2023年山东省青岛市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，但不是是轴对称图形，符合题意；故选：D．

【难度】1

2．（3分） 的相反数是（　　）

A．

B．

C．﹣7

D．7

【答案】A

【考点】相反数．

【分析】根据实数a的相反数是﹣a进行求解．

【解答】解： 的相反数是 ，故选：A．

【难度】1

3．（3分）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】简单组合体的三视图；截一个几何体．

【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．

【解答】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；B、选项是主视图，不符合题意；C、选项是右视图，不符合题意；D、选项是左视图，符合题意；故选：D．

【难度】1

4．（3分）中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载体．中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程7900公里．将7900用科学记数法表示为（　　）

A．0.79×10³

B．7.9×10²

C．7.9×10³

D．79×10²

【答案】C

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】将一个数表示为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．

【解答】解：7900＝7.9×10³，故选：C．

【难度】1

5．（3分）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（2，﹣3）

B．（﹣2，3）

C．（3，﹣2）

D．（﹣3，2）

【答案】A

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣平移．

【分析】由平移的性质得A''（﹣2，3），点B'（0，0），再由旋转的性质得点A'与A''关于原点对称，即可得出结论．

【解答】解：如图， 由题意可知，点A（0，3），B（2，0），由平移的性质得：A''（﹣2，3），点B'（0，0），由旋转的性质得：点A'与A''关于原点对称，∴A′（2，﹣3），故选：A．

【难度】1

6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　）

A．105°

B．108°

C．117°

D．135°

【答案】B

【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．

【分析】过点B作直线c∥a，则∠1+∠MBA＝180°，由此可得∠MBD＝72°，再证直线c∥b，则∠2+∠MBD＝180°，由此可得∠MBD的度数．

【解答】解：过点B作直线c∥a，如图所示： ∴∠1+∠MBA＝180°，即∠1+∠MBD+∠ABD＝180°，∵∠1＝63°，∠ABD＝45°，∴63°+∠MBD+45°＝180°，∴∠MBD＝72°，∵直线a∥b，直线c∥a，∴直线c∥b，∴∠2+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝180°﹣∠2＝180°﹣72°＝108°．故选：B．

【难度】1

7．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．

【解答】解： 与 无法合并，则A不符合题意；2 ，则B不符合题意； ，则C符合题意； 3 ，则D不符合题意；故选：C．

【难度】1

8．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则 的长为（　　）

A．

B．

C．π

D．

【答案】C

【考点】弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．

【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可．

【解答】解：连接OA、OD、OC，∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，∴∠DOC＝36°，∴ π．故选：C．

【难度】1

9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　）

A．

B．

C．2

D．

【答案】B

【考点】正方形的性质；勾股定理的应用；三角形中位线定理．

【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段DG长，利用中位线得到MN长即可．

【解答】解：连接DG，EF，∵点E，F分别是AB，CD的中点，∴四边形AEFD是矩形，∴M是ED的中点，在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1，∴BC＝DC＝4，在Rt△DGC中，由勾股定理得，DG ，在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，∴MN是三角形EDG的中位线，∴MN DG ．故选：B．

【难度】1

10．（3分）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31

B．32

C．33

D．34

【答案】B

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．

【分析】根据正方体表面展开图的特征，判断“对面”“邻面”上的数字，再该结合体的摆放方式得出答案．

【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，因此要使图②中几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、2、3、5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5，左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、2、3，所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为11+15+6＝32，故选：B．

【难度】1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）计算：8x³y÷（2x）²＝　 　．

【答案】2xy．

【考点】整式的除法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可．

【解答】解：原式＝8x³y÷4x²＝2xy，故答案为：2xy．

【难度】1

12．（3分）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，10．这六个分数的极差是 　 　分．

【答案】3

【考点】极差．

【分析】根据极差的概念计算即可．

【解答】解：∵这组数据的最大值是10，最小值是7，∴这六个分数的极差是：10﹣7＝3（分），故答案为：3．

【难度】1

13．（3分）反比例函数y 的图象经过点A（m， ），则反比例函数的表达式为 　 　．

【答案】y

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．

【解答】解：∵反比例函数y 的图象经过点A（m， ），∴ m．∴m＝8，∴反比例函数解析式为：y ．

【难度】1

14．（3分）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 　 　．

【答案】 2

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为（x+4）元，利用数量＝总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，∴乙种劳动工具单价为（x+4）元．根据题意得： 2 ．故答案为： 2 ．

