2.2.2
圆周角（1）
教学目标[
1.理解圆周
角的概念及圆周角与它所对应的圆心角之间的关系。
2.经历探索圆周角与圆心角之间关系的过程，加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解。
3.会运用圆周角定理解
决简单的几何问题。
教学重点、难点[来源:学。科。网]
重点：圆周角定理。
难点：圆周角定理的证明过程（分类讨论，由特殊到一般的转化）。
教学设计
一．预习导学
自主学习课本49--52页，了解下列问题：
1.
叫作圆周角。
生活中哪些地方有圆周角的例子？
圆周角不像圆心角那样容易识别，教学中应强调作为圆周角的两个必须具备的条件：一是一个角的顶点在圆上；二是角的两边必须与圆相交，这里的“相交”是指角边与圆除了顶点外还有公共点。教学中还应举一些反例来说明。
2.圆周角、弧、圆心角的对应关系：
3.圆周角与圆心的位置关系的三种情形：
二．探究展示
（一） 合作探究
分别测量图中弧BC所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？
每位同学任画一个圆，并在圆上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量
出它们的度数.你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？
通过度量，我发现圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 。
下面我们来证明这个猜测是否为真命题
已知： 在⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC。
求证： ∠BAC =∠BOC
分析：圆心O与圆周角的位置关系有三种情形：圆周角的一边通过圆心、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部，所以要分三种情况进行讨论证明。
情形一 圆周角的一边通过圆心
如右图所示，圆O中，圆心O在∠BAC的一边AB上。
由于OA=OC，因此∠C=∠BAC，
从而∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC，
即
∠BAC= ∠BOC。
情形二 圆心在圆周角的内部
如右图，圆心O在∠BAC的内部。作直径AD，[来源:Zxxk.Com]
根据情形一的结果得∠BAD = ，
∠DAC = 。
从而∠BAC =∠BAD+∠DAC= + = = ∠BOC
情形三 圆心在圆周角的外部
如图，圆心O在∠BAC的外部。作直径AD，
∠BA
D
= ，
∠DAC =
。
从而∠BAC =∠BAD—∠DAC= — [来源
= = ∠BOC [来
由此得到圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论，这对学生来说是一个难点，在教学中应加强引导和分析。在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其它两种情况都可以转化为第一种情况来解决。转化的条件是添加以角的顶点为端点的
直径为辅助线。这里渗透了分类讨论和从特殊到一般的思想方法，应当让学生注意和掌握。
（二）展示提升
１．如图，∠C1，∠C2，∠C3都是弧AB所对的圆周角，
那么∠C1 = ∠C2 =∠C3吗？
分析：∠C1、∠C2、∠C3都是圆周
角，所对弧上的圆心角均为∠AOB。
由圆周角定理，可知：∠C1 = ∠AOB、∠C2 = 、∠C3= 。
因此C1 = ∠C2 =∠C3
由此得到以下结论：
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
２．如图所示，OA，OB，OC都是
⊙O的半径，
∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和
∠BAC的度数。
解：∵ 圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为弧AB，
∴ ∠ACB＝ ＝ ０
同理∠BAC＝ ＝ ０
设计意图：圆周角定理
的简单运用，帮助学生理解并记住圆周角定理
三．知识梳理
１．顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角。
２．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
３．在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等
的圆周角所对的弧也相等。
四．当堂检测
1
.下图中各角是不是圆周角？请说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
设计意图：检验学生对圆周角概念的理解和掌握情况。
2.如图，在圆O中，弦AB与CD相交于点M。若∠CAB = 25°， ∠ABD=95°， 试求∠CDB 和∠ACD 的度数。
设计意图：这是圆周角定理的推论简单运用，帮助学生理解并记住圆周角定理的推论，并会在实际的解题过程中加以运用。
3.如图， 点A，B，C 在⊙O 上， AC∥OB。若∠OBA=25°， 求∠BOC的度数。
设计意图：这是圆周角定理的综合运用，既要用到两直线平行，内错角相等，又要用到圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。让学
生在应用中加深对圆周角定理的理解。
教学反思
圆周角定理的证明实际上使用了完全归纳法。完全归纳法是把要研究的某类事物的所有情况，逐一加以讨论，再概括出一般结论。有时也可以把所有情况分成几类，对每
类加以讨论，再概括出一般情况。
圆周角定理及它的推论都很重要，在今后的证明和计算中经常要用到，需让学生理解和掌握。