绝密·启用前
2023年四川省雅安市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
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一、选择题 |
1.在0，
，
，2四个数中，负数是（ ）
A．0
B．
C．
D．2
2.计算
的结果是（ ）
A．
B．0
C．1
D．19
3.如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.如图，
，
于点C，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.若
．则
的值是（ ）
A．
B．
C．5
D．
6.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.不等式组
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图，某小区要绿化一扇形
空地，准备在小扇形
内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得
，
，
，则种草区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.某位运动员在一次射击训练中，
次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10.在平面直角坐标系中．将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
11.如图，在
中，F是
上一点，
交
于点E，
的延长线交
的延长线于点G，
，
，则
的长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
12.如图，二次函数
的图象与x轴交于
，B两点，对称轴是直线
，下列结论中，①
；②点B的坐标为
；③
；④对于任意实数m，都有
，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．③④
|
二、填空题 |
13.在一个不透明的口袋中，装有1个红球若干个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为
，则此口袋中白球的个数为____________.
14.若
，
，则
的值为__________．
15.已知关于x的方程
的一个根为1，则该方程的另一个根为__________．
16.如图，在
中，
．P为边
上一动点，作
于点D，
于点E，则
的最小值为___________．
17.如图．四边形
中，
，
，
，
交
于点
，
，
，则AB的长为___________．
|
三、解答题 |
18.（1）计算：
（2）先化简，再求值：
．其中
19.某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 |
频数/人 |
频率 |
|
10 |
0.1 |
|
15 |
b |
|
a |
0.35 |
|
40 |
c |
请根据图表信息解答下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)补全频数直方图；
(3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
20.如图，已知
，
是
对角线
上两点，
．
(1)求证：
；
(2)若
交
的延长线于点
，
，求
的面积．
21.李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 |
甲蔬菜 |
乙蔬菜 |
批发价/（元/kg） |
|
|
零售价/（元/kg） |
|
|
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共
花
元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共
花m元，设批发甲种蔬菜
，求m与n的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于
元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
22.如图，在平面直角坐标系中，四边形
是边长为
的正方形．点
，
在坐标轴上．反比例函数
的图象经过点
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，
．求直线
的函数表达式．
23.如图，在
中，
，以
为直径的
与
交于点D，点
是
的中点，连接
，
．
(1)求证：
是
的切线；
(2)若
，
，求
的长；
(3)在（2）的条件下，点P是
上一动点，求
的最大值．
24.在平面直角坐标系中，已知抛物线
过点
，对称轴是直线
．
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当
是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为
是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
【解析】
根据负数的定义∶
比0小的数叫做负数，即可得出答案．
解：0既不是正数也不是负数，
是负数，
和2是正数，
故选：C．
2.B
【解析】
根据零指数幂的性质，即可求解．
=
=0．
故选B．
3.C
【解析】
根据主视图的定义即可判断，从正面看到的图形即是主视图．
从正面看可以得到从左到右两列，正方形的个数依次为2、1，
据此可知主视图为：
故选：C．
4.B
【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得
的度数，根据垂直的定义可得
，然后根据
即可得出答案．
解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故选：B．
5.A
【解析】
把所求代数式
变形为
，然后把条件整体代入求值即可．
解：∵
∴
，
∴
．
故选：A．
6.D
【解析】
根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可．
A、
与
不是同类项，不可合并，此项运算错误；
B、
，，此项运算错误；
C、
，，此项运算错误；
D、
，此项运算正确，
故选：D．
7.D
【解析】
分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
解：
解不等式①得：
，
解不等式②得：
，
∴不等式组的解集为：
，
故选：D．
8.B
【解析】
种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，利用利用扇形的面积公式计算即可．
解∶∵
，
，
，
∴种草区域的面积为
，
故选：B．
9.B
【解析】
根据折线图将成绩从小到大依次排列，然后求中位数与平均数即可．
解：由图可知，
次的成绩由小到大依次排列为
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，
∴10次成绩的中位数为
，
平均数为
，故B正确．
故选：B．
10.A
【解析】
先求出函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式．
解：∵点
是函数
图象上的点，
∴将
绕原点逆时针旋转
，则旋转后图象经过原点和
、
∴将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
得到图象的解析式为
，
∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为
．
故选A．
11.C
【解析】
由平行四边形的性质可得
，
，设
为x可得
，解之即可．
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
，
∴
，
，
设
为x，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
即
，
得
，
∴
．
故选：C．
12.C
【解析】
根据抛物线开口方向可得a的符号，可对①进行判断；根据抛物线的对称轴
，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对②进行判断；根据点A
，点B
代入解析式利用加减消元法可得
，从而判定③，再由
时函数取最大值判定④．
解：∵抛物线开☐向下，
∴
，故①错误，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴
，
∴
，
设点B坐标为
∵抛物线对称轴为直线
，点A的坐标为
，
∴
，解得：
，
∴点B的坐标为
，故②正确，
∵点A的坐标为
，点B的坐标为
，
∴
∴由
得
，即
，故③正确；
∵
，抛物线对称轴为直线
，
∴当
时，
时函数最大值，
当
时，
，
∴
，即
，
综上所述：正确的结论有②③④，
故选：C．
13.3
【解析】
根据概率公式即可得出总数,再根据总数算出白球个数即可.
∵摸到红球的概率为
,且袋中只有1个红球,
∴袋中共有4个球,
∴白球个数=4-1=3.
故答案为:3.
14.
【解析】
先将代数式根据平方差公式分解为：
=
，再分别代入求解．
∵
，
，
∴原式
．
故答案为：
．
15.