【难度】1

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 　 　°．

【答案】60．

【考点】切线的性质；坐标与图形性质．

【分析】先根据点A，P的坐标得OP＝OA＝1，进而得⊙P的半径为1，然后再在Rt△ABP中利用锐角三角函数求出∠BAP＝30°，进而得∠BPA＝∠CPD＝60°，最后再证△CPD为等边三角形即可求出∠BCD的度数．

【解答】解：∵点A（1，0），P（﹣1，0），∴OP＝OA＝1，∴AP＝OP+OA＝2，∵⊙P过原点O，∴OP为⊙P的半径，∵AB为⊙P的切线，∴PB⊥AB，PB＝OP＝1，在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，sinA＝PB/AP＝1/2，∴∠BAP＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠CPD＝60°，又∵PC＝PD，∴三角形CPD为等边三角形，∴∠PCD＝60°，即∠BCD的度数为60°．故答案为：60．

【难度】3

16．（3分）如图，二次函数y＝ax²+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax²+bx+c＝kx的两根为x₁＝﹣3，x₂＝2；④k a．其中正确的是 　 　.（只填写序号）

【答案】①③．

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；两条直线相交或平行问题．

【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a＞0，c＜0，再结合对称轴x＝﹣1，同时令ax²+bx+c＝kx，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．

【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，又 1，∴b＞0．∴abc＜0．∴①正确．由题意，令ax²+bx+c＝kx，∴ax²+（b﹣k）x+c＝0．又二次函数y＝ax²+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，∴ax²+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6．∴ 1， 6．∴6a+c＝0．又b＝2a，∴3b+c＝0．∴3b+2c＝c＜0．∴②错误，③正确．∵ 1，b＝2a，∴k＝a．∴④错误．故答案为：①③．

【难度】3

三、作图题（本大题满分4分）

17．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：△ABC．

求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上．

【答案】解：如图，点P为所作．

【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．

【分析】作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点为P点．

【解答】解：如图，点P为所作．

【难度】3

四、解答题（本大题共9小题，共68分）

18．（8分）（1）解不等式组： ；

（2）计算：（m ）• ．

【答案】（1）1≤x＜3；（2）m+1．

【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式组．

【分析】（1）分别解两个不等式后即可求得不等式组的解集；

（2）利用分式的混合运算法则进行计算即可．

【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＜3，解第二个不等式得：x≥1，故原不等式组的解集为：1≤x＜3；（2）原式 • • ＝m+1．

【难度】3

19．（6分）今年4月15日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为 　 　°；

（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：60≤x＜70的中间值为65）来代替，试估计小明班级的平均成绩；

（4）小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有8000名学生中会有800名学生成绩低于70分，实际只有446名学生的成绩低于70分．请你分析小明估计不准确的原因．

【答案】解：（1）由频数分布直方图可知：C组是10人，由扇形统计图可知：C组占班级人数的20%，∴班级人数为：10÷25%＝40（人），∴B组的人数为：40﹣4﹣10﹣18＝8（人），∴补全频数分布直方图如图所示： （2）由频数分布直方图可知：C组是4人，∴A组人数占班级人数的百分比为：4÷40＝10%，∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×10%＝36°．故答案为：36．（3）∵A组中间值为6（5分），A组有4人，B组中间值为7（5分），B组有8人，C组中间值为8（5分），C组有10人，D组中间值为9（5分），D组有18人，∴班级的平均成绩为：（65×4+75×8+85×10+95×18）÷40＝85.5（分），答：估计小明班级的平均成绩为85．（5分）．（4）∵小明班级低于7（0分）的人数占班级人数的10%，∴8000×10%＝800（人），因此小明估计全市低于7（0分）的人数有800人．其实这样估计是不准确，其原因是：小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确（答案不唯一，只要合理即可）．

