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2023年山东省泰安市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的倒数是（     ）
A．
B．
C．
D．

2.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是 亿年，数据 亿年用科学记数法表示为（       ）
      
A． 年
B． 年
C． 年
D． 年

4.小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

5.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若 ，则 的度数等于（       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了 名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．根据这组数据判断下列结论中错误的是（       ）
A．这组数据的众数是
B．这组数据的中位数是
C．这组数据的平均数是
D．这组数据的方差是

7.如图， 是 的直径，D，C是 上的点， ，则 的度数是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

8.一次函数 与反比例函数 （a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

9.如图， 是 的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若 ， ，则阴影部分的面积是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

10.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（       ）
A．
B．
C．
D．

11.如图， 是等腰三角形， ．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确结论的个数是（       ）
   
A．1
B．2
C．3
D．4

12.如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M是 中点，连接 ．将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（       ）
   
A．3
B．
C．
D．2

评卷人 得分

二、填空题

13.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．

14.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出 ，则这张光盘的半径是_______ ．（精确到 ．参考数据： ）
   

15.二次函数 的最大值是__________．

16.在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为 ，后退 （ ）到D处有一平台，在高 （ ）的平台上的E处，测得B的仰角为 ．则该电视发射塔的高度 为_______ ．（精确到 ．参考数据： ）
   

17.如图，在 中， ，点D在 上，点E在 上，点B关于直线 的轴对称点为点 ，连接 ， ，分别与 相交于F点，G点，若 ，则 的长度为__________．
   

18.已知， 都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点 都在x轴正半轴上，且 ，则点 的坐标是______．
      

评卷人 得分

三、解答题

19.（1）化简： ；
（2）解不等式组： ．

20.2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
   
请根据相关信息解答下列问题：
(1)本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．

21.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象分别交于点 ，点 ，与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，作 轴，垂足为点 ， ．
   
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在第二象限内，当 时，直接写出 的取值范围；
(3)点 在 轴负半轴上，连接 ，且 ，求点 坐标．

22.为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？

23.如图，矩形 中，对角线 相交于点O，点F是 边上的一点，连接 ，将 沿直线 折叠，点D落在点G处，连接 并延长交 于点H，连接 并延长交 于点M，交 的延长线于点E，且 ．
   
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： ．

24.如图， 、 是两个等腰直角三角形， ．
   
(1)当 时，求 ；
(2)求证： ；
(3)求证： ．

25.如图1，二次函数 的图象经过点 ．
   
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当 面积为5时，求P坐标；
(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使 ；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．

参考答案

1.D

【解析】
根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：D．

2.D

【解析】
A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
解： 和 不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．

3.B

【解析】
科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
解： 亿年 年 年，
故选B．

4.D

【解析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，即可得到答案．
解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．

5.B

【解析】
如图所示，过点O作 ，则 ，由平行线的性质得到 ，进而推出 ，由此即可得到答案．
解：如图所示，过点O作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选B．
   

6.B

【解析】
根据众数的定义，中位数，平均数，方差的计算方法即可求解．
解： 、这组数据中出现次数最多的是 ，故众数是 ，正确，不符合题意；
、这组数据重新排序为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故中位数是 ，错误，符合题意；
、这组数据的平均数是 ，故平均数是 ，正确，不符合题意；
、这组数据的平均数是 ，方差是 ，故方差是 ，正确，不符合题意；
故选： ．

7.A

【解析】
根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：A．

8.D

【解析】
先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．

9.C

【解析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得 ，再根据扇形的面积公式即可求解．
解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．

10.C

【解析】
根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量 11枚白银的重量；②（10枚白银的重量 枚黄金的重量） （1枚白银的重量 枚黄金的重量） 两，根据等量关系列出方程组即可．
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得， ，
故选C．

11.C

【解析】
根据等腰三角形两底角相等与 ，得到 ，根据角平分线定义得到 ，根据线段垂直平分线性质得到 ，得到 ，推出 ，得到 ，推出 ，①正确；根据等角对等边得到 ， ，根据三角形外角性质得到 ，得到 ，推出 ，②正确；根据 ，得到 ，推出 ，③错误；根据 时， ，得到 ,推出 ，④正确．
∵ 中， ， ，
∴ ，
由作图知， 平分 ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，①正确；
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②正确；
设 ， ，
则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，③错误；
当 时， ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．

12.A

【解析】
如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点A的坐标为 得到 ，再证明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最小值，即可得到答案．
解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，
∵ 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为 中点，点A为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∵将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为3，
故选A．
   

13. ##

【解析】
利用一元二次方程根的判别式求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

14.

【解析】
设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接 ，经过圆外一点A的两条直线 都与圆O相切，所以 为 的角平分线， ，同时由切线的性质得到 ，在 中， ，求出 ，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
解：设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接 ，如下图所示：
   
∵ 分别为圆O的切线，
∴ 为 的角平分线，即 ，
又∵ ,
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
则这张光盘的半径为 ；
故答案为： ．

15.

