绝密·启用前
2023年湖南省邵阳市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
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一、选择题 |
1.
的倒数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.如图，直线
被直线
所截，已知
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.不等式组
的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图，矩形
的顶点
和正方形
的顶点
都在反比例函数
的图像上，点
的坐标为
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.如图，在四边形
中，
，若添加一个条件，使四边形
为平形四边形，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.已知
是抛物线
（a是常数，
上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线
；②点
在抛物线上；③若
，则
；④若
，则
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
|
二、填空题 |
11.
的立方根是___________．
12.分解因式：3a2+6ab+3b2=________________．
13.分式方程
的解是_____．
14.下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：
项目 |
跑步 |
花样跳绳 |
跳绳 |
得分 |
90 |
80 |
70 |
评总分时，按跑步占
，花样跳绳占
，跳绳占
考评，则小红的最终得分为__________．
15.如图，
是
的直径，
是
的弦，
与
相切于点
，连接
，若
，则
的大小为__________．
16.如图，某数学兴趣小组用一张半径为
的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为
，那么这张扇形纸板的面积为__________
．（结果保留
）
17.某校截止到
年底，校园绿化面积为
平方米．为美化环境，该校计划
年底绿化面积达到
平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为
，则依题意列方程为__________．
18.如图，在矩形
中，
，动点
在矩形的边上沿
运动．当点
不与点
重合时，将
沿
对折，得到
，连接
，则在点
的运动过程中，线段
的最小值为__________．
|
三、解答题 |
19.计算：
．
20.先化简，再求值：
，其中
．
21.如图，
，点
是线段
上的一点，且
．已知
．
(1)证明：
．
(2)求线段
的长．
22.低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．
低碳环保，绿色出行
成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台
元，乙型自行车进货价格为每台
元．该公司销售
台甲型自行车和
台乙型自行车，可获利
元，销售
台甲型自行车和
台乙型自行车，可获利
元．
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
(2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共
台，且资金不超过
元，最少需要购买甲型自行车多少台？
23.某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图（八）所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．
等级 |
频数 |
频率 |
A |
a |
0.2 |
B |
1600 |
b |
C |
1400 |
0.35 |
D |
200 |
0.05 |
(1)求频数分布表中a，b的值．
(2)补全条形统计图．
(3)该市九年级学生约
人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．
24.我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面
处发射，当火箭到达
处时，地面
处的雷达站测得
距离是
，仰角为
．
，火箭直线到达
处，此时地面
处雷达站测得
处的仰角为
．求火箭从
到
处的平均速度（结果精确到
）．（参考数据：
）
25.如图，在等边三角形
中，
为
上的一点，过点
作
的平行线
交
于点
，点
是线段
上的动点（点
不与
重合）．将
绕点
逆时针方向旋转
，得到
，连接
交
于
．
(1)证明：在点
的运动过程中，总有
．
(2)当
为何值时，
是直角三角形？
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点
和点
，且与直线
交于
两点（点
在点
的右侧），点
为直线
上的一动点，设点
的横坐标为
．
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点
作
轴的垂线，与拋物线交于点
．若
，求
面积的最大值．
(3)抛物线与
轴交于点
，点
为平面直角坐标系上一点，若以
为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点
的坐标．
参考答案
1.C
【解析】
直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．
解：
的倒数为
．
故选C．
2.A
【解析】
把一个图形绕某一点旋转
，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此来分析判断即可得解．
解：A选项，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
3.B
【解析】
科学记数法的表示形式为
的形式，其中
，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
时，n是正整数；当原数的绝对值
时，n是负整数．
解：
，
故选B
4.D
【解析】
根据分式的约分可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据分式的加法运算可判断C，根据零指数幂的含义可判断D，从而可得答案．
解：
，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意；
故选D
5.B
【解析】
根据两直线平行，同位角相等，对顶角相等，计算即可．
如图，∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
故选B．
6.A
【解析】
分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分，再在数轴上表示即可．
解：
，
由①得：
，
由②得：
，
∴不等式组的解集为：
，
在数轴上表示如下：
，
故选A
7.C
【解析】
根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．
∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，
∴摆出的三位数有
共6种可能，其中
是
∴摆出的三位数是5的倍数的概率是
，
故选：C．
8.D
【解析】
根据
经过
确定解析式为
，设正方形的边长为x，则点
，代入解析式计算即可．
∵
经过
，
∴解析式为
，
设正方形的边长为x，则点
，
∴
，
解得
（舍去），
故点
，
故选D．
9.D
【解析】
根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
解：A．根据
，
，不能判断四边形
为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B．
∵
，∴
，不能判断四边形
为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C．根据
，
，不能判断四边形
为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵
，
∴
，
∵
∴
，
∴
∴四边形
为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
10.B
【解析】
根据对称轴公式
可判断①；当
时，
，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到
，可以判断④．
解：∵抛物线
（a是常数，
，
∴
，
故①正确；
当
时，
，
∴点
在抛物线上，
故②正确；
当
时，
，
当
时，
，
故③错误；
根据对称点的坐标得到
，
，
故④错误．
故选B．
11.2
【解析】
的值为8，根据立方根的定义即可求解．
解：
，8的立方根是2，
故答案为：2．
12.3（a+b）2
【解析】
先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2．
3a2+6ab+3b2=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2．
故答案为:3（a+b）2．
13.