【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数．

【分析】（1）先根据C组是10人，所占班级人数的20%求出班级人数为＝40人，由此可求出B组的人数为8人，据此可补全频数分布直方图；

（2）由C组是4人，班级人数为40人求出A组人数占班级人数的百分比，进而可求出A组所对应的圆心角的度数；

（3）分别求出A组，B组，C组，D组的中间值，然后利用加权平均数的计算公式即可求出班级的平均成绩；

（4）原因是：小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确．（答案不唯一，只要合理即可）．

【解答】解：（1）由频数分布直方图可知：C组是10人，由扇形统计图可知：C组占班级人数的20%，∴班级人数为：10÷25%＝40（人），∴B组的人数为：40﹣4﹣10﹣18＝8（人），∴补全频数分布直方图如图所示： （2）由频数分布直方图可知：C组是4人，∴A组人数占班级人数的百分比为：4÷40＝10%，∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×10%＝36°．故答案为：36．（3）∵A组中间值为6（5分），A组有4人，B组中间值为7（5分），B组有8人，C组中间值为8（5分），C组有10人，D组中间值为9（5分），D组有18人，∴班级的平均成绩为：（65×4+75×8+85×10+95×18）÷40＝85.5（分），答：估计小明班级的平均成绩为85．（5分）．（4）∵小明班级低于7（0分）的人数占班级人数的10%，∴8000×10%＝800（人），因此小明估计全市低于7（0分）的人数有800人．其实这样估计是不准确，其原因是：小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确（答案不唯一，只要合理即可）．

【难度】5

20．（6分）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．

【答案】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为4种，所以抽取两本书中有《九章算术》的概率 ．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算．

【解答】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为4种，所以抽取两本书中有《九章算术》的概率 ．

【难度】3

21．（6分）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37° ，cos37° ，tan37° ， 1.41）

【答案】1.4m．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F，先证△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，四边形BHCF为矩形，△OBF为等腰直角三角形，设BF＝x m，则OF＝CH＝x m，EH＝BH＝（5﹣x） m，DH＝（6.5﹣x） m，然后在Rt△BDH中，利用tan∠BDH＝BH/DH得 ，由此解出x＝0.5，再利用勾股定理求出OB即可得AB的长．

【解答】解：过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F，如图， 依题意得：OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°，又BH⊥DC，∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，∴EH＝BH，EC＝OC，∵DE＝1.5m，EC＝5m，∴OC＝EC＝5m，∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，∴四边形BHCF为矩形，∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH，∴∠OBF＝∠BEH＝45°，∴△OBF为等腰直角三角形，∴BF＝OF＝CH，设BF＝x m，则OF＝CH＝x m，∴EH＝BH＝EC﹣CH＝（5﹣x） m，∴DH＝DE+EH＝1.5+5﹣x＝（6.5﹣x） m，在Rt△BDH中，tan∠BDH ，即：tan37° ，∴ ，解得：x＝0.5，检验后知道x＝0.5是原方程得根．∴BF＝OF＝0.5（m），在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得：OB 0.5 0.5×1.41＝0.705（m），∵点O为AB的中点，∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4（m），答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m．

