【327719】2022年江苏省无锡市中考数学真题

绝密·启用前

2022年江苏省无锡市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.- 的倒数是（       ）
A．-
B．-5
C．
D．5

2.函数y＝ 中自变量x的取值范围是(　 　)
A．x＞4
B．x＜4
C．x≥4
D．x≤4

3.已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是（       ）
A．114，115
B．114，114
C．115，114
D．115，115

4.方程 的解是（　　　）．
A．
B．
C．
D．

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（       ）
A．12π
B．15π
C．20π
D．24π

6.雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（       ）
A．扇形
B．平行四边形
C．等边三角形
D．矩形

7.如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（       ）

A． AE⊥DE
B． AE//OD
C． DE=OD
D．∠BOD=50°

8.下列命题中，是真命题的有（       ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形             ②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形                                 ④四边相等的四边形是菱形
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④

9.一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y= 的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（- ，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（       ）
A．3
B．
C．
D．

10.如图，在 ABCD中， ， ，点E在AD上， ，则 的值是（       ）

A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.分解因式： _____．

12.高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活，交通运输部的数据显示，截止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学记数法可表示为________．

13.二元一次方程组 的解为________．

14.请写出一个函数的表达式，使其图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：________．

15.请写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题：________．

16.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．

17.把二次函数y=x²+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．

18.△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算：
(1) ；
(2) ．

20.（1）解方程 ；
（2）解不等式组： ．

21.如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．

求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．

22.建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为 ， ， ， ，女生分别记为 ， ， ．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
(2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是 或 的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

23.育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表

跳绳个数（x）	x≤50	50＜x≤60	60＜x≤70	70＜x≤80	x＞80
频数（摸底测试）	19	27	72	a	17
频数（最终测试）	3	6	59	b	c

育人中学初二学生30秒跳绳最终测试成绩的扇形统计图

(1)表格中a＝ ；
(2)请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
(3)请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少？

24.如图，△ABC为锐角三角形．

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）

25.如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．

(1)求证 ；
(2)当 时，求CE的长．

26.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为36 ，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

27.如图，已知四边形ABCD为矩形 ， ，点E在BC上， ，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．

(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．

28.已知二次函数 图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且 ．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此可得答案．
解：- 的倒数是-5．
故选：B．

2.D

【解析】
因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以4-x≥0，可求x的范围．
解：4-x≥0，
解得x≤4，
故选：D．

3.A

【解析】
根据众数、平均数的概念求解．
解：这组数据的平均数为：（1+3+5+5+6）÷5+110=114，
115出现了2次，出现次数最多，则众数为：115，
故选：A．

4.A

【解析】
根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母 ，化为一元一次方程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解．
解：方程两边都乘 ，得

解这个方程，得

检验：将 代入原方程，得
左边 ，右边 ，左边=右边．
所以， 是原方程的根．
故选：A．

5.C

【解析】
先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．
解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积= ×2π×4×5
=20π．
故选：C．

6.B

【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．

7.C

【解析】
过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．
解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF＜OD，故选项C不正确；
故选：C．

8.B

【解析】
直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：B．

9.D

【解析】
将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：∵A（- ，-2m）在反比例函数y= 的图像上，
∴m=(- ) • ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∴B（2，1），A（- ，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S_△AOB=S_△BOD+S_△AOD
= ×3×2+ ×3×
= ．
故选：D．
．

10.D

【解析】
过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF= ，DE=DF-EF=（ -1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- ）x，继而求得AB²=AF²+BF²=（2- ）²x²+X²=（8-4 ）x²，从而求得 ，再由AB=CD，即可求得答案．
解：如图，过点B作BF⊥AD于F，

∵ ABCD，
∴CD=AB，CD AB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF= ，
∴DE=DF-EF=（ -1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- ）x，
由勾股定理，得AB²=AF²+BF²=（2- ）²x²+x²=（8-4 ）x²，
∴
∴ ，
∵AB=CD，
∴ ，
故选：D．

11.

【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： ．

12.

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整数，当原数绝对值 时， 是负整数．
解： ．
故答案为： ．

13.

【解析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
解： ．
①+②×2得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入②得：2×2-y=1
解得：y=3，
所以，方程组的解为 ，
故答案为： ．

14.

