2.5 二次函数与一元二次方程

1.求下列二次函数的图像与x轴的交点坐标,并作草图验证.

(1)y= x²+x+1; (2)y=4x²－8x+4;

(3)y=－3x²－6x－3; (4)y=－3x²－x+4

2.一元二次方程x²+7x+9=1的根与二次函数y=x²+7x+9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来.

3.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.

(1)4x²－8x+1=0; (2)x²－2x－5=0;

(3)2x²－6x+3=0; (3)x²－x－1=0.

4.已知二次函数y=－x²+4x－3,其图像与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.

5.在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图像的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为B(6,5).

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).

6.如图,已知抛物线y=－x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x₁,0),B(x₂,0) , 且x₁+x₂=4, .

(1)求抛物线的代数表达式;

(2)设抛物线与y轴交于C点,求直线BC的表达式;

(3)求△ABC的面积.

7.试用图像法判断方程x²+2x=－ 的根的个数.

参考答案

1.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(－1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0),草图略.

2.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.

3.(1)x₁≈1.9,x₂≈0.1;(2)x₁≈3.4,x₂≈－1.4;(3)x₁≈2.7,x₂≈0.6;(4)x₁≈1.6,x₂≈－0 .6

4.令x=0,得y=－3,故B点坐标为(0,－3).

解方程－x²+4x－3=0,得x₁=1,x₂=3.

故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).

所以AC=3－1=2,AB= ,BC= , OB=│－3│=3.

C_△ABC=AB+BC+AC= .

S_△ABC= AC·OB= ×2×3=3.

5.(1)设y=a(x－6)²+5,则由A(0,2),得2=a(0－6)²+5,得a= .

故y= (x－6)²+5.

(2)由 (x－6)²+5=0,得x₁= .

结合图像可知:C点坐标为( ,0)

故OC= ≈13.75(米)

即该男生把铅球推出约13.75米.

6.(1)解方程组 , 得x₁=1,x₂=3.

故 ,解这个方程组,得b=4,c=－3.

所以,该抛物线的代数表达式为y=－x²+4x－3.

(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.

由(1)得,当x=0时,y=－3,故C点坐标为(0,－3).

所以 , 解得

∴直线BC的代数表达式为y=x－3

(3)由于AB=3－1=2,OC=│－3│=3.

故S_△ABC= AB·OC= ×2×3=3.

7.只有一个实数根.