【327891】2023年四川省自贡市中考数学真题

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2023年四川省自贡市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.如图，数轴上点A表示的数是2023， ，则点B表示的数是（       ）

A．2023
B．
C．
D．

2.自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约 人．人数 用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

3.如图中六棱柱的左视图是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

4.如图，某人沿路线 行走， 与 方向相同， ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.如图，边长为 的正方形 两边与坐标轴正半轴重合，点 的坐标是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.下列说法正确的是（       ）
A．甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是 ，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为 ，买100张奖券，一定会中奖1次
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D． 是不等式 的解，这是一个必然事件

8.如图， 内接于 ， 是 的直径，连接 ， ，则 的度数是（       ）

A．
B．
C．
D．

9.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角 ，算出这个正多边形的边数是（       ）
   
A．9
B．10
C．11
D．12

10.如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（       ）
   
A．小亮从家到羽毛球馆用了 分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 米
C．报亭到小亮家的距离是 米
D．小亮打羽毛球的时间是 分钟

11.经过 两点的抛物线 （ 为自变量）与 轴有交点，则线段 长为（       ）
A．10
B．12
C．13
D．15

12.如图，分别经过原点 和点 的动直线 ， 夹角 ，点 是 中点，连接 ，则 的最大值是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.计算： ________．

14.请写出一个比 小的整数________．

15.化简 _______．

16.端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是________．

17.如图，小珍同学用半径为 ，圆心角为 的扇形纸片，制作一个底面半径为 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________ ．
   

18.如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．当 取最小值时， 的最小值是 ________．
   

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.在平行四边形 中，点E、F分别在边 和 上，且 ．
求证： ．

21.某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．

22.某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．
   
(1)补全学生课外读书数量条形统计图；
(2)请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；
(3)该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．

23.如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 分别是斜边 ， 的中点， ．
   
(1)将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值；
(2)将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ），求 的长．

24.如图，点 在反比例函数 图象上．一次函数 的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且 与 的面积比为 ．
   
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出 时，x的取值范围．

25.为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
   
(1)测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡 ，山的高度即为三段坡面的铅直高度 之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆 的一端放在坡面起始端A处，直杆 沿坡面 方向放置，在直杆 另一端N用细线系小重物G，当直杆 与铅垂线 重合时，测得两杆夹角 的度数，由此可得山坡AB坡角 的度数．请直接写出 之间的数量关系．
(2)测量山高
同学们测得山坡 的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为 ；为求 ，小熠同学在作业本上画了一个含 角的 （如图3），量得 ．求山高 ．（ ，结果精确到1米）
(3)测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
   
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于 的顶端，当 与铅垂线 重合时，转动直杆 ，使点N，P，D共线，测得 的度数，从而得到山顶仰角 ，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角 ；画一个含 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 厘米， 厘米，再画一个含 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 厘米， 厘米．已知杆高MN为 米，求山高 ．（结果用不含 的字母表示）

26.如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
   
(1)求抛物线解析式及 ， 两点坐标；
(2)以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
根据数轴的定义求解即可．
解；∵数轴上点A表示的数是2023， ，
∴ ，
∴点B表示的数是 ，
故选：B．

2.C

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
解： ．
故选：C．

3.A

【解析】
根据几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
根据三视图的概念，可知选项A中的图形是左视图，选项C中的图形是主视图，选项D中的图形是俯视图，
故选A．

4.C

【解析】
证明 ，利用平行线的性质即可得到答案．
解： 与 方向相同，
，
，
，
．
故选：C．

5.C

【解析】
根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．
解：∵边长为 的正方形 两边与坐标轴正半轴重合，
∴
∴ ,
故选：C．

6.B

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．

7.D

【解析】
根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断
解：A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是 ，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
B. 某奖券的中奖率为 ，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意；
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查
D.解： ，
，
解得： ，
∴ 是不等式 的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．

