案为
，
；
（2）令
，
，
由（1）可得
，
，
．
故答案为9，4，2，1（答案不唯一）；
（3）由（1）可得
，
，
，
，
均为正整数，
，
或
，
，
，或
．
14．（遂溪县期末）阅读下列解题过程：
；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①
②
（2）利用上面提供的解法，请计算：
．
【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．
（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．
【解析】（1）①
；
②
；
（2）
．
15．（饶平县校级期中）已知：
，
，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）
．
【分析】（1）求出
和
的值，把所求代数式化成含有
和
的形式，代入即可；
（2）通分后把
和
的值代入求出即可．
【解析】
，
，
，
，
（1）
（2）
．
16．（庐阳区校级期中）观察下列等式：
①
②
③
（1）写出式⑤： 
；
（2）试用含
为自然数，且
的等式表示这一规律，并加以验证．
【分析】（1）根据规律解答即可；
（2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可．
【解析】（1）式⑤：
．
故答案为：
．
（2）第
个等式为
．
为自然数，且
，
．
17．（昭通期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：
，
，不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．
【分析】（1）直接选择一组数据代入计算得出答案；
（2）利用3个数据之间的关系进而计算得出答案．
【解答】（1）解：答案不唯一，如：
；
（2）证明：设中间那个数为
，则：
，
．
18．（渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
例如：当
时，求
的值．
为解答这道题，若直接把
代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，因
，得
，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由
，可得
，即
，
．
原式
．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若
，求
的值；
（2）已知
，求
的值．
【分析】（1）变形已知条件得到
，两边平方得到
，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为
，然后把
的值代入计算即可；
（2）变形已知条件，利用平方的形式得到
或
，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．
【解析】（1）
，
，
，
即
，
，
原式
；
（2）
，
，
，
即
，
或
，
原式
．
19．（吴江区期中）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．
在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：
，
，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：
，
．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）
的有理化因式可以是
，
分母有理化得 ．
（2）计算：
①已知
，求
的值；
②
．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①将
与
分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【解析】（1）
的有理化因式可以是
，
，
故答案为：
，
；
（2）①当
，
时，
．
②原式
．
20．（曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：
，
，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：
，
．
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决下列问题：
（1）将
分母有理化得 
；
的有理化因式是 ；
（2）化简：
；
（3）化简：
．
【分析】（1）分子、分母都乘以
即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；
（2）分子、分母都乘以
求解可得；
（3）原式变形为
，再进一步斤算可得．
【解析】（1）
，
，即
的有理化因式是
，
故答案为：
，
；
（2）
，
故答案为：
．
（3）原式
．
21．小琪在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如：
．
（1）在括号内填上适当的数：
3 
；
（2）若
，求
的值．
【分析】（1）把16分成7和9，写成一个完全平方公式形式即可；
（2）展开平方项，进而可以求出
的值．
【解析】（1）
（3）
；
故答案为3；
；
（2）
，
即
．
22．（永安市期中）阅读下列解题过程：
；
；
；
则：（1）
；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子
；
（3）利用这一规律计算：
的值
【分析】（1）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值；
（2）根据题目中的例子，可以写出所求式子的值；
（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）
，
故答案为：
；
（2）
，
故答案为：
；
（3）
．
23．（新罗区校级月考）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
设
（其中
、
、
、
均为正整数），则有
，
，
．这样小明就找到了一种把部分
的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当
、
、
、
均为正整数时，若
，用含
、
的式子分别表示
、
，得：
，
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数
、
、
、
填空：
；
（3）化简：
．
【分析】（1）模仿例题可以解决问题；
（2）取
，可得
，
；（答案不唯一）
（3）根据
，即可解决问题；
【解析】（1）
，
，
，
．
故答案为
，
．
（2）取
，可得
，
；
故答案为：4，2，1，1；
（3）
，
，
故答案为
．
24．（孟村县期末）观察下列各式，
，
，
，
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含
的整数）的式子写出第
个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得
，然后分母有理化，求出结果即可．
【解析】（1）
，
，
，
，
（2）
，
（3）
．