2023年辽宁省盘锦市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（3分）|﹣3|的倒数是（ ）
A．﹣3
B．
C．3
D．
【答案】D
【考点】倒数；绝对值．
【分析】先计算|﹣3|＝3，再求3的倒数，即可得出答案．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是
，∴|﹣3|的倒数是
．故选：D．
【难度】1
2．（3分）如图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得上层有3个正方形，下层最左边有一个正方形．故选：B．
【难度】1
3．（3分）2022年盘锦市被评为“中国河蟹第一市”，河蟹总产量约为79000t，数79000用科学记数法表示为（ ）
A．0.79×105
B．7.9×105
C．79×103
D．7.9×104
【答案】D
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：79000＝7.9×104．故选：D．
【难度】1
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．掷一次骰子，向上一面的点数是3
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】A
【考点】随机事件；三角形内角和定理．
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故A符合题意；B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故B不符合题意；C、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故C不符合题意；D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故D不符合题意；故选：A．
【难度】1
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5
B．a3÷a＝a
C．（﹣m2）3＝﹣m6
D．（﹣2ab）2＝4ab2
【答案】C
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的除法法则判断即可；选项C、D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可．
【解答】解：A．2a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；B．a3÷a＝a2，故本选项不符合题意；C．（﹣m2）3＝﹣m6，故本选项符合题意；D．（﹣2ab）2＝4a2b2，故本选项不符合题意．故选：C．
【难度】1
6．（3分）为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图．则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ）
A．4.8，4.8
B．13，13
C．4.7，13
D．13，4.8
【答案】A
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：把这50名学生视力情况从小到大排列，排在中间的两个数分别是4.8、4.8，故中位数为
4.8；在这50名学生视力情况中，4.8出现的次数最多，故众数为4.8．故选：A．
【难度】1
7．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．方差越小则数据波动越大
B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．正多边形的外角和为360°
【答案】D
【考点】命题与定理；中心对称图形；方差；等边三角形的性质；矩形的判定．
【分析】由等边三角形的性质，矩形的判定，中心对称图形的定义，方差的概念，即可判断．
【解答】解：A、方差越小则数据波动越小，故A不符合题意；B、等边三角形不是中心对称图形，故B不符合题意；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；D、正多边形的外角和为360°，正确，故D符合题意．故选：D．
【难度】1
8．（3分）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°
B．34°
C．24°
D．14°
【答案】B
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据平行线及∠BEF的度数，可求出∠DKF的度数，再利用外角定理求得∠KHF的度数，即为∠GHC的度数．
【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，所以∠DKF＝∠BEF＝64°．又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，所以∠F＝30°．所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．又∠GHC＝∠KHF，所以∠GHC＝34°．故选：B．
【难度】1
9．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，AB
，AD＝4
，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．3
D．4
【答案】C
【考点】轴对称﹣最短路线问题；三角形中位线定理；矩形的性质．
【分析】根据三角形的中位线可得AM
BP，DN
，转化所求最值为
（PB+PC）再依据将军饮马模型解答即可．
【解答】解：∵点M，N分别是PB，PC的中点，∴AM
BP，DN
PC，MN∥BC，∵ME∥DN，∴四边形DEMN是平行四边形，∴ME＝ND，∴AM+ME＝AM+DN
（BP+PC），∴AM+ME的最小值就是
