【327696】2022年湖南省郴州市中考数学真题

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2022年湖南省郴州市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.有理数 ， ，0， 中，绝对值最大的数是（       ）
A．
B．
C．0
D．

2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.一元二次方程 的根的情况是（       ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根

5.某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：90，93，88，93，85，92，95，则这组数据的众数和中位数分别是（       ）
A．95，92
B．93，93
C．93，92
D．95，93

6.关于二次函数 ，下列说法正确的是（       ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5
D．当 时，y随x的增大而增大

7.如图，直线 ，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线 的是（       ）

A．
B．
C．
D．

8.如图，在函数 的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图像于点B，连接OA，OB，则 的面积是（       ）

A．3
B．5
C．6
D．10

评卷人 得分

二、填空题

9.二次根式 中字母x的取值范围是__________．

10.若 ，则 ________．

11.点 关于x轴对称的点 的坐标是_______．

12.甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为 ，身高的方差分别为 ， ．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是________．（填“甲队”或“乙队”）

13.如图，点A，B，C在 上， ，则 ________度．

14.如图，圆锥的母线长 ，底面圆的直径 ，则该圆锥的侧面积等于________ ．（结果用含 的式子表示）

15.科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻 三者之间的关系： ，测得数据如下：

	100	200	220	400
	2.2	1.1	1	0.55

那么，当电阻 时，电流 ________A．

16.如图．在 中， ， ．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 长为半径作弧，在 内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 ，垂足用G．若 ，则 的周长等于________cm．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.先化简，再求值： ，其中 ， ．

19.如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且 ，连接BF．FD，DE，EB．

求证：四边形DEBF是菱形．

20.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了________名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角 ________度；
(2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
(3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．

21.如图是某水库大坝的横截面，坝高 ，背水坡BC的坡度为 ．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 ，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据： ， ．结果精确到0.1m）

22.为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
(1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
(2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？

23.如图，在 中， ．以AB为直径的 与线段BC交于点D，过点D作 ，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．

(1)求证：直线PE是 的切线；
(2)若 的半径为6， ，求CE的长．

24.如图1，在 中， ， ， ．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与 的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．

(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：

变量a（cm）	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
变量h（cm）	0	0.5	1	1.5	2	1.5	1	0.5	0

在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当 时， ________；当 时， ________．
②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．

③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数        B．变量a是以h为自变量的函数
(2)如图3，记线段DE与 的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积 为s．
①分别求出当 和 时，s关于a的函数表达式；
②当 时，求a的值．

25.如图1，在矩形ABCD中， ， ．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 ，交AB于点F．

(1)求证： ；
(2)如图2，连接CF，过点B作 ，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求 的最小值；
②当 取最小值时，求线段DE的长．

26.已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.A

【解析】
根据绝对值的含义求出各个数的绝对值，再比较大小即可．
， ，0的绝对值为0， ，
∵ ，
∴绝对值最大的数为-2，
故选：A．

2.B

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误．
故答案为B．

3.D

【解析】
根据合并同类项、同底数幂的除法法则，完全平方公式以及二次根式的计算法则进行计算即可．
A. 不能合并，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确；
故答案为：D．

4.A

【解析】
根据 即可判断．
解： ， ， ，
，
一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选：A．

5.C

【解析】
现将数列从小达到重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
数列从小达到重新排列如下：
85，88，90，92，93，93，95，
中位数为：92，众数为：93，
故选：C．

6.D

【解析】
由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
解：对于y=（x-1）²+5，
∵a=1＞0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当 时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．

7.C

【解析】
利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
解：A、当 时， ；故A不符合题意；
B、当 时， ；故B不符合题意；
C、当 时， ；故C符合题意；
D、∵ ，则 ，
∵ ，则 ，
∴ ；故D不符合题意；
故选：C

8.B

【解析】
作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由 即可求解；
解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，

∵ ，
∴
∵
∴
故选：B．

9.

【解析】
根据二次根式成立的条件可直接进行求解．
解：由题意得：
，解得： ；
故答案为 ．

10.

【解析】
由分式的运算法则进行计算，即可得到答案．
解：
，


；
故答案为： ．

11.（-3，-2）

【解析】
点 P(−3，2) 关于x轴对称的点 P′ 的坐标是（-3，-2），
故答案是：（-3，-2）．

12.乙队

【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴应该选乙队参赛；
故答案为：乙队

13.31

【解析】
根据圆周角定理进行求解即可；
解：由圆周角定理可知：
故答案为：31．

14.

