【327889】2023年四川省雅安市中考数学真题

绝密·启用前

2023年四川省雅安市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.在0， ， ，2四个数中，负数是（       ）
A．0
B．
C．
D．2

2.计算 的结果是（       ）
A．
B．0
C．1
D．19

3.如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

4.如图， ， 于点C， ，则 的度数为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.若 ．则 的值是（       ）
A．
B．
C．5
D．

6.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.不等式组 的解集是（       ）
A．
B．
C．
D．

8.如图，某小区要绿化一扇形 空地，准备在小扇形 内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得 ， ， ，则种草区域的面积为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

9.某位运动员在一次射击训练中， 次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（       ）
   
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，

10.在平面直角坐标系中．将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 ，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（       ）
A．
B．
C．
D．

11.如图，在 中，F是 上一点， 交 于点E， 的延长线交 的延长线于点G， ， ，则 的长为（       ）

A．4
B．6
C．8
D．10

12.如图，二次函数 的图象与x轴交于 ，B两点，对称轴是直线 ，下列结论中，① ；②点B的坐标为 ；③ ；④对于任意实数m，都有 ，所有正确结论的序号为（       ）
   
A．①②
B．②③
C．②③④
D．③④

13.在一个不透明的口袋中，装有1个红球若干个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 ，则此口袋中白球的个数为____________.

14.若 ， ，则 的值为__________．

15.已知关于x的方程 的一个根为1，则该方程的另一个根为__________．

16.如图，在 中， ．P为边 上一动点，作 于点D， 于点E，则 的最小值为___________．
   

17.如图．四边形 中， ， ， ， 交 于点 ， ， ，则AB的长为___________．

18.（1）计算：
（2）先化简，再求值： ．其中

19.某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：

   
请根据图表信息解答下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)补全频数直方图；
(3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．

20.如图，已知 ， 是 对角线 上两点， ．
   
(1)求证： ；
(2)若 交 的延长线于点 ， ，求 的面积．

21.李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：

(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花 元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花m元，设批发甲种蔬菜 ，求m与n的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？

22.如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为 的正方形．点 ， 在坐标轴上．反比例函数 的图象经过点 ．
   
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2， ．求直线 的函数表达式．

23.如图，在 中， ，以 为直径的 与 交于点D，点 是 的中点，连接 ， ．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，点P是 上一动点，求 的最大值．

24.在平面直角坐标系中，已知抛物线 过点 ，对称轴是直线 ．
   
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当 是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为 是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.C

【解析】
根据负数的定义∶ 比0小的数叫做负数，即可得出答案．
解：0既不是正数也不是负数， 是负数， 和2是正数，
故选：C．

2.B

【解析】
根据零指数幂的性质，即可求解．
=
=0．
故选B．

3.C

【解析】
根据主视图的定义即可判断，从正面看到的图形即是主视图．
从正面看可以得到从左到右两列，正方形的个数依次为2、1，
据此可知主视图为：
       
故选：C．

4.B

【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得 的度数，根据垂直的定义可得 ，然后根据 即可得出答案．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．

5.A

【解析】
把所求代数式 变形为 ，然后把条件整体代入求值即可．
解：∵
∴ ，
∴


．
故选：A．

6.D

【解析】
根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可．
A、 与 不是同类项，不可合并，此项运算错误；
B、 ，，此项运算错误；
C、 ，，此项运算错误；
D、 ，此项运算正确，
故选：D．

7.D

【解析】
分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
故选：D．

8.B

【解析】
种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，利用利用扇形的面积公式计算即可．
解∶∵ ， ， ，
∴种草区域的面积为 ，
故选：B．

9.B

【解析】
根据折线图将成绩从小到大依次排列，然后求中位数与平均数即可．
解：由图可知， 次的成绩由小到大依次排列为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
∴10次成绩的中位数为 ，
平均数为 ，故B正确．
故选：B．

10.A

【解析】
先求出函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式．
解：∵点 是函数 图象上的点，
∴将 绕原点逆时针旋转 ，则旋转后图象经过原点和 、
∴将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 得到图象的解析式为 ，
∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为 ．
故选A．

11.C

【解析】
由平行四边形的性质可得 ， ，设 为x可得 ，解之即可．
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 为x，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
得 ，
∴ ．
故选：C．

12.C

【解析】
根据抛物线开口方向可得a的符号，可对①进行判断；根据抛物线的对称轴 ，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对②进行判断；根据点A ，点B 代入解析式利用加减消元法可得 ，从而判定③，再由 时函数取最大值判定④．
解：∵抛物线开☐向下，
∴ ，故①错误，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，
设点B坐标为
∵抛物线对称轴为直线 ，点A的坐标为 ，
∴ ，解得： ，
∴点B的坐标为 ，故②正确，
∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴
∴由 得 ，即 ，故③正确；
∵ ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， 时函数最大值，
当 时， ，
∴ ，即 ，
综上所述：正确的结论有②③④，
故选：C．

13.3

【解析】
根据概率公式即可得出总数,再根据总数算出白球个数即可.
∵摸到红球的概率为 ,且袋中只有1个红球,
∴袋中共有4个球,
∴白球个数=4-1=3.
故答案为:3.