（BP+PC）的最小值．找到点C关于直线AD对称点Q，连接PQ、BQ．BP+PC＝BP+PQ，当点BPQ三点共线时，BP+PQ的最小值就是BQ，在Rt△BCQ中，BC＝AD＝4
，QC＝2CD＝2
，BQ
6
，∴AM+ME的最小值
BQ＝3
，故选：C．
【难度】1
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B，C在x轴的正半轴上，D（2，
），P（﹣1，﹣1），点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】观察图象和根据直角三角形AOB的面积求出A点，B点，C点的坐标，再分点M的横坐标在0～1，1～2，2～3三部分求出面积y与M点横坐标x的函数关系，最后判断出函数图象．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝2，OA
，所以OB2＝22
2，OB＝1，OC＝1+2＝3．（1）当M横坐标在0～1之间，在三角形PMN中，P点横坐标为（﹣1，﹣1），M平行y轴，M点横坐标为x，所以高＝1+x，直线AB所在的函数为：y＝kx+b，经过点A（0，
），点B（1，0），代入解析式得到：k
，b
，得到解析式：y
x
，又因为MN平行于y轴，所以点N的横坐标为x，代入y
x
，即点N的坐标（x，
x
），所以MN
（
x
）
x，S△PMN
x×（1+x）
x2
x，所以当点M横坐标在0～1之间是开口向上的抛物线．（2）当点M横坐标在1～2之间，在三角形PMN中，底为
，高为1+x，所以S△PMN
（1+x）
x
，所以点M横坐标在1～2之间是一次函数，即一条直线．（3）当M横坐标在2～3之间，在三角形PMN中，高为1+x，直线CD所在直线的函数为：y＝kx+b经过点C（3，0），点D（2，
），代入解析式得到：y
x+3
，将点M横坐标x代入解析式得到纵坐标为：
x+3
，S△PMN
（1+x）×（
x+3
）
x2
x
，所以点M横坐标在2～3之间是二次函数，开口向下的抛物线．故答案为A．
【难度】1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：
．
【答案】1．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】根据
3，
2，可以计算．
【解答】解：
3﹣2＝1．故答案为：1．
【难度】1
12．（3分）分解因式：4a2b﹣b＝ ．
【答案】b（2a+1）（2a﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取b，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）
【难度】1
13．（3分）不等式
的解集是
．
【答案】x≥﹣3．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】按解一元一次不等式的步骤解不等式即可．
【解答】解：去分母得，3（x+1）≥2x，去括号得，3x+3≥2x，移项合并同类项得，x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．
【难度】1
14．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔，根据题意，可列方程组为 ．
【答案】
．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．
【解答】解：由题意可得，
．故答案为：
．
【难度】3
15．（3分）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的
，得到△A′B′O，则点A′的坐标为
．
【答案】（
，2）或（
，﹣2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的
，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6），∴点A'的坐标是（2
，6
）或（2×（
），6×（
）），即（
，2）或（
，﹣2）．故答案为：（
，2）或（
，﹣2）．
【难度】3
16．（3分）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
a＜2．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】y随x的增大而增大，说明x的系数大于0；图象与y轴的交点在x的下方，说明常数项小于0，据此作答．
【解答】解：根据题意得
，解得：
a＜2．故答案为：
a＜2．
【难度】3
17．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于
PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于
AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则
．
【答案】
．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【分析】先由作图得出BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，再根据三角形的面积公式求出△EFG和△DEG的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝CD＝4，∴AF＝EF＝2，∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，S△DEG＝x，则S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，∵AD∥BC，∴△EFG∽△BCG，∴
（
）2＝（
）2
，S△BCG＝12.5x，∴
，故答案为：
．
【难度】3
18．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，AB
，BC＝6，点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，过点B′作B′H⊥BC于点H，若B′H＝2