8.C

【解析】
由 是 的直径，得出 ，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出 ，进而即可求解．
解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．

9.D

【解析】
根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出 ，然后可得每一个外角为 ，进而即可求解．
解：依题意， ， ，
∴
∴
∴这个正多边形的一个外角为 ，
所以这个多边形的边数为 ，
故选：D．

10.D

【解析】
根据函数图象，逐项分析判断即可求解．
解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了 分钟，故该选项正确，不符合题意；       
B. （米/分钟），
即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 米，故该选项正确，不符合题意；
C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是 米，故该选项正确，不符合题意；
D. 小亮打羽毛球的时间是 分钟，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．

11.B

【解析】
根据题意，求得对称轴，进而得出 ，求得抛物线解析式，根据抛物线与 轴有交点得出 ，进而得出 ，则 ，求得 的横坐标，即可求解．
解：∵抛物线 的对称轴为直线
∵抛物线经过 两点
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴有交点，
∴ ，
即 ，
即 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．

12.A

【解析】
根据已知条件， ，得出 的轨迹是圆，取点 ，则 是 的中位线，则求得 的正弦的最大值即可求解，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大，据此即可求解．
解：如图所示，以 为边向上作等边 ，过点 作 轴于点 ，则 ，
则 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ，
取点 ，则 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴点 在半径为 的 上运动，
∵ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大，
在 中， ，
过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 则

∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
设 ， ,
则
∴
∴
∴
解得：
∴
∴ 的最大值为 ，
故选：A．

13.

【解析】
直接合并同类项即可求解．
解： ．
故答案为： ．

14. （答案不唯一）

【解析】
根据算术平方根的意义求解 ．
解：∴由 可得： ，
即 ，
故答案为： （答案不唯一）．

15.

【解析】
将分子用平方差公式展开再化简即可．
解：原式= ，
故答案为： ．

16. ##0.4

【解析】
画树状图可得，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
解：设蛋黄粽为A，鲜肉粽为B，画树状图如下：
       
共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，
∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 ，
故答案为： ．

17. ##

【解析】
由题意知，底面半径为 的圆锥的底面周长为 ，扇形弧长为 ，则扇形中未组成圆锥底面的弧长 ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为 ，计算求解即可．
解：由题意知，底面半径为 的圆锥的底面周长为 ，扇形弧长为 ，
∴扇形中未组成圆锥底面的弧长 ，
∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，
∴圆锥上粘贴部分的面积为 ，
故答案为： ．

18.

【解析】
作出点 ，作 于点D，交x轴于点F，此时 的最小值为 的长，利用解直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作 轴于点G，此时 的最小值是 的长，据此求解即可．
解：∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴ ， ，
作点B关于x轴的对称点 ，把点 向右平移3个单位得到 ，
作 于点D，交x轴于点F，过点 作 交x轴于点E，则四边形 是平行四边形，
此时， ，
∴ 有最小值，
作 轴于点P，
       
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立， ，解得 ，
即 ；
过点D作 轴于点G，
   
直线 与x轴的交点为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值是 ，
故答案为： ．

19.

【解析】
先化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方，再进行计算即可求解．
解：

．

20.见解析

【解析】
平行四边形的性质得到 ，进而推出 ，得到四边形 是平行四边形，即可得到 ．
解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
∴
四边形 是平行四边形，
．

21.该客车的载客量为40人

【解析】
设该客车的载客量为 人，由题意知， ，计算求解即可．
解：设该客车的载客量为 人，
由题意知， ，
解得， ，
∴该客车的载客量为40人．

22.(1)补全学生课外读书数量条形统计图见解析
(2)4， ，
(3) 人

【解析】
（1）根据已知条件可知，课外读书数量为2本的有2人，4本的有4人，据此可以补全条形统计图；
（2）根据众数，中位数和平均数的定义求解即可；
（3）用该校学生总数乘以抽样调查的数据中外读书数量不少于3本的学生人数所占的比例即可．
（1）补全学生课外读书数量条形统计图，如图：
   
（2）∵本次所抽取学生课外读书数量的数据中出现次数最多的是4，
∴众数是4．
将本次所抽取的12名学生课外读书数量的数据，按照从小到大的顺序排列为：
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5．
∵中间两位数据是3，4，
∴中位数是： ．
平均数为： ．
（3） ，
∴该校有600名学生，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为 人．

23.(1)最大值为 ，最小值为
(2)

【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出 的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据旋转的性质求得 ，进而得出 ，进而可得 ，勾股定理解 ，即可求解．
（1）解：依题意， ， ，
当 在 的延长线上时， 的距离最大，最大值为 ，
当 在线段 上时， 的距离最小，最小值为 ；
   
（2）解：如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
   
∵ 绕顶点 逆时针旋转 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ．

24.(1)反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 或
(2)当一次函数解析式为 时，x的取值范围为 或 ；当一次函数解析式为 时x的取值范围为 或

【解析】
（1）将 代入 得， ，解得 ，可得反比例函数解析式为 ；当 ， ，则 ， ，当 ， ，则 ， ，由 与 的面积比为 ，可得 ，整理得 ，即 ，解得 或 ，当 时，将 代入 得， ，解得 ，则 ；当 时，将 代入 得， ，解得 ，则 ；
（2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为 时，如图1，联立 ，解得 或 ，根据函数图象判断x的取值范围即可；②当一次函数解析式为 时，如图2，联立 ，解得 或 ，根据函数图象判断x的取值范围即可．
（1）解：将 代入 得， ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
当 ， ，则 ， ，
当 ， ，则 ， ，
∵ 与 的面积比为 ，
∴ ，整理得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，将 代入 得， ，解得 ，则 ；
当 时，将 代入 得， ，解得 ，则 ；
综上，一次函数解析式为 或 ；
∴反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 或 ；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
①当一次函数解析式为 时，如图1，
   
联立 ，解得 或 ，
由函数图象可知， 时，x的取值范围为 或 ；
②当一次函数解析式为 时，如图2，
   
联立 ，解得 或 ，
由函数图象可知， 时，x的取值范围为 或 ；
综上，当一次函数解析式为 时，x的取值范围为 或 ；当一次函数解析式为 时x的取值范围为 或 ．

25.(1) ；
(2)山高 为69米；
(3)山高 的高为 米．．

【解析】
（1）利用互余的性质即可求解；
（2）先求得 ，再分别在 、 、 中，解直角三角形即可求解；
（3）先求得 ， ，在 和 中，分别求得 和 的长，得到方程 ，据此即可求解．
（1）解：由题意得 ，
       
∴ ；
（2）解：在 中， ．
   
∴ ，
在 中， ， 米，
∴ (米)，
在 中， ， 米，
∴ (米)，
在 中， ， 米，
∴ (米)，
∴山高 (米)，
答：山高 为69米；
（3）解：如图，由题意得 ， ，
   
设山高 ，则 ，
   
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，山高
答：山高 的高为 米．

26.(1)抛物线解析式为 ， ，
(2) 或 或
(3)

【解析】
（1）将点 代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令 ，即可求得 两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当 ， 为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ，则 在 上，根据等弧所对的圆周角相等，得出 在 上，进而勾股定理，根据 建立方程，求得点 的坐标，进而得出 的解析式，即可求解．
（1）解：∵抛物线 与x轴交于 ，
∴
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
当 时，
解得： ，
∴
（2）∵ ， ， ，
设 ，
∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形
当 为对角线时，
解得： ，
∴ ；
当 为对角线时，
解得：
∴
当 为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 或 或
（3）解：如图所示，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ，
   
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 在 上，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 在 上，
设 ，则
解得： （舍去）
∴点
设直线 的解析式为
∴
解得： .
∴直线 的解析式
∵ ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
当 时， ，
∴ ．