【解析】
设方程的另一个根为m，根据两根之积等于
，得到关于m的一元一次方程，解之即可求解．
设方程的另一个根为m，
根据题意得，
，
解得：
，
故答案为：
．
16.
【解析】
连接
，利用勾股定理列式求出
，判断出四边形
是矩形，根据矩形的对角线相等可得
，再根据垂线段最短可得
时，线段
的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
解：如图，连接
，
∵
，
∴
，
∵
于点D，
于点E，
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
由垂线段最短可得
时，线段
的值最小，此时线段
的值最小，
此时，
，
代入数据：
，
∴
，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
17.
【解析】
连接
、
交于点
，过点
作
，交
于点
，先证明
是等边三角形，
垂直平分
，求得
，
，再解三角形求出
，
，最后运用勾股定理求得
即可．
解：如图：连接
、
交于点
，
又∵
，
，
∵
是等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
∴
，
过点
作
，交
于点
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
∴在
中，
．
故答案为：
.
18.（1）4；（2）
，
．
【解析】
（1）根据负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根的性质进行计算即可；
（2）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法运算，然后根据分式的性质计算，最后将字母的值代入求解即可
解：（1）
；
（2）
．
当
时，原式
．
19.(1)
，
，
．
(2)见解析
(3)
【解析】
（1）根据
的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a、b、c即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
（1）解：由题意得：抽取学生总数
（人），
，
，
．
（2）解：补全频数分布直方图如图：
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为
．
20.(1)见解析
(2)9
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得到
，
，结合
，根据全等三角形的判定定理（
）即可得到结论；
（2）根据已知条件得到解直角三角形，求得
，
，
，进而可得解直角三角形得
，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
（1）证明：∵
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
又∵
，
，
∴
，即：
，
解得：
（负值已舍去），
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴平行四边形
的面积
，
21.(1)甲蔬菜
，乙蔬菜
，
(2)
(3)
【解析】
（1）设批发甲蔬菜
，乙蔬菜
，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共
，用去了
元钱，列方程求解；
（2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系；
（3）根据当天全部售完后所赚钱数不少于
元，列不等式求解即可．
（1）解：设批发甲蔬菜
，乙蔬菜
，
由题意得：
，
解得：
，
乙蔬菜
，
答：故批发甲蔬菜
，乙蔬菜
，
（2）解：设批发甲种蔬菜
，乙蔬菜
，
由题意得：
，
答：m与n的函数关系为：
，
（3）设批发甲种蔬菜
，乙蔬菜
，
由题意得
，
解得
，
答：至少批发甲种蔬菜
．
22.(1)
(2)
【解析】
（1）根据四边形
是边长为
的正方形求出点
的坐标，代入
求出k；
（2）设
，过点D作
轴，根据
面积列方程，求出点D坐标，再由待定系数法求出直线
的函数表达式．
（1）解：
四边形
是边长为
的正方形，
，
；
即反比例函数的表达式为
．
（2）解：设
，过点D作
轴，
点
，
，
，
∴
，
，
解得：
，
，经检验
，是符合题意的根，
即点
，
设直线
的函数解析式为
，得∶
，解得：
，
即：直线
的函数解析式为
．
23.(1)证明见解析；
(2)
(3)
【解析】
（1）连接
，由圆周角定理得到
，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得
，由等腰三角形的性质得到
，根据
，得到
，由切线的判定即可证得
与
相切；
（2）由直角三角形斜边中线的性质求出
，根据三角函数的定义即可求出
；，
（3）设
的
边高为
，由
可得
，即可得出当
取最大值时，
取最大值，根据
进而求解即可．
（1）证明：连接
，如图所示，
∵
为
的直径，
∴
，
∴
，
∵点
为
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是
的半径，
∴
与
相切；
（2）解：由（1）知，
，
∵
是
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
又∵在
中，
，即：
，
∴
（负值以舍去），
∴
；
（3）设
的
边高为
，
由（2）可知
，
又∵
是直径，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
取最大值时，
也取最大值，
又∵
，
∴当
取最大值时，
取最大值，
此时
边高为
取最大值为
半径
，
∴
，
∴
∴
，
∴
，
综上所述：
的最大值为
．
24.(1)
，
(2)
(3)存在点F，当
或
时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【解析】
（1）根据对称轴
和过点
列二元一次方程组求解即可；
（2）如图：过点M作
交
于D，设点
，则
；然后表示出
，再根据
是等边三角形可得
,
，根据三角函数解直角三角形可得
，进而求得
即可解答；
（3）如图可知：线段
为菱形的边和对角线，然后通过作图、菱形的性质即可解答．
（1）解：由题意可得：
，解得：
，
所以抛物线的函数表达式为
；
当
时，
，则顶点M的坐标为
．
（2）解：如图：过点M作
交
于D
设点
，则
,
∴
，
∵
是等边三角形,
∴
,
∴
,即
，解得：
或
（舍去）
∴
，
，
∴该三角形的边长
．
（3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形
①如图：线段
作为菱形的边，
当E的纵坐标为大于零时，作
关于直线
的对称线段交
于E，连接
,作点E关于
的对称点F，即
为菱形，由对称性可得F的坐标为
，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时
．
当E的纵坐标为小于零时，同理可知：
三点共线，不符合题意．
②线段
作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形
,
∴
,
的中点G的坐标为
，点G是
的中点，
∴
，解得
，
∴
，
设
，
则有：
，解得：
，
∴
．
综上，当
或
时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．