【解析】
根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可求出答案．
解：根据题意，
∵圆锥的母线长 ，底面圆的直径 ，
∴圆锥的侧面积为：
；
故答案为： ；

15.4

【解析】
由表格数据得到定值 V，代入电阻值即可求解；
解：∵
∴ V
∴当电阻 时， A，
故答案为：4．

16.8

【解析】
由角平分线的性质，得到 ，然后求出 的周长即可．
解：根据题意，
在 中， ， ，
由角平分线的性质，得 ，
∴ 的周长为：
；
故答案为：8

17.3

【解析】
根据特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的计算方法计算即可．
解：原式

=3．

18.ab，4

【解析】
把分母分解为 ，利用通分进行括号里分式的计算，再用分式的除法法则进行计算，最后代入求值；
解：原式 ．
当 ， 时，原式 ．

19.见解析

【解析】
先证明四边形DEBF是平行四边形，再结合 可得结论．
连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是茥形，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵ ，即 ，
∴四边形DEBF是菱形．

20.(1)①200；②见解析；③54
(2)1120
(3)

【解析】
（1）①由 组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除 组的人数即可得到 组的人数；③用 乘以 组人数所占比例即可；
（2）用 乘以 组人数所占比例即可；
（3）根据题意列出树状图即可求解
(1)
解：（1）① ；
② 组人数 ，
补全的条形统计图如图所示：

③ ；
(2)
解： ；
(3)
解：画树状图如下：

从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种，
因此， （恰好抽中甲、乙两人） ．

21.背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m

【解析】
通过解直角三角形 和 ，分别求出AD和BD的长，由 求出AB的长．
解：在 中，∵背水坡BC的坡度 ，
∴ ，
∴ ．
在 中，∵背水坡AC的坡度 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m．

22.(1)甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元
(2)小妏最多能购买甲种有机用6吨

【解析】
（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，根据甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元列出二元一次方程组求解即可；
（2）设沟买甲种有机肥m呠，则购实乙种有机肥 吨，根据总费用不能超过5600元列不等式求解即可．
(1)
设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
根据题意，得 解得
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
(2)
设沟买甲种有机肥m呠，则购实乙种有机肥 吨，
根据题意，得 ，解得 ．
答：小姣最多能购买甲种有机用6吨．

23.(1)见解析
(2)3

【解析】
（1）连接AD、OD，根据等腰三角形的性质可证得 ，根据平行线的判定与性质可证得 ，然后根据切线的判定即可证得结论；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求得CD、CE   即可．
(1)
证明：连接AD、OD，记 ， ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线．

(2)
连接AD，

∵AB是直径，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ．

24.(1)①1.5；1或3；②见解析；③A
(2)①当 时， ；当 时， ；② 或

【解析】
（1）①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断；
（2） ①如图，当 时， ，得到阴影部分是三角形ADE的面积: ；当 时， ，得到阴影部分的面积是三角形BDE的面积： ．②当 时，令 ，解得a；当 时，令 ，解得a即可求解；
(1)
解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当 时， 1.5；当 时， 1或3．
故答案为：1.5；1或3；
②连线如图2-1、图2-2所示：

③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围
内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫
做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，故A选项符合，
故选：A.
(2)
①如图3，当 时， ，
∴阴影部分的面积： ；
当 时， ，
∴阴影部分的面积： ．
∴当 时， ；当 时， ．


②当 时，令 ，解得 或 （不符合题意，舍去）．
当 时，令 ，解得 或 （不符合题意，含去）．
∴当 时， 或 ．

25.(1)见解析
(2)①5；② 或

【解析】
（1）证明出 即可求解；
（2）①连接AM．先证明 ．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时， ．此时， 取最小值．在 中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作 交FC于点N，即有 ，进而有 ．设 ，则 ， ．再根据 ，得到 ，得到 ，则有 ，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作 交BC于点H．即有 ．则有 ，根据 ，可得 ，进而求出 ， ．由 得 ，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得 ．设 ，则 ，即有 ，解得解方程即可求出DE．
(1)
证明：如图1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
①解：如图2-1，连接AM．

∵ ，
∴ 是直角二角形．
∴ ．
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： ，
当A，G，M三点共线时， ．
此时， 取最小值．在 中， ．
∴ 的最小值为5．
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 交FC于点N，

∴ ．
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知 的最小值为5、即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，解得 ，即 ．
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作 交BC于点H．

∴ ．
∴ ，
由①知 的最小值为5，即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
由 得 ，
∴ ，即 ，
解得 ．
∴ ．
由（1）的结论可得 ．
设 ，则 ，
∴ ，
解得 或 ．
∵ ， ，
∴ 或 ．

26.(1)
(2)① ；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；当点F的坐标为 时，点D的坐标： ．

【解析】
(1)把 ， 代入 即可得出抛物线的表达式；
（2）①求出直线BC解析式： ，再由直线MN： 及抛物线的对称轴： ，即可得出 ．进而得出直线CD的解析式为： ，即可得出答案；
②分以BC为边时，即 ， ，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ．
(1)
解：将点 ， 代入 得：

解得
∴抛物线的表达式为 ．
(2)
①由（1）可知： ，
设直线BC： ，将点 ， 代入得：

解得
∴直线BC： ，则直线MN： ．
∵抛物线的对称轴： ，
把 代入 ，得 ，
∴ ．
设直线CD： ，将点 ， 代入得：

解得
∴直线CD： ．
当 时，得 ，
∴ ，
∴ ．
②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 ．
由点D在直线MN上，设 ．

如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 ．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，   
∵ ， ，
∴ ，解得 ．
∴ ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 ．
同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ．
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 ．

设 ， ，同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ．
解得
∴ ， ．
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；
当点F的坐标为 时，点D的坐标： ．