，则FD的长是
．
【答案】
或
．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】分两种情况：当点F在点E左侧时，设B′E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，则四边形ABEM为矩形AB＝ME
，AM＝BE＝3，由折叠可知BE＝B′E＝3，∠BEF＝∠B′EF，由平行线的性质可得∠GFE＝∠BEF，于是∠GFE＝∠B′EF，FG＝EG，利用勾股定理求得EH＝1，易证明△EMG∽△B′HE，利用相似三角形的性质求得EG
FG，MG
，于是FM＝FG﹣MG
，AF
，则FD＝AD﹣AF，代入计算即可得到答案；当点F在点E右侧时，设A′F交BC于点P，过点F作FK⊥BC于点K，同理可得B′E＝3，FP＝EP，四边形KCDF为矩形，FK＝AB
，利用相似三角形的性质求得FP
EP，PK
，进而去除EK＝EP﹣PK
，则DF＝CK＝CE﹣EK，代入计算即可求解．
【解答】解：当点F在点E左侧时，如图，设B′E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，
则∠AME＝90°，∵点E为边BC的中点，∴BE＝CE
BC＝3，∵四边形ABCD为矩形，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AME＝∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABEM为矩形，∴AB＝ME
，AM＝BE＝3，由折叠可知，BE＝B′E＝3，∠BEF＝∠B′EF，∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠BEF，∴∠GFE＝∠B′EF，即∠GFE＝∠GEF，∴FG＝EG，∵B′H⊥BC，∴∠B′HE＝90°，在Rt△B′HE中，EH
1，∵ME⊥BC，B′H⊥BC，∴∠EMG＝∠B′HE＝90°，∵AD∥BC，∴∠EGM＝∠B′EH，∴△EMG∽△B′HE，∴
，即
，∴EG
FG，MG
，∴FM＝FG﹣MG
，∴AF＝AM﹣FM
，∴FD＝AD﹣AF＝6﹣（3
）
；当点F在点E右侧时，如图，设A′F交BC于点P，过点F作FK⊥BC于点K，
同理可得：B′E＝3，FP＝EP，四边形KCDF为矩形，FK＝AB
，△B′EH∽△FPK，在Rt△B′EH中，EH
1，∵△B′EH∽△FPK，∴
，即
，∴FP
EP，PK
，∴EK＝EP﹣PK
，∴DF＝CK＝CE﹣EK
．综上，FD的长是
或
．故答案为：
或
．
【难度】3
三、解答题（本大题共8小题，共96分）
19．（10分）先化简，再求值：（
）
，其中x
（
）0﹣（
）﹣1．
【答案】
．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将原式中除法转化成乘法，然后利用乘法分配律展开计算，然后化简合并，代入数据计算即可．
【解答】解：（
）
＝：（
）
，当x
（
）0﹣（
）﹣1
1﹣2
1时，原式
．
【难度】3
20．（14分）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min |
人数 |
0＜x≤20 |
20 |
20＜x≤40 |
a |
40＜x≤60 |
25 |
60＜x≤80 |
15 |
x＞80 |
10 |
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 100 名学生，统计表中a＝ 30 ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，∴本次调查共抽取了100名学生；∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，∴a＝30，故答案为：100，30；（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，且15÷100×360°＝54°，∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，且10÷100×1400＝140（名），∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）
．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数．
【分析】（1）将40＜x≤60组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以20＜x≤40组的百分比即可求出a的值；
（2）将60＜x≤80组的人数除以抽取的人数，再乘以360°即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数；
（3）将x＞80组的人数除以抽取的人数，再乘以1400即可估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，∴本次调查共抽取了100名学生；∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，∴a＝30，故答案为：100，30；（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，且15÷100×360°＝54°，∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，且10÷100×1400＝140（名），∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）
．
【难度】3
21．（10分）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：
1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）
