【332332】2.3 一元二次方程根的判别式

第二章 一元二次方程

2.3 一元二次方程根的判别式

基础导练

1.已知(m-1)x²+2mx+(m-1)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )

A.m> B.m< 且m≠1

C.m> 且m≠1 D. ＜m＜1

2.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x²＋2cx＋a＋b＝0的根的情况是( )

A．没有实数根

B．有且只有一个实数根

C．有两个不相等的实数根

D．有两个相等的实数根

3.已知函数y=k x+b的图象如图所示，则一元二次方程x²+x+k-1=0根的情况是( )

A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.无法确定

4．已知关于x的方程x²－(k＋2)x＋1＝0的根的判别式的值为5，则k的值为_____________．

5．关于x的一元二次方程(a＋1)x²－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________________．

6．定义：如果一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x²＋m x＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则m n＝_________．

能力提升

7.已知关于x的方程2x²+k x-1=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.

8．已知关于x的方程x²－2(k＋1)x＋k²＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)求证：x＝－1不可能是此方程的实数根．

9．已知关于x的方程mx²－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．

(1)求证：方程总有实数根；

(2)若方程的实数根都是整数，求正整数m的值．

参考答案

1.C 2.A 3.C

4.－5或1 5.a＞－5且a≠－1 6.－2

7.(1)证明：因为b²-4ac=k²-4×2×(-1)=k²+8，无论k取何值，k²≥0，

所以k²+8＞0，即b²-4ac＞0，

所以方程2x²+k x-1=0有两个不相等的实数根.

(2)解：由题意得2×(-1)²-k-1=0，所以k=1，

所以原方程为2x²+x-1=0.解得x₁= ，x₂=-1.

即k=1，方程的另一个根为x= .

8.(1)解：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(k＋1)²－4k²＞0，

所以k＞－.

(2)证明：若x＝－1是方程x²－2(k＋1)x＋k²＝0的实数根，则有

(－1)²＋2(k＋1)＋k²＝0，即k²＋2k＋3＝0.

因为Δ＝b2－4ac＝－8<0，

故此方程无实数根，k值不存在，

所以x＝－1不可能此方程的实数根．

9.(1)证明：因为m≠0，Δ＝(m＋2)²－4m×2＝m²－4m＋4＝(m－2)²，

而(m－2)²≥0，即Δ≥0，

所以方程总有实数根.

(2)解：将方程因式分解为(x－1)(m x－2)＝0，x－1＝0或m x－2＝0，

所以x₁＝1，x₂＝，

当m为正整数1或2时，x₂为整数，即方程的实数根都是整数，

所以正整数m的值为1或2.