【难度】5

22．（6分）如图①，正方形ABCD的面积为1．

（1）如图②，延长AB到A₁，使A₁B＝BA，延长BC到B₁，使B₁C＝CB，则四边形AA₁B₁D的面积为 　 　；

（2）如图③，延长AB到A₂，使A₂B＝2BA，延长BC到B₂，使B₂C＝2CB，则四边形AA₂B₂D的面积为 　 　；

（3）延长AB到A_n，使A_nB＝nBA，延长BC到B_n，使B_nC＝nCB，则四边形AA_nB_nD的面积为 　 　．

【答案】解：（1）∵正方形ABCD的面积为1，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∵A₁B＝BA，B₁C＝CB，∴BB₁＝BC+CB₁＝2，A₁B＝1，∵A₁B⊥BB₁，∴S_△ABB1 A₁B×BB₁ 1×2＝1，∵AD⊥AB，∴S_梯形ABB1D （BB₁+AD）×AB （2+1）×1 ，∵S_{四边形AA1B1D}＝S_△ABB1+S_梯形ABB2D，∴S_{四边形AA1B1D}＝1 2.5，故答案为：2.5；（2））∵正方形ABCD的面积为1，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∵A₂B＝2BA＝2，B₂C＝2CB＝2，∴BB₂＝BC+CB₂＝2+1＝3，A₂B＝2，∵A₂B⊥BB₂，∴ A₂B×BB₂ 2×（2+1） 2×（2+1）＝3，∵AD⊥AB，∴ （BB₂+AD）×AB （2+1+1）×1＝2，∵ ，∴ 3+2＝5，故答案为：5；（3）∵正方形ABCD的面积为1，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∵A_nB＝nBA＝n，B_nC＝nCB＝n，∴BB_n＝BC+CB_n＝n+1，A_nB＝n，∵A_nB⊥BB_n，∴ A_nB×BB_n n×（n+1） n（n+1），∵AD⊥AB，∴ （BB_n+AD）×AB （n+1+1）×1 （n+2），∵ ，∴ n（n+1） （n+2） （n²+2n+2），故答案为： （n²+2n+2）．

【考点】梯形；列代数式；三角形的面积；正方形的性质．

【分析】（1）由正方形ABCD的面积为1则边长AB＝BC＝CD＝AD＝1，根据已知A₁B＝BA＝BC＝B₁C＝CB＝1，所以BB₁＝2，根据 ，因为 A₁B×BB₁， （BB₁+AD）×AB，列式计算即可；

（2）与（1）相似，由正方形ABCD的面积为1，则边长AB＝BC＝CD＝AD＝1，根据已知A₂B＝2BA＝2BC＝B₂C＝2，所以BB₁＝3，根据 ，因为 A₂B×BB₂， （BB₂+AD）×AB，列式计算即可；

（3）由正方形ABCD的面积为1，则边长AB＝BC＝CD＝AD＝1，根据已知A_nB＝2BA＝2BC＝B_nC＝2，所以BB_n＝3，根据 ，因为 A_nB×BB_n， （BB_n+AD）×AB，列式计算即可．

【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为1，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∵A₁B＝BA，B₁C＝CB，∴BB₁＝BC+CB₁＝2，A₁B＝1，∵A₁B⊥BB₁，∴S_△ABB1 A₁B×BB₁ 1×2＝1，∵AD⊥AB，∴S_梯形ABB1D （BB₁+AD）×AB （2+1）×1 ，∵S_{四边形AA1B1D}＝S_△ABB1+S_梯形ABB2D，∴S_{四边形AA1B1D}＝1 2.5，故答案为：2.5；（2））∵正方形ABCD的面积为1，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∵A₂B＝2BA＝2，B₂C＝2CB＝2，∴BB₂＝BC+CB₂＝2+1＝3，A₂B＝2，∵A₂B⊥BB₂，∴ A₂B×BB₂ 2×（2+1） 2×（2+1）＝3，∵AD⊥AB，∴ （BB₂+AD）×AB （2+1+1）×1＝2，∵ ，∴ 3+2＝5，故答案为：5；（3）∵正方形ABCD的面积为1，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∵A_nB＝nBA＝n，B_nC＝nCB＝n，∴BB_n＝BC+CB_n＝n+1，A_nB＝n，∵A_nB⊥BB_n，∴ A_nB×BB_n n×（n+1） n（n+1），∵AD⊥AB，∴ （BB_n+AD）×AB （n+1+1）×1 （n+2），∵ ，∴ n（n+1） （n+2） （n²+2n+2），故答案为： （n²+2n+2）．

【难度】5

23．（8分）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：

品名	A	B
进价（元/件）	45	60
售价（元/件）	66	90

（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？

（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．

①请求出W与m的函数关系式；

②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．

【答案】（1）2880元；（2）①W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见详解．

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数；

（2）①根据条件，可列W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m），整理即可；

②由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），一次函数W随m的增大而减小，当m＝50时，W取最大值计算出来和第一次获利比较即可．

【解答】解：（1）设购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，根据题意列出方程组为： ，解得 ，∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据题意150﹣m≤2m，即m≥50，∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），∵﹣4＜0，一次函数W随m的增大而减小，∴当m＝50时，W取最大值，W_大＝﹣4×50+3000＝2800（元），∵2800＜2880，∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．