【答案】CE的长约为62m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，根据题意可得：BG＝HE，CM∥AH，从而可得∠CAH＝∠MCA＝30°，∠CBH＝∠MCB＝45°，然后设BH＝x m，则AH＝（x+40）m，分别在Rt△ACH和Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出CH的长，最后利用平角定义可得∠BDG＝21°，从而在Rt△BDG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，
由题意得：BG＝HE，CM∥AH，∴∠CAH＝∠MCA＝30°，∠CBH＝∠MCB＝45°，设BH＝x
m，∵AB＝40m，∴AH＝AB+BH＝（x+40）m，在Rt△ACH中，CH＝AH•tan30°
（x+40）m，在Rt△CBH中，CH＝BH•tan45°＝x（m），∴x
（x+40），解得：x＝20
20，∴CH＝（20
20）m，∵∠BDF＝159°，∴∠BDG＝180°﹣∠BDF＝21°，在Rt△BDG中，BD＝20m，∴BG＝BD•sin21°≈20×0.36＝7.2（m），∴BG＝EH＝7.2m，∴CE＝CH+HE＝20
20+7.2≈62（m），∴CE的长约为62m．
【难度】3
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y
（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y
；（2）F（2
，2）或（2
，2）．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）设C（m，
），然后过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，证明△ACM≌△CBN，得到CN＝AM，BN＝CM，建立方程即可解决；
（2）根据（1）中结论可得C（2，2），由A（1，0），利用两点距离公式求得AC
，再由CE∥x轴，），∠DAC的平分线交直线EC于点F，证明CF＝CA，即可分别求出F的横纵坐标．
【解答】解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：∴∠AMC＝∠BNC＝90°，设C（m，
），∵B（0，3），A（1，0），则CM
，M（m，0），N（m，3），∵AN＝m﹣1，CN＝3
，BN＝m，∵∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∴∠BCN＝∠MAC，又∵AC＝BC，∠BCN＝∠MAC，∠AMC＝∠BNC＝90°，∴△ACM≌△CBN（AAS），∴CN＝AM，BN＝CM，∴3
m﹣1，m
，∴k＝m2，∴3﹣m＝m﹣1，m＝2，∴k＝4，∴反比例函数的解析式：y
；（2）由（1）可得C（2，2），∵A（1，0），∴AC
，分两种情况：当D在A点右侧时：如（1）中图所示，∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，∴F点纵坐标为2，∠CAF＝∠DAF＝∠CFA，∴CF＝AC
，∴F点横坐标为2
，∴F（2
，2），当D在A点左侧时，如图：∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，∴F点纵坐标为2，∠CAF＝∠DAF＝∠CFA，∴CF＝AC
，∵C（2，2），∴F点横坐标为2
，∴F（2
，2），综上所述：F（2
，2）或（2
，2）．
【难度】3
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，使得CG＝CB，连接GB．过点C作CD∥GB，交AB于点F，交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交GB的延长线于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切．
（2）若AC＝4，BC＝2，求BE的长．
【答案】（1）答案见解答过程；（2）
．
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】（1）连接OD，先证△BCG为等腰直角三角形得∠G＝∠CBG＝45°，由CD∥GB得∠ACD＝∠C＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，再根据圆心角与圆周角的关系得∠AOD＝2∠ACD＝90°，然后DE∥AB可得OD⊥DE，据此即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出
，则
，再求出CH＝AC＝4，然后根据CD∥GB得BF：AF＝AC：CG＝2：1，由此可求出
，进而可求出
，最后再证四边形DEBF为平行四边形即可得出BE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCG＝90°，∵CG＝CB，∴△BCG为等腰直角三角形，∴∠G＝∠CBG＝45°，∵CD∥GB，∴∠ACD＝∠C＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∵DE∥AB，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，即：OD⊥DE，又点D在⊙O上，∴OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线，即：DE与⊙O相切．（2）解：由（1）可知：∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠AOD＝90°，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，由勾股定理得：
，∴
，∵CD∥GB，AC＝4，BC＝CG＝2，∴BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，设BF＝k，AF＝2k，∴
，∴
，∴
，∴
，在Rt△ODF中，
，
，由勾股定理得：
，∵CD∥GB，DE∥AB，∴四边形DEBF为平行四边形，∴