【解析】
利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
解：利用配方法，将一般式化成顶点式：

二次函数开口向下，
顶点处取最大值，
即当 时，最大值为 ．
故答案为： ．

16.55

【解析】
如图所示，过点E作 于F，则四边形 是矩形，可得到 ；设 ，则 ，解 得到 ，解 得到 ，进而建立方程
，解方程即可得到答案．
解：如图所示，过点E作 于F，
由题意得， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：55．
   

17.

【解析】
根据等边对等角和折叠的性质证明 ，进而证明 ，则 ，然后代值计算求出 ，则 ．
解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

18.

【解析】
先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
解：由图形可得：
如图：过 作 轴，
   
∵
∴
∴ ,
同理：
∴ 为偶数， 为奇数；
∵ ，2023为奇数
∴ ．
故答案为 ．

19.（1） ；（2）

【解析】
（1）根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
解：（1）


；
（2）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为

20.(1)200，108
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出获奖选手的总数，进而求出B级的人数，由此即可求出C级的人数，再用360度乘以C级的人数占比即可得到答案；
（2）求出B级的人数，然后补全统计图即可；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）解： 名，
∴本次竞赛共有200名选手获奖，
∴C级的人数为 名，
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 度，
故答案为：200，108；
（2）解：B级的人数为 名，
补全统计图如下：
   
（3）解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下：

	E	F	G
E	（E，E）	（F，E）	（G，E）
F	（E，F）	（F，F）	（G，F）
G	（E，G）	（F，G）	（G，G）

由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种，
∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率 ．

21.(1) ；
(2) ；
(3) ．

【解析】
（1）求出点 坐标，即可求出反比例函数解析式；
（2）观察图象特点，即可得出取值范围；
（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段 长，最后由线段和差即可求出 的长．
（1）∵ ， 轴，
∴ ，点 的纵坐标为 ，
∵点 在 图象上，
∴当 时， ，解得： ，
∴点 坐标为 ，
∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）如图，在第二象限内，当 时， ，
   
（3）如图，过 作 轴于点 ，
   
∵ 轴，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 得： 时， ，解得： ，
∴点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ．

22.这个学校九年级学生有300人．

【解析】
设零售价为x元，批发价为y，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600除以零售价即可解答．
解：设零售价为x元，批发价为y，
根据题意可得：
，解得： ，
则学校九年级学生 人．
答：这个学校九年级学生有300人．

23.(1)证明见解析
(2)证明见解析

【解析】
（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明 ， ，由此即可证明 得到 ，进而推出 ，再由 ，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）由（1）的结论可得 ，进一步证明 ，再证明 ，即可证明 ．
（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．

24.(1)
(2)见详解
(3)见详解

【解析】
（1）先证明 ，再证明 是线段 的垂直平分线，即有 ，即 是等边三角形，问题得解；
（2）根据垂直可得 ，又根据 ，可得 ，即可证明；
（3）过H点作 于点K，先表示出 ，根据 是线段 的垂直平分线，可得 ，即可得 ，进而可得 ，则有 ，结合 ， ，可得 ，再证明 ，即可证明．
（1）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 是两个等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴等腰直角 中， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，即 是等边三角形，
∴ ；
（2）在（1）中有 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）过H点作 于点K，如图，
   
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即是等腰 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
在（1）中已证明 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

25.(1)
(2) 或
(3)正确，

【解析】
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线 解析式，然后通过设 点坐标，并表示对应 点坐标，从而利用“割补法”计算 的面积表达式并建立方程求解即可；
（3）首先连接 ， ，设 与对称轴交点为 ，对称轴与 轴交点为 ，连接 ，延长 与对称轴交于点 ，根据已知信息求出 ，然后推出 ，从而在 中求出 ，确定出 点坐标，再求出直线 解析式，通过与抛物线解析式联立，求出交点 的坐标即可．
（1）解：将 代入 得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
（2）解：由抛物线 可知，其对称轴为直线 ， ，
设直线 解析式为： ，
将 ， 代入解得： ，
∴直线 解析式为： ，
此时，如图所示，作 轴，交 于点 ，
   
∵点P在二次函数对称轴上，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵要使得 面积为5，
∴ ，解得： 或 ，
∴ 的坐标为 或 ；
（3）解：正确， ，理由如下：
如图所示，连接 ， ，设 与对称轴交点为 ，对称轴与 轴交点为 ，连接 ，延长 与对称轴交于点 ，
   
由（1）、（2）可得 ， ，
∴ ， ，
根据抛物线的对称性， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
即：在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 解析式为： ，
将 、 代入解得： ，
∴直线 解析式为： ，
联立 ，解得： 或 （不合题，舍去）
∴小明说法正确，D的坐标为 ．