【解析】
根据解分式方程的步骤计算即可．
去分母得：
，
解得：
，
经检验
是方程的解，
故答案为：
．
14.
分
【解析】
根据加权平均数公式进行计算即可．
解：由跑步占
，花样跳绳占
，跳绳占
考评，
则小红的最终得分为
（分），
故答案为：
分．
15.
【解析】
证明
，可得
，结合
，证明
，再利用三角形的外角的性质可得答案．
解：∵
与
相切于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
16.
【解析】
根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式
可求出扇形面积．
解：帽子底面圆周长为：
，
则扇形弧长为
，
扇形面积
故答案为：
17.
【解析】
设这两年绿化面积的年平均增长率为
，依题意列出一元二次方程即可求解．
解：设这两年绿化面积的年平均增长率为
，则依题意列方程为
，
故答案为：
．
18.
##
【解析】
根据折叠的性质得出
在
为圆心，
为半径的弧上运动，进而分类讨论当点
在
上时，当点
在
上时，当
在
上时，即可求解．
解：∵在矩形
中，
，
∴
，
，
如图所示，当点
在
上时，
∵
∴
在
为圆心，
为半径的弧上运动，
当
三点共线时，
最短，
此时
，
当点
在
上时，如图所示，
此时
当
在
上时，如图所示，此时
综上所述，
的最小值为
，
故答案为：
．
19.5
20.
，24
【解析】
先展开，合并同类项，后代入计算即可．
当
时，
原式
．
21.(1)见解析
(2)
【解析】
（1）根据题意得出
，
，则
，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
（1）证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
．
22.(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为
元
(2)最少需要购买甲型自行车
台
【解析】
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为
元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设需要购买甲型自行车
台，则购买乙型自行车
台，依题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解．
（1）解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为
元，根据题意得，
，
解得：
，
答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为
元；
（2）设需要购买甲型自行车
台，则购买乙型自行车
台，依题意得，
，
解得：
，
∵
为正整数，
∴
的最小值为
，
答：最少需要购买甲型自行车
台．
23.(1)
的值为
，
的值为
．
(2)见解析．
(3)16000
【解析】
（1）根据D等级的频数和频率即可求出样本容量，进而求出
的值，然后用B的频数除以样本数量即可求出
的值；
（2）按照统计图的画法补全即可；
（3）用总体数量乘以A等级的频率即可求解．
（1）解：样本容量：
，
则
，
故
的值为
，
的值为
．
（2）解：如图
（3）解：
(名)
答：该市约有
名九年级学生可以评为“A”级．
24.火箭从
到
处的平均速度为
【解析】
根据题意得出
，
，
，
，分别解
，
，求得
，进而根据路程除以时间即可求解．
解：依题意，得
，
，
，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
∴
，
∴火箭从
到
处的平均速度为
，
答：火箭从
到
处的平均速度为
．
25.(1)见解析
(2)
【解析】
（1）根据等边三角形的性质，利用四点共圆知识解答即可．
（2）只有
，
是直角三角形，解答即可．
（1）∵等边三角形
，
∴
,
，
∵
，
∴
，
∵
绕点
逆时针方向旋转
，得到
，
∴
，
∴
时等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
四点共圆，
∴
，
∴
．
（2）如图，根据题意，只有当
时，成立，
∵
绕点
逆时针方向旋转
，得到
，
∴
，
∴
时等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵等边三角形
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
26.(1)
(2)
(3)
点为
或
或
或
或
【解析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点
的横坐标，表示出
的长，根据二次函数的性质求得
的最大值，根据
即可求解；
（3）根据题意，分别求得
，①当
为对角线时，
，②当
为边时，分
，
，根据勾股定理即可求解．
（1）解：∵抛物线
经过点
和点
，
∴
，
解得：
，
∴抛物线解析式为：
；
（2）解：∵抛物线
与直线
交于
两点，（点
在点
的右侧）
联立
，
解得：
或
，
∴
，
∴
，
∵点
为直线
上的一动点，设点
的横坐标为
．
则
，
，
∴
，当
时，
取得最大值为
，
∵
，
∴当
取得最大值时，
最大，
∴
，
∴
面积的最大值
；
（3）∵抛物线与
轴交于点
，
∴
，当
时，
，即
，
∵
，
∴
,
，
，
①当
为对角线时，
，
∴
，
解得：
，
∴
，
∵
的中点重合，
∴
，
解得：
，
∴
，
②当
为边时，
当四边形
为菱形，
∴
，
解得：
或
，
∴
或
，
∴
或
，
由
的中点重合，
∴
或
，
解得：
或
，
∴
或
，
当
时；
如图所示，即四边形
是菱形，
点
的坐标即为四边形
为菱形时，
的坐标，
∴
点为
或
，
综上所述，
点为
或
或
或
或
．