【难度】5

24．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）见解答；（2）四边形FGEH是矩形．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，证出∠BAE＝∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出AE∥FC，GE＝FH，即可证出四边形四边形FGEH是矩形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，∴∠BAE＝∠DAE ∠BAD，∠BCF＝∠DCF ∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△BAE和△DCF中， ，∴△BAE≌△DCF（ASA）．（2）证明：∵△BAE≌△DCF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，∴∠AEB＝∠BCF，∴AE∥CF，∵点G、H分别为AE、CF的中点，∴GE∥FH，GE＝FH，∴四边形FGEH是平行四边形，∵EF＝AF，G为AE的中点，∴GF⊥AE，∴四边形FGEH是矩形．

【难度】5

25．（10分）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．

（1）求抛物线的表达式；

（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；

（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S₁，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S₂．若S₂ S₁，求m的值．

【答案】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax²+c，由题意得，点A的坐标为：（2，0.6）、点C（0，1），则 ，解得： ，则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x²+1①；（2）由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y＝0.3x②，联立①②得：0.3x＝﹣0.1x²+1，解得：x＝2（舍去）或﹣5，即点F（﹣5，﹣1.5），则EF＝5×2＝10；（3）平移后的抛物线表达式为：y＝﹣0.1（x﹣m）²+1，令x＝0，则y＝﹣0.1m²+1，此时抛物线与y轴的交点为D（0，﹣0.1m²+1），∵平移前后抛物线和x轴交点间的距离不变，若S₂ S₁，则OD OC，即|﹣0.1m²+1| 1，解得：m＝±2或±4（舍去负值），即m＝2或4．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）求出直线OA的表达式为：y＝0.3x，联立上述函数和抛物线的表达式求出点F的坐标，即可求解；

（3）平移前后抛物线和x轴交点间的距离不变，若S₂ S₁，则OD OC，即可求解．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax²+c，由题意得，点A的坐标为：（2，0.6）、点C（0，1），则 ，解得： ，则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x²+1①；（2）由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y＝0.3x②，联立①②得：0.3x＝﹣0.1x²+1，解得：x＝2（舍去）或﹣5，即点F（﹣5，﹣1.5），则EF＝5×2＝10；（3）平移后的抛物线表达式为：y＝﹣0.1（x﹣m）²+1，令x＝0，则y＝﹣0.1m²+1，此时抛物线与y轴的交点为D（0，﹣0.1m²+1），∵平移前后抛物线和x轴交点间的距离不变，若S₂ S₁，则OD OC，即|﹣0.1m²+1| 1，解得：m＝±2或±4（舍去负值），即m＝2或4．

【难度】5

26．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10cm，BD＝4 cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题：

（1）当点M在BD上时，求t的值；

（2）连接BE．设△PEB的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式和S的最大值；

（3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）t ；（2）S t²+4t（0＜t≤5），S的最大值为10；（3）存在，t ．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）证明△DQM∽△MPB，则 ，即可求解；

（2）由S PB•h，即可求解；

（3）当点B在∠PEC的平分线上时，则BR＝OB＝2 ，在Rt△PBR中，sin∠EPB＝sin∠DAB ，即可求解．

【解答】解：（1）由题意得：DQ＝10﹣2t，PM＝2t，PB＝10﹣t，QM＝AP＝t，如图，点M在BD上时， ∵QM∥PB，PM∥QD，∴∠DQM＝∠DAB＝∠MPQ，∠DMQ＝∠MBP，∴△DQM∽△MPB，则 ，即 ，解得：t ；（2）如图，∵AD∥PM，∴∠AEP＝∠EAQ，∵四边形ABCD是菱形，则∠QAE＝∠EAP，∴∠AEP＝∠EAP，∴△APE为等腰三角形，则PE＝AP＝t，过点D作DH⊥AB于点H，则S_△ABD AB•DH AO•DB，即10•DH 4 ，解得：DH＝8，则sin∠DAH ，设△PEB中PB边上的高为h，则S PB•h （10﹣t）×sin∠DAH×PE （10﹣t） t²+4t（0＜t≤5），∵ 0，故S有最大值，当t＝5时，S的最大值为10；（3）存在，理由：如图，过点B作BR⊥PE于点R， 当点B在∠PEC的平分线上时，则BR＝OB＝2 ，在Rt△PBR中，sin∠EPB＝sin∠DAB ，解得：t ．

【难度】5