．
【难度】5
24．（12分）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 |
… |
24 |
26 |
28 |
30 |
32 |
… |
月销售量y/件 |
… |
52 |
48 |
44 |
40 |
36 |
… |
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
【答案】（1）y＝﹣2x+100；（2）①三月份每件产品的成本是20万元；②四月份最少利润是500万元．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①设三月的成本为m万元，当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，由题意得：450＝30（35﹣m），即可求解；
②由题意得：w＝y（x﹣6）﹣450，即可求解．
【解答】解：（1）在表格取点（30，40）、（32，36），设一次函数的表达式为：y＝kx+b，则
，解得：
，则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+100；（2）①设三月的成本为m万元，当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，由题意得：450＝30（35﹣m），解得：m＝20，即三月份每件产品的成本是20万元；②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，由题意得：w＝y（x﹣6）﹣450＝（﹣2x+100）（x﹣6）﹣450＝﹣2x2+112x﹣1050（25≤x≤30），则抛物线的对称轴为x＝28，则x＝25时，w取得最小值，此时，w＝500，即四月份最少利润是500万元．
【难度】3
25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 垂直且相等 ．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
【答案】（1）垂直且相等；（2）
；（3）证明过程详见解答．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）证明△ADN≌△ABM，从而BM＝CN，∠DAN＝∠BAM，进而∠MAN＝90°；
（2）可证得△HEF∽△HAM，从而
，进而
，从而得出AH；
（3）延长MB至X，使BX＝BM，作∠AMB＝∠H，交AX于R，设∠XBA＝∠BAM＝α，可推出∠X＝∠AMB＝∠MRX＝90°﹣α，从而得出RM＝XM，可证得△HEF≌△MAR，从而得出FH＝RM＝XM＝2BM．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADN＝∠ADC＝∠B＝90°，AD＝AB，∵BM＝DN，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴BM＝CN，∠DAN＝∠BAM，∴∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°，∴∠MAN＝90°，∴AM⊥AN，故答案为：垂直且相等；（2）解：∵∠H＝∠H，∠HEG＝∠MAH，∴△HEF∽△HAM，∴
，∵线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，∴EH＝EG＝EF+FG＝9，∴AM＝HE＝9，∴
，∴AH
；（3）证明：如图，延长MB至X，使BX＝BM，作∠AMR＝∠H，交AX于R，∴XM＝2BM，∵AB⊥XM，∴AX＝AM，∴∠XAB＝∠BAM，∠X＝∠AMB，设∠XAB＝∠BAM＝α，∴∠MAH＝∠XAM＝∠HEF＝2α，∠X＝∠AMB＝90°﹣α，∴∠AMR＝∠H＝90°﹣∠BAH＝90°﹣3α，∴∠MRX＝∠XAM+∠AMR＝2α+（90°﹣3α）＝90°﹣α，∴∠X＝∠MRX，∴RM＝XM，∵∠XAM＝∠HEF＝2α，∠AMR＝∠H，EH＝AM，∴△HEF≌△MAR（ASA），∴FH＝RM＝XM＝2BM．
【难度】5
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM⊥x轴于点N，若QM＝BM，且tan∠MBN
，请直接写出点Q的坐标．
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）Q（2，3）；（3）
．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设MN＝4m，NB＝3m，则BM＝5m，得到点M、N、Q的坐标，即可求解；
（3）求出直线AP的表达式，利用S△AFE＝S△ABE，得到
DF×（xE﹣xA）
AB×yE，求出点P的坐标，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），则﹣3a＝3，则a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵tan∠MBN
，故设MN＝4m，NB＝3m，则BM＝5m，则点N、M的坐标分别为：（3﹣3m，0）、（3﹣3m，4m），当x＝3﹣3m时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣9m2+12m，
则点Q（3﹣3m，﹣9m2+12m），∵QM＝BM，即|﹣9m2+12m﹣4m|＝|5m|，解得：m＝0（舍去）或
或
（舍去），则点Q（2，3）；（3）设点P（m，﹣m2+2m+3），由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣（m﹣3）（x+1），则点D（0，3﹣m），则OD＝CF＝3﹣m，则DF＝3﹣OD﹣CF＝2m﹣3，设点E的坐标为：（t，（3﹣m）（t+1）），∵S△AFE＝S△ABE，即
DF×（xE﹣xA）
AB×yE，即（2m﹣3）（t+1）＝4×（3﹣m）（t+1），解得：m＝2.5，即点P的坐标为：（
，
），则△PAB的面积
AB×yP
4
．
【难度】5