【350123】第6章 知识点梳理

第六章 数据的分析

一、知识点讲解：

1.平均数：

（1）算术平均数：一组数据中，有n个数据 ，则它们的算术平均数为

.

（ 2）加权平均数：

若在一组数字中， 出现 次， 出现 次，…， 出现 次，那么

叫做 、 、…、 的加权平均数。其中， 、 、…、 分别是 、 、…、 的权.

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

4.平均数中位数众数的区别与联系

相同点

平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。

不同点

它们之间的区别，主要表现在以下方面。

1）、定义不同

平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

2）、求法不同

平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。

中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。

众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。

3）、个数不同

在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。

4）、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。

这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。

5）、特点不同

平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。

中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。

6）、作用不同

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的变化范围。

6.方差：设有n个数据 ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 ，…， 我们用它们的平均数，即用

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。　

当一组数据比较小时可以用公式 计算。
 

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

标准差：方差的算术平方根，即

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

7.极差、方差和标准差的区别与联系：

联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。

区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。

方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。

标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。

8.数据的收集与整理的步骤：

1.收集数据    2.整理数据    3.描述数据   4.分析数据   5.撰写调查报告   6.交流 

9.平均数、方差的三个运算性质

如果一组数据x₁，x₂，x₃，……，x_n的平均数是 ，方差是s²。

那么（1）一组新数据x₁+b，x₂+b，x₃+b，……，x_n+b的平均数是 +b，方差是s²。

2. 一组新数据ax₁，ax₂，ax₃，……，ax_n的平均数是a ，方差是a²s².

（3）一组新数据ax₁+b，ax₂+b，ax₃+b，……，ax_n+b的平均数是a +b，方差是a²s².

二、典型例题：

1．5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：mm）： ， ， ， ， ，则这组数据的极差为（ ）．

A．4 mm B．3 mm C．5 mm 　D．0 mm

2．小伟五次数学考试成绩分别为：86分，78分，80分，85分，92分，李老师想了解小伟数学学习变化情况，则李老师最关注小伟数学成绩的（　　）．

Ａ．平均数 Ｂ．众数 Ｃ．中位数 Ｄ．方差

3. 一组数据的方差一定是（ ）．

A．正数 B．任意实数 C．负数 D．非负数

A.甲 B.乙

C.丙 D.不能确定

5．某地统计部门公布最近5年国民消费指数增长率分别为8.5%，9.2%，9.9%，10.2%，3.8%，业内人士评论说：“这五年消费指数增长率之间相当平稳”，从统计角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的哪个数据比较小（ ）.

A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数

6．在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁的平均环数均相同，而方差分别为8.7，6.5，9.1，7.7，则这四人中，射击成绩最稳定的是（ ）.

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

7．一次数学测试后，随机抽取九年级二班5名学生的成绩如下：78，85，91，98，98．关于这组数据的错误说法是（　　）．

Ａ．极差是20 Ｂ．众数是98 Ｃ．中位数是91 Ｄ．平均数是91

8．若一组数据2，4， ，6，8的平均数是6，则这组数据的方差是（ ）.

A． B．8 C． D．40

9．我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8844m，在它周围2km的附近，耸立的几座著名山峰的高度如下表：

则这七座山峰海拔高度的极差为 m．

10．一组数据5，5，5，5，5的方差是 ．

11．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量．其平均数、方差计算结果如下：机床甲： 10， =0.02；机床乙： 10， = 0．0 6，由此可知：_________（“甲”或“乙”）机床性能好．

12．甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它们的方差 ， 的大小关系是 ．

13．一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是 ．

14．已知数据a，b，c的方差是1，则4a，4b，4c的方差是 ．

15．甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各抽取10袋，测得其实际质量分别如下表：（单位：克）

（1）分别计算出两个样本的平均数与方差；

（2）从计算结果看，哪台包装机的10袋糖果的平均质量更接近200g？哪台包装机包装的10袋糖果质量比较稳定？

16．李明、王林两人参加奥赛班集训的11次测验成绩如下表：（单位：分）

		测 验 成 绩
	李明		99	100	100	95	93	90	98	100	93	90	98
	王林		98	99	96	94	95	92	92	98	96	99	97

（1）他们两人的平均成绩各是多少分？

（2）他们两人的极差和方差各是多少？

（3）现要从中选一人参加比赛，历届比赛的成绩表明，成绩在98分以上才能进入决赛，你认为应选谁参加这次比赛呢，为什么？

（4）试分析两位同学的成绩特点，并对他们以后的学习各提出一条建议．

17.某校为选拔参加2007年全国初中数学竞赛的选手，进行了集体培训．在集训期间进行了10次测试，假设其中两位同学的测试成绩如下表所示：

（1）根据图表中所示的信息填写下表：

（2）这两位同学的测试成绩各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）?

（3）为了使参赛选手取得好成绩，应选谁参加比赛？为什么？