【解析】
结合题意，根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
函数 的图像如下，函数分别于x轴相交于点B、和y轴相交于点A，

当 时， ，即
当 时， ，即
∴函数图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交
故答案为： ．

15.如果 ，那么

【解析】
根据逆命题的概念解答即可．
解：命题“如果 ，那么 ”的逆命题是“如果 ，那么 ”，
故答案为：如果 ，那么 ．

16.1

【解析】
连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）²+4²=8²+x²，求解即可．
解：连接AG，EG，如图，

∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG²=CG²+CE²=（8-x）²+4²，AG²=AB²+BG²=8²+x²，
∴（8-x）²+4²=8²+x²，
解得：x=1，
故答案为：1．

17.m＞3

【解析】
先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3＞0，据此即可求解．
解：∵y=x²+4x+m=(x+2)²+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3＞0，
解得：m＞3，
故答案为：m＞3．

18.     80     ##

【解析】
利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中， ，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：

∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，
∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，
∴BD= 4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，
∴DG=GE= ，
∴FE=DF= = ，
∴AF=AE-FE=4- ，
故答案为：80；4- ．

19.(1)1
(2)2a+3b

【解析】
（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；
（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
（1）解：原式= = =1；
（2）解：原式=a²+2a-a²+b²-b²+3b=2a+3b．

20.（1）x₁=1+ ，x₂=1- ；（2）不等式组的解集为1＜x≤ ．

【解析】
（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：（1）方程移项得：x²-2x=5，
配方得：x²-2x+1=6，即（x-1）²=6，
开方得：x-1=± ，
解得：x₁=1+ ，x₂=1- ；
（2） ．
由①得：x＞1，
由②得：x≤ ，
则不等式组的解集为1＜x≤ ．

21.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
(2)
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．

22.(1)
(2)

【解析】
（1）根据概率计算公式计算即可；
（2）格局题意，列出表格，再根据概率计算公式计算即可．
(1)
解：任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ，
故答案为： ．
(2)
解：列出表格如下：

一共有12种情况，其中至少有1位是 或 的有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是 或 的概率为 ．

23.(1)65
(2)见解析
(3)50名

【解析】
（1）用全校初二年级总人数200名减去非70＜x≤80的总人数即可求得a；
（2）用户减去小于等于80个点的百分比，即可求出大于80个占的百分比，据此可补全扇形统计图；
（3）用总人数200名乘以大于80个占的百分比，即可求解．
(1)
解：a=200-19-27-72-17=65，
故答案为：65；
(2)
解：x＞80的人数占的百分比为：1-1.5%-3%-29.5%-41%=25%，
补充扇形统计图为：

(3)
解：最终测试30秒跳绳超过80个的人数有：200×25%=50（名），
答：最终测试30秒跳绳超过80个的人数有50名．

24.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作 ，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
(1)
解：如图，

∴点D为所求点．
(2)
解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，

∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴ ，四边形ABCD是梯形，
∴ ，
∴四边形AECD是矩形，
∴ ，
∴四边形ABCD的面积为 ，
故答案为： ．

25.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）根据同弧所对圆周角相等可得 ，再由对顶角相等得 ，故可证明绪论；
（2）根据 可得 由 可得出 连接AE，可证明 ，得出 代入相关数据可求出 ，从而可求出绪论．
(1)
∵ 所对的圆周角是 ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
(2)
∵△ 是等边三角形，
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴
连接 如图，

∵
∴
∴∠
又∠ ，
∴△
∴ ，
∴
∴ ，
∴ （负值舍去）
∴ ，
解得，

26.(1)x的值为2m；
(2)当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m²

【解析】
（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36 ，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE= (24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x)=36，解得：x₁=2，x₂=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m； ；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)²+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜ ，∵-3＜0，∴x＜4时，S随着x的增大而减少，∴当x= 时，S有最大值，最大值为 ，即当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m²．

27.(1)
(2)

【解析】
(1)先由 可求得 的长度，再由角度关系可得 ，即可求得 的长;
(2)过F作 于 ，利用勾股定理列方程，即可求出 的长度，同时求出 的长度，得出答案.
(1)
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， .

(2)
过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .

28.(1)
(2)1
(3) ， ，

【解析】
（1）二次函数与y轴交于点 ，判断 ，根据 ，即二次函数对称轴为 ，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）证明 ，得到 ，即 ，设 ，点D在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用 求出t的值，即可 ， 的值，进一步得出tan∠CDA的值；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。
(1)
解：∵二次函数 与y轴交于点 ，
∴ ，即 ，
∵ ，即二次函数对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的表达式为 ．
(2)
解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，

∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
设： ，点D在第一象限，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得： （舍）， （舍），
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，

∵在 中，
∴
(3)
解：存在，
如图，（2）图中 关于对称轴对称时， ，

∵点D的坐标为 ，
∴此时，点C的坐标为 ，
如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即 ，
当点C在x轴上方时，

过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，
∵ ，点C、D关于对称轴对称，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设点C的坐标为 ，
∴ ， ，
∴
解得： ， （舍），
此时，点C的坐标为 ，
当点C在x轴下方时，

过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵ ，点C、D关于对称轴对称，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设点C的坐标为 ，
∴ ， ，
∴
解得： （舍）， ，
此时，点C的坐标为 ，
综上：点C的坐标为 ， ， ．