14.

【解析】
先将代数式根据平方差公式分解为： = ，再分别代入求解．
∵ ， ，
∴原式 ．
故答案为： ．

15.

【解析】
设方程的另一个根为m，根据两根之积等于 ，得到关于m的一元一次方程，解之即可求解．
设方程的另一个根为m，
根据题意得， ，
解得： ，
故答案为： ．

16.

【解析】
连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
解：如图，连接 ，
   
∵ ，
∴ ，
∵ 于点D， 于点E， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，此时线段 的值最小，
此时， ，
代入数据： ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．

17.

【解析】
连接 、 交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，先证明 是等边三角形， 垂直平分 ，求得 ， ，再解三角形求出 ， ，最后运用勾股定理求得 即可．
解：如图：连接 、 交于点 ，

又∵ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
过点 作 ，交 于点 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ．
∴在 中， ．
故答案为： .

18.（1）4；（2） ， ．

【解析】
（1）根据负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根的性质进行计算即可；
（2）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法运算，然后根据分式的性质计算，最后将字母的值代入求解即可
解：（1）

；
（2）

．
当 时，原式 ．

19.(1) ， ， ．
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）根据 的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a、b、c即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
（1）解：由题意得：抽取学生总数 （人），
，
，
．
（2）解：补全频数分布直方图如图：
   
（3）画树状图如下：
   
共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为 ．

20.(1)见解析
(2)9

【解析】
（1）根据平行四边形的性质得到 ， ，结合 ，根据全等三角形的判定定理（ ）即可得到结论；
（2）根据已知条件得到解直角三角形，求得 ， ， ，进而可得解直角三角形得 ，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
又∵ ， ，
∴ ，即： ，
解得： （负值已舍去），
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 的面积 ，

21.(1)甲蔬菜 ，乙蔬菜 ，
(2)
(3)

【解析】
（1）设批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共 ，用去了 元钱，列方程求解；
（2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系；
（3）根据当天全部售完后所赚钱数不少于 元，列不等式求解即可．
（1）解：设批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得： ，
解得： ，
乙蔬菜 ，
答：故批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ，
（2）解：设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得： ，
答：m与n的函数关系为： ，
（3）设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得 ，
解得 ，
答：至少批发甲种蔬菜 ．

22.(1)
(2)

【解析】
（1）根据四边形 是边长为 的正方形求出点 的坐标，代入 求出k；
（2）设 ，过点D作 轴，根据 面积列方程，求出点D坐标，再由待定系数法求出直线 的函数表达式．
（1）解： 四边形 是边长为 的正方形，
，
；
即反比例函数的表达式为 ．
（2）解：设 ，过点D作 轴，
   
点 ， ， ，
∴
，


，
解得： ， ，经检验 ，是符合题意的根，
即点 ，
设直线 的函数解析式为 ，得∶
，解得： ，
即：直线 的函数解析式为 ．

23.(1)证明见解析；
(2)
(3)

【解析】
（1）连接 ，由圆周角定理得到 ，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得 ，由等腰三角形的性质得到 ，根据 ，得到 ，由切线的判定即可证得 与 相切；
（2）由直角三角形斜边中线的性质求出 ，根据三角函数的定义即可求出 ；，
（3）设 的 边高为 ，由 可得 ，即可得出当 取最大值时， 取最大值，根据 进而求解即可．
（1）证明：连接 ，如图所示，
   
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切；
（2）解：由（1）知， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵在 中， ，即： ，
∴ （负值以舍去），
∴ ；
（3）设 的 边高为 ，
   
由（2）可知 ，
又∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 取最大值时， 也取最大值，
又∵ ，
∴当 取最大值时， 取最大值，
此时 边高为 取最大值为 半径 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的最大值为 ．

24.(1) ，
(2)
(3)存在点F，当 或 时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．

【解析】
（1）根据对称轴 和过点 列二元一次方程组求解即可；
（2）如图：过点M作 交 于D，设点 ，则 ；然后表示出 ，再根据 是等边三角形可得 , ，根据三角函数解直角三角形可得 ，进而求得 即可解答；
（3）如图可知：线段 为菱形的边和对角线，然后通过作图、菱形的性质即可解答．
（1）解：由题意可得：
，解得： ，
所以抛物线的函数表达式为 ；
当 时， ，则顶点M的坐标为 ．
（2）解：如图：过点M作 交 于D
设点 ，则 ,
∴ ，
∵ 是等边三角形,
∴ ,
∴ ,即 ，解得： 或 （舍去）
∴ ， ，
∴该三角形的边长 ．
   
（3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形
①如图：线段 作为菱形的边，
当E的纵坐标为大于零时，作 关于直线 的对称线段交 于E，连接 ,作点E关于 的对称点F，即 为菱形，由对称性可得F的坐标为 ，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时 ．
当E的纵坐标为小于零时，同理可知： 三点共线，不符合题意．
   
②线段 作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形 ,
∴ , 的中点G的坐标为 ，点G是 的中点，
∴ ，解得 ，
∴ ，
设 ，
则有： ，解得： ，
∴ ．
   
综